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等腰三角形存在性問(wèn)題 幾何圖形存在性問(wèn)題是中考二次函數(shù)壓軸題一大常見(jiàn)類型，等腰三角形、直角三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形等均有涉及，本系列從等腰三角形開始，逐一介紹各種問(wèn)題及常規(guī)解法． 等腰三角形存在性問(wèn)題 【問(wèn)題描述】 如圖，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1,1），點(diǎn)B坐標(biāo)為（4,3），在x軸上取點(diǎn)C使得△ABC是等腰三角形． 【幾何法】“兩圓一線”得坐標(biāo) （1）以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有AB=AC； （2）以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有BA=BC； （3）作AB的垂直平分線，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有CA=CB． 【注意】若有三點(diǎn)共線的情況，則需排除． 作圖并不難，問(wèn)題是還需要把各個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)算出來(lái)，可通過(guò)勾股或者三角函數(shù)來(lái)求． 同理可求，下求． 顯然垂直平分線這個(gè)條件并不太適合這個(gè)題目，如果A、B均往下移一個(gè)單位，當(dāng)點(diǎn)A坐標(biāo)為（1,0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（4,2）時(shí)，可構(gòu)造直角三角形勾股解： 而對(duì)于本題的，或許代數(shù)法更好用一些． 【代數(shù)法】表示線段構(gòu)相等 （1）表示點(diǎn)：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），又A點(diǎn)坐標(biāo)（1,1）、B點(diǎn)坐標(biāo)（4,3）， （2）表示線段：， （3）分類討論：根據(jù)，可得：， （4）求解得答案：解得：，故坐標(biāo)為． 【小結(jié)】 幾何法：（1）“兩圓一線”作出點(diǎn)； （2）利用勾股、相似、三角函數(shù)等求線段長(zhǎng)，由線段長(zhǎng)得點(diǎn)坐標(biāo)． 代數(shù)法：（1）表示出三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)A、B、C； （2）由點(diǎn)坐標(biāo)表示出三條線段：AB、AC、BC； （3）根據(jù)題意要求取①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC； （4）列出方程求解． 問(wèn)題總結(jié)： （1）兩定一動(dòng)：動(dòng)點(diǎn)可在直線上、拋物線上； （2）一定兩動(dòng)：兩動(dòng)點(diǎn)必有關(guān)聯(lián)，可表示線段長(zhǎng)度列方程求解； （3）三動(dòng)點(diǎn)：分析可能存在的特殊邊、角，以此為突破口． 【中考真題解析】 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)交軸于點(diǎn)、，交軸于點(diǎn)，在軸上有一點(diǎn)，連接． （1）求二次函數(shù)的表達(dá)式； （2）若點(diǎn)為拋物線在軸負(fù)半軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值； （3）拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由． 【分析】 （1）； （2）可用鉛垂法，當(dāng)點(diǎn)D坐標(biāo)為時(shí)，△ADE面積最大，最大值為14； （3）這個(gè)問(wèn)題只涉及到A、E兩點(diǎn)及直線x=-1（對(duì)稱軸） ①當(dāng)AE=AP時(shí)，以A為圓心，AE為半徑畫圓，與對(duì)稱軸交點(diǎn)即為所求P點(diǎn)． ∵AE=，∴，又AH=3，∴， 故、． ②當(dāng)EA=EP時(shí)，以E點(diǎn)為圓心，EA為半徑畫圓，與對(duì)稱軸交點(diǎn)即為所求P點(diǎn)． 過(guò)點(diǎn)E作EM垂直對(duì)稱軸于M點(diǎn)，則EM=1，， 故、． ③當(dāng)PA=PE時(shí)，作AE的垂直平分線，與對(duì)稱軸交點(diǎn)即為所求P點(diǎn)． 設(shè)，， ∴，解得：m=1． 故． 綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為、、、、． 【補(bǔ)充】“代數(shù)法”用點(diǎn)坐標(biāo)表示出線段，列方程求解亦可以解決．  【中考真題（刪減）】 如圖，拋物線交軸于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接，．點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為． （1）求此拋物線的表達(dá)式； （2）過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)．試探究點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； 【分析】 （1）； （2）①當(dāng)CA=CQ時(shí)，∵CA=5，∴CQ=5， 考慮到CB與y軸夾角為45，故過(guò)點(diǎn)Q作y軸的垂線，垂足記為H， 則，故Q點(diǎn)坐標(biāo)為． ②當(dāng)AC=AQ時(shí)，考慮直線BC解析式為y=-x+4，可設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（m，-m+4）， ， 即，解得：m=1或0（舍）， 故Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）． ③當(dāng)QA=QC時(shí)，作AC的垂直平分線，顯然與線段BC無(wú)交點(diǎn)，故不存在． 