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第 44課時 柱 錐 臺 球 課前預(yù)習案 考綱要求 1．理解空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征． 2．知道斜高、側(cè)棱、高、母線的定義，并會有關(guān)計算. 3.掌握柱、錐、球的體積、表面積計算方法． 基礎(chǔ)知識梳理 1.棱柱： (1)定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。 棱柱 四棱柱底面是平行四邊形 平行六面體側(cè)棱垂直于底面 直平行六面體底面是矩形 長方體底面是正方形 正四棱柱棱長都相等 正方體。 (2)性質(zhì)：①側(cè)面都是平行四邊形； ②兩底面是全等多邊形； ③平行于底面的截面和底面全等；對角面是平行四邊形； ④長方體一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱的長的平方和。 (3)面積：（是底面周長，是高） (4)體積：（為底面積，為高） 2.棱錐： (1)定義：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面圍成的幾何體叫做棱錐； 正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點在底面內(nèi)的射影是底面中心，這樣的棱錐叫正棱錐； (2)性質(zhì)： ①平行于底面的截面和底面相似， 截面的邊長和底面的對應(yīng)邊邊長的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的比； 它們面積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的平方比； 截得的棱錐的體積與原棱錐的體積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的立方比； A B C D P O H ②正棱錐性質(zhì)：各側(cè)面都是全等的等腰三角形；通過四個直角三角形，，，實現(xiàn)邊，高，斜高間的換算 (3)面積：（為底周長，為斜高） (4)體積：（為底面積，為高） 3.圓柱、圓錐、圓臺 分別以矩形的_____、直角三角形的___________、直角梯形_______________所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體分別叫作圓柱、圓錐、圓臺. 4.棱臺 (1)定義:用一個_______________的平面去截棱錐,底面與截面之間的部分叫作棱臺. (2)正棱臺:用_______截得的棱臺叫作正棱臺.正棱臺的側(cè)面是全等的等腰梯形,它的高叫作正棱臺的斜高. (3)分類:三棱臺、四棱臺、五棱臺、… 側(cè)面積 體積公式 圓柱 圓錐 圓臺 棱臺 5.球 (1)定義：①球面：半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面。 ②球體：球面所圍成的幾何體。 (2)性質(zhì)： ①任意截面是圓面（經(jīng)過球心的平面，截得的圓叫大圓，不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫小圓） 兩點的球面距離，是指經(jīng)過球面上這兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長。[學. ②球心和截面圓心的連線垂直于截面，并且，其中為球半徑，為截面半徑，為球心的到截面的距離。 (3)面積公式：（為球半徑）； (4)體積公式：(為球半徑） 預(yù)習自測 1．側(cè)面都是直角三角形的正三棱錐，底面邊長為a，則此棱錐的全面積是( ) A． B． C． D． 都不對 2．湖面上漂著一球，湖結(jié)冰后將球取出，冰面上留下了一個直徑為，深為的空穴，則該球的表面積為( ) A． B． C. D． 3．把正方形ABCD沿對角線AC折起,當以A、B、C、D四點為頂點的棱錐體積最大時，直線BD和平面ABC所成的角的大小為( ) A． 90 B． 60 C． 45 D． 30 課堂探究案 典型例題 考點1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 【典例1】下面是關(guān)于四棱柱的四個命題，其中真命題的編號是________。 ① 若有兩個側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱； ② 若有兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱； ③ 若四個側(cè)面兩兩全等，則該四棱柱為直四棱柱； ④ 若四棱柱的四條對角線兩兩相等，則該四棱柱為直四棱柱。 