甘肅省武威市高中數學 第三章 函數的應用 3.1 函數與方程課件 新人教A版必修1.ppt
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3.1函數與方程,(1)函數零點的定義對于函數yf(x)(xD),把使的實數x叫做函數yf(x)(xD)的零點.(2)幾個等價關系方程f(x)0有實數根函數yf(x)的圖象與有交點函數yf(x)有.(3)函數零點的判定(零點存在性定理)如果函數yf(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有,那么,函數yf(x)在區(qū)間內有零點,即存在c(a,b),使得,這個也就是方程f(x)0的根.,1.函數的零點,知識梳理,f(x)0,x軸,零點,f(a)f(b)0,(a,b),f(c)0,c,對于在區(qū)間a,b上連續(xù)不斷且的函數yf(x),通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區(qū)間,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近,進而得到零點近似值的方法叫做二分法.,2.二分法,f(a)f(b)0)的圖象與零點的關系,(x1,0),(x2,0),(x1,0),2,1,0,1.有關函數零點的結論(1)若連續(xù)不斷的函數f(x)在定義域上是單調函數,則f(x)至多有一個零點.(2)連續(xù)不斷的函數,其相鄰兩個零點之間的所有函數值保持同號.(3)連續(xù)不斷的函數圖象通過零點時,函數值可能變號,也可能不變號.2.三個等價關系方程f(x)0有實數根函數yf(x)的圖象與x軸有交點函數yf(x)有零點.,判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)函數的零點就是函數的圖象與x軸的交點.()(2)函數yf(x)在區(qū)間(a,b)內有零點(函數圖象連續(xù)不斷),則f(a)f(b)0.()(3)只要函數有零點,我們就可以用二分法求出零點的近似值.()(4)二次函數yax2bxc(a0)在b24ac0時沒有零點.()(5)若函數f(x)在(a,b)上單調且f(a)f(b)0,則函數f(x)在a,b上有且只有一個零點.(),1.(教材改編)函數的零點個數為A.0B.1C.2D.3,考點自測,答案,解析,f(x)是增函數,又f(0)1,f(1),,f(0)f(1)0,f(x)有且只有一個零點.,2.下列函數中,既是偶函數又存在零點的是A.ycosxB.ysinxC.ylnxD.yx21,答案,解析,由于ysinx是奇函數;ylnx是非奇非偶函數;yx21是偶函數但沒有零點;只有ycosx是偶函數又有零點.,3.(2016吉林長春檢測)函數f(x)lnxx2的零點所在的區(qū)間是A.(,1)B.(1,2)C.(2,e)D.(e,3),答案,解析,所以f(2)f(e)0恒成立,,所以f(x)在(0,)上是增函數.又因為f(2)2ln20,所以f(x)在(0,)上有一個零點,綜上,函數f(x)的零點個數為2.,(2)若定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x2)f(x),當x0,1時,f(x)x,則函數yf(x)log3|x|的零點個數是A.多于4B.4C.3D.2,答案,解析,由題意知,f(x)是周期為2的偶函數.在同一坐標系內作出函數yf(x)及ylog3|x|的圖象,如圖,觀察圖象可以發(fā)現它們有4個交點,即函數yf(x)log3|x|有4個零點.,思維升華,(1)確定函數零點所在區(qū)間,可利用零點存在性定理或數形結合法.(2)判斷函數零點個數的方法:解方程法;零點存在性定理、結合函數的性質;數形結合法:轉化為兩個函數圖象的交點個數.,跟蹤訓練1(1)已知函數f(x)log2x,在下列區(qū)間中,包含f(x)零點的區(qū)間是A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,),答案,解析,因為f(1)6log2160,f(2)3log2220,,所以函數f(x)的零點所在區(qū)間為(2,4).,(2)函數f(x)xcosx2在區(qū)間0,4上的零點個數為A.4B.5C.6D.7,答案,解析,由f(x)xcosx20,得x0或cosx20.又x0,4,所以x20,16.,由于cos(k)0(kZ),,而在k(kZ)的所有取值中,,故零點個數為156.,題型二函數零點的應用,例3(1)函數f(x)2xa的一個零點在區(qū)間(1,2)內,則實數a的取值范圍是A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2),答案,解析,因為函數f(x)2xa在區(qū)間(1,2)上單調遞增,,又函數f(x)2xa的一個零點在區(qū)間(1,2)內,則有f(1)f(2)0,,所以(a)(41a)0,解得a9.又由圖象得a0,09.,幾何畫板展示,引申探究,本例(2)中,若f(x)a恰有四個互異的實數根,則a的取值范圍是_.,答案,解析,作出y1|x23x|,y2a的圖象如右:,當x0或x3時,y10,,思維升華,已知函數零點情況求參數的步驟及方法(1)步驟:判斷函數的單調性;利用零點存在性定理,得到參數所滿足的不等式(組);解不等式(組),即得參數的取值范圍.