2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 幾個重要的不等式 1.1 簡單形式的柯西不等式課件 北師大版選修4-5.ppt
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第二章1柯西不等式,1.1簡單形式的柯西不等式,學(xué)習(xí)目標(biāo)1.認(rèn)識簡單形式的柯西不等式的代數(shù)形式和向量形式,理解它們的幾何意義.2.會用柯西不等式證明一些簡單的不等式,會求某些特定形式的函數(shù)的最值.,問題導(dǎo)學(xué),達(dá)標(biāo)檢測,題型探究,內(nèi)容索引,問題導(dǎo)學(xué),知識點(diǎn)簡單形式的柯西不等式,思考1(a2b2)(c2d2)與4abcd的大小關(guān)系如何?那么(a2b2)(c2d2)與(acbd)2的大小關(guān)系又如何?,答案(a2b2)(c2d2)4abcd,(a2b2)(c2d2)(acbd)2.,思考2當(dāng)且僅當(dāng)ab且cd時,(a2b2)(c2d2)4abcd,那么在什么條件下(a2b2)(c2d2)(acbd)2?,答案當(dāng)且僅當(dāng)adbc時,(a2b2)(c2d2)(acbd)2.,思考3若向量(a,b),向量(c,d),你能從向量的數(shù)量積與向量模的積之間的關(guān)系發(fā)現(xiàn)怎樣的不等式?,梳理(1)簡單形式的柯西不等式定理1:對任意實數(shù)a,b,c,d,有(a2b2)(c2d2).當(dāng)向量(a,b)與向量(c,d)時,等號成立.簡單形式的柯西不等式的推論(ab)(cd)_(a,b,c,d為非負(fù)實數(shù));(a,b,c,dR);(a,b,c,dR).以上不等式,當(dāng)向量(a,b)與向量(c,d)共線時,等號成立.,(acbd)2,共線,|acbd|,|ac|bd|,(2)柯西不等式的向量形式設(shè),是任意兩個向量,則|,當(dāng)向量,時,等號成立.,共線,題型探究,類型一利用柯西不等式證明不等式,例1(1)已知a2b21,x2y21,求證:|axby|1;,證明,當(dāng)且僅當(dāng)abc時,等號成立.,證明,反思與感悟利用柯西不等式的代數(shù)形式證明某些不等式時,要抓住不等式的基本特征:(a2b2)(c2d2)(acbd)2,其中a,b,c,dR或(ab)(cd)其中a,b,c,dR.找出待證不等式中相應(yīng)的兩組數(shù),當(dāng)這兩組數(shù)不太容易找時,需分析,增補(bǔ)(特別是對數(shù)字的增補(bǔ):如a1a),變形等.,證明,證明a1,a2,b1,b2R,,例2若實數(shù)x,y,z滿足x24y2z23,求證:|x2yz|3.,證明,證明因為x24y2z23,所以由柯西不等式得x2(2y)2z2(121212)(x2yz)2,整理得(x2yz)29,即|x2yz|3.,反思與感悟(1)抓住柯西不等式的特征“方、和、積”,構(gòu)造使用柯西不等式的條件.(2)此類題也可以用三角不等式,把ABO的三個頂點(diǎn)分別設(shè)為O(0,0),A(x1,x2),B(y1,y2)即可.,證明ac(ab)(bc),又abc,ac0,ab0,bc0.,證明,類型二利用柯西不等式求最值,例3若3x4y2,試求x2y2的最小值及最小值點(diǎn).,解由柯西不等式,得(x2y2)(3242)(3x4y)2,,解答,反思與感悟利用柯西不等式求最值(1)先變形湊成柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征,是利用柯西不等式求解的先決條件.(2)有些最值問題從表面上看不能利用柯西不等式,但只要適當(dāng)添加上常數(shù)項或和為常數(shù)的各項,就可以應(yīng)用柯西不等式來解,這也是運(yùn)用柯西不等式解題的技巧.(3)有些最值問題的解決需要反復(fù)利用柯西不等式才能達(dá)到目的,但在運(yùn)用過程中,每運(yùn)用一次前后等號成立的條件必須一致,不能自相矛盾,否則就會出現(xiàn)錯誤.多次反復(fù)運(yùn)用柯西不等式的方法也是常用技巧之一.,跟蹤訓(xùn)練3已知a,bR,且9a24b218,求3a2b的最值.,解答,解由柯西不等式,得(9a24b2)(1212)(3a2b)2,9a24b218,36(3a2b)2.|3a2b|6.,達(dá)標(biāo)檢測,1,2,4,3,5,解析(a2b2)(3222)(3a2b)2,當(dāng)且僅當(dāng)3b2a時取等號,所以(3a2b)2413.,1.已知a,bR,a2b24,則3a2b的最大值為,答案,解析,1,2,4,3,5,解析(a2b2)(1212)(ab)24,當(dāng)且僅當(dāng)ab1時,等號成立,a2b22.,2.已知a0,b0,且ab2,則,答案,解析,1,2,4,3,5,最小值為9.,答案,解析,9,1,2,4,3,5,解析(a2b2)(m2n2)(manb)225,m2n25.,答案,解析,當(dāng)且僅當(dāng)anbm時取等號.,1,2,4,3,5,5.已知a2b21,求證:|acosbsin|1.,證明,證明1a2b2(a2b2)(cos2sin2)(acosbsin)2,|acosbsin|1.,規(guī)律與方法,1.利用柯西不等式的關(guān)鍵是找出相應(yīng)的兩組數(shù),應(yīng)用時要對照柯西不等式的原形,進(jìn)行多角度的嘗試.2.柯西不等式取等號的條件的記憶方法如(a2b2)(c2d2)(acbd)2等號成立的條件是adbc,可以把a(bǔ),b,c,d看成等比,則adbc來聯(lián)想記憶.,本課結(jié)束,- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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