綜上所述，Q點(diǎn)坐標(biāo)為或（1，3）． 【中考真題（刪減）】 如圖所示，二次函數(shù)的圖像與一次函數(shù)的圖像交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，直線分別與、軸交于、兩點(diǎn)，其中． （1）求、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)； （2）若是以為腰的等腰三角形，求的值． 【分析】 （1）A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為1、2； （2）求k的值等價(jià)于求B點(diǎn)坐標(biāo)， B點(diǎn)橫坐標(biāo)始終為2，故點(diǎn)B可以看成是直線x=2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 滿足△OAB是以O(shè)A為腰的等腰三角形， 又A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），故 ①當(dāng)OA=OB時(shí)，即， 記直線x=2與x軸交點(diǎn)為H點(diǎn)， ∵OH=2，∴BH=1， 故B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）或（2，-1），k=-1或-3． ②當(dāng)AO=AB時(shí)，易知B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），k=-2． 綜上所述，k的值為-1或-2或-3．  【中考真題（刪減）】 如圖，已知二次函數(shù)的圖像與軸相交于，兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)． （1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式； （2）若是第四象限內(nèi)這個(gè)二次函數(shù)的圖像上任意一點(diǎn)，軸于點(diǎn)，與線段交于點(diǎn)，連接．當(dāng)是以為一腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)． 【分析】 （1）； （2）①當(dāng)PM=PC時(shí)，（特殊角分析） 考慮∠PMC=45，∴∠PCM=45， 即△PCM是等腰直角三角形，P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-3）； ②當(dāng)MP=MC時(shí)，（表示線段列方程） 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，則M點(diǎn)坐標(biāo)為， 故線段 故點(diǎn)M作y軸的垂線，垂足記為N，則MN=m， 考慮△MCN是等腰直角三角形，故， ∴，解得或0（舍）， 故P點(diǎn)坐標(biāo)為． 綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-3）或． 【中考真題（刪減）】 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)． （1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）如圖，連接、，點(diǎn)在線段上（不與、重合），作，交線段于點(diǎn)，是否存在這樣點(diǎn)，使得為等腰三角形？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【分析】 （1），頂點(diǎn)D坐標(biāo)為； （2）考慮到∠DAB=∠DBA=∠DMN，即有△BMD∽△ANM（一線三等角）． ①當(dāng)MD=MN時(shí)，有△BMD≌△ANM， 可得AM=BD=5，故AN=BM=1； ②當(dāng)NM=ND時(shí)，則∠NDM=∠NMD=∠DAB， △MAD∽△DAB，可得AM=， ∴，即， 解得：． ③當(dāng)DM=DN時(shí)，∠DNM=∠DMN=∠DAB，顯然不成立，故不存在這樣的點(diǎn)M． 綜上，AN的值為1或． 【中考真題（刪減）】 如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，與軸另一交點(diǎn)為．點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)不與點(diǎn)和點(diǎn)重合），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，過(guò)點(diǎn)作軸垂線交軸于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)． （1）求拋物線的解析式； （2）如圖，連接交于點(diǎn)，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，直接寫出的值． 【分析】 （1）； （2）①考慮到∠DPM=45，當(dāng)DP=DM時(shí)，即∠DMP=45， 直線AM：y=x+1， 聯(lián)立方程：， 解得：，（舍）． 此時(shí)t=1． ②當(dāng)PD=PM時(shí)，∠PMD=∠PDM=67.5，∠MAB=22.5， 考慮tan∠22.5=， 直線AM：， 聯(lián)立方程： 解得：，（舍）． 此時(shí)t=． 綜上所述，t的值為1或． 附：tan22.5=． 【總結(jié)】具體問(wèn)題還需具體分析題目給的關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的條件，選取恰當(dāng)?shù)姆椒?，可減輕計(jì)算量． 14