(2)方法:常利用數形結合法.,跟蹤訓練2(1)(2016棗莊模擬)已知函數f(x)x2xa(a0)在區(qū)間(0,1)上有零點,則a的取值范圍為_.,答案,解析,(2,0),ax2x在(0,1)上有解,,函數yx2x,x(0,1)的值域為(0,2),0a2,2a0.,(2)(2015湖南)若函數f(x)|2x2|b有兩個零點,則實數b的取值范圍是_.,答案,解析,(0,2),由f(x)|2x2|b0,得|2x2|b.在同一平面直角坐標系中畫出y|2x2|與yb的圖象,如圖所示.則當0b2時,兩函數圖象有兩個交點,從而函數f(x)|2x2|b有兩個零點.,幾何畫板展示,題型三二次函數的零點問題,例4已知f(x)x2(a21)x(a2)的一個零點比1大,一個零點比1小,求實數a的取值范圍.,解答,方法一設方程x2(a21)x(a2)0的兩根分別為x1,x2(x1x2),則(x11)(x21)0,x1x2(x1x2)10,由根與系數的關系,得(a2)(a21)10,即a2a20,2a1.方法二函數圖象大致如圖,則有f(1)0,即1(a21)a20,20且a1)有兩個零點,即方程axxa0有兩個根,即函數yax與函數yxa的圖象有兩個交點.當0a1時,圖象如圖所示,此時有兩個交點.實數a的取值范圍為(1,).,返回,課時作業(yè),1.設f(x)lnxx2,則函數f(x)的零點所在的區(qū)間為A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,f(1)ln11210,f(1)f(2)1,所以此時方程無解.綜上,函數f(x)的零點只有0,故選D.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.已知三個函數f(x)2xx,g(x)x2,h(x)log2xx的零點依次為a,b,c,則A.abcB.acbC.bacD.cab,答案,解析,故f(x)2xx的零點a(1,0).g(2)0,g(x)的零點b2;,方法二由f(x)0得2xx;由h(x)0得log2xx,作出函數y2x,ylog2x和yx的圖象(如圖).由圖象易知a0,0c1,而b2,故a0,a211.而y|x22x|的圖象如圖,y|x22x|的圖象與ya21的圖象總有兩個交點.,5.已知函數則使方程xf(x)m有解的實數m的取值范圍是A.(1,2)B.(,2C.(,1)(2,)D.(,12,),答案,解析,當x0時,xf(x)m,即x1m,解得m1;,當x0時,xf(x)m,即xm,解得m2,,即實數m的取值范圍是(,12,).故選D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.已知xR,符號x表示不超過x的最大整數,若函數f(x)a(x0)有且僅有3個零點,則實數a的取值范圍是_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.若函數f(x)x2axb的兩個零點是2和3,則不等式af(2x)0的解集是_.,答案,解析,f(x)x2axb的兩個零點是2,3.2,3是方程x2axb0的兩根,,f(x)x2x6.不等式af(2x)0,即(4x22x6)02x2x3a),函數g(x)f(x)b有兩個零點,即函數yf(x)的圖象與直線yb有兩個交點,結合圖象(圖略)可得ah(a),即aa2,解得a1,故a(,0)(1,).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,因為函數f(x)在R上單調遞減,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*10.(2016衡水期中)若a1,設函數f(x)axx4的零點為m,函數g(x)logaxx4的零點為n,則的最小值為_.,答案,解析,1,設F(x)ax,G(x)logax,h(x)4x,則h(x)與F(x),G(x)的交點A,B橫坐標分別為m,n(m0,n0).因為F(x)與G(x)關于直線yx對稱,所以A,B兩點關于直線yx對稱.又因為yx和h(x)4x交點的橫坐標為2,所以mn4.又m0,n0,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,(1)作出函數f(x)的圖象;,如圖所示.,故f(x)在(0,1上是減函數,而在(1,)上是增函數.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(3)若方程f(x)m有兩個不相等的正根,求m的取值范圍.,解答,由函數f(x)的圖象可知,當0m0,f(x)a(x1)244,且f(1)4a,f(x)min4a4,a1.故函數f(x)的解析式為f(x)x22x3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,令g(x)0,得x11,x23.當x變化時,g(x),g(x)的變化情況如下表:,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,當03,,故函數g(x)只有1個零點且零點x0(3,e5).,- 配套講稿:
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