【變式1】如圖,若是長方體被平面截去幾何體后得到的幾何體,其中E為線段上異于的點，F(xiàn)為線段上異于的點，且∥，則下列結(jié)論中不正確的是（ ） A. ∥ B.四邊形是矩形 C. 是棱柱 D. 是棱臺 考點2 基本元素的計算 【典例2】設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，求棱錐的側(cè)棱長和斜高。 【變式2】 底半徑為1,高為的圓錐，其內(nèi)接圓柱的底半徑為R，當內(nèi)接圓柱的體積最大時，R＝________. 【變式3】已知S、A、B、C是球O表面上的點，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，則球O的表面積等于________． 【典例3】正三棱臺兩底面邊長分別為3cm和6cm，高是cm。 （1） 求三棱臺的斜高； （2） 求三棱臺的側(cè)面積與表面積。 【變式4】設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長都為，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（ ） (A) (B) (C) (D) 考點3 體積計算 【典例4】如圖,有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器,容器高8cm,將一個球放在容器口,再向容器內(nèi)注水,當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm,如果不計容器厚度,則球的體積為 （ ） A． B． C． D． 【變式5】若兩個球的表面積之比為,則這兩個球的體積之比為（　?。? A． B． C． D． 考點4 角度問題 【典例5】已知正四棱柱中,,則與平面所成角的正弦值等于（　　） A． B． C． D． 【變式6】已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直,體積為,底面是邊長為的正三角形.若為底面的中心,則與平面所成角的大小為（　　） A． B． C． D． 當堂檢測 1.已知正方體的外接球的體積是，則這個正方體的棱長是（ ） A. B. C. D. 2. 一個幾何體的三視圖如圖所示,且其側(cè)視圖是 一個等邊三角形,則這個幾何體的體積為( ) A. B. C. D. 3. 已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為2的半圓，求其體積. 課后拓展案 A組全員必做題 1．一個正方體的展開圖如圖所示，A、B、C、D為原正方體的頂點，則在原來的正方體中( ) A． B． AB與CD相交 C． D． AB與CD所成的角為 2．如圖，在三棱錐S-ABC中，SA=SC=AB=BC，則直線SB與AC所成角的大小是( ) A．30 B．45 C．60 D．90 3．球的半徑擴大為原來的倍,它的體積擴大為原來的 倍. 4．如圖，在正方體ABCD—中，,分別是棱、的中點，則異面直線與所成的角的大小是 5．如圖，四邊形ABCD是正方形，O是正方形的中心， PO底面ABCD，E是PC的中點． 求證：（1）PA∥平面BDE； (2）平面PAC平面BDE． B組提高選做題 1．一個多面體的直觀圖及三視圖如圖所示：(其中M、N分別是AF、BC的中點)． (1)求證：MN∥平面CDEF； (2)求多面體A－CDEF的體積． 2．如圖，平面ABC，EB//DC，AC=BC=EB=2DC=2，，P、Q分別為DE、AB的中點。 (1）求證：PQ//平面ACD； (2）求幾何體B—ADE的體積； (3）求平面ADE與平面ABC所成銳二面角的正切值。 參考答案 預(yù)習自測 1.A 2.D 3.C 典型例題 【典例1】②④ 【變式1】D 【典例2】解：記為正方形中心，連接，則， ∴側(cè)棱． 取中點，連接、， 則， ∴側(cè)棱長為，斜高長為． 【變式2】 【變式3】 【典例3】.（1）；（2）； 【變式4】B 【典例4】A 【變式5】C 【典例5】A 【變式6】B 當堂檢測 1.B 2.D 3.. A組全員必做題 1.D 2.D 3.8 4.90 5.證明：（1）連接，則必與交于點，連接， ∵為中點，∴， ∵平面，平面， ∴平面． （2）∵為正方形， ∴⊥． 又⊥平面，平面， ∴⊥， 又， ∴⊥平面， ∵平面， ∴平面⊥平面． B組提高選做題 1.（1）證明：連接，則與交點，則為的中點，連接、． ∴． 又∵平面，平面， ∴平面． （2）解：． 2.（1）證明：取中點，連接、． ∵、分別為、中點， ∴，， 又∵， ∴平面平面， ∵平面， ∴面． （2）= （3）解：延長、交于點，連接，過作⊥交于，連接． ∵⊥平面，平面， ∴⊥， 又⊥，， ∴⊥平面， ∴∠即為平面與平面所成銳二面角的平面角． 在Rt△中，，∴， ∴． 即平面與平面所成銳二面角的正切值為．