太原理工大學碩士數(shù)理統(tǒng)計期末復習重點.doc
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13太原理工大學碩士數(shù)理統(tǒng)計重點1統(tǒng)計量與抽樣分布1.1基本概念: 總體X的樣本X1,X2,Xn,則T(X1,X2,Xn)即為統(tǒng)計量樣本均值樣本方差修正樣本方差樣本k階原點矩樣本k階中心矩經(jīng)驗分布函數(shù) 其中Vn(x)表示隨機事件出現(xiàn)的次數(shù),顯然,則有 n nl 二項分布B(n,p):EX=np DX=np(1-p)l 泊松分布: l 均勻分布U(a,b): l 指數(shù)分布: l 正態(tài)分布: 當時, 1.2統(tǒng)計量: T是的充分統(tǒng)計量與無關T是的完備統(tǒng)計量要使Eg(T)=0,必有g(T)=0且h非負T是的充分統(tǒng)計量T是的充分完備統(tǒng)計量是的充分完備統(tǒng)計量1.3抽樣分布: 分布: T分布: 當n2時,ET=0 F分布: 補充:n Z=X+Y的概率密度 f(x,y)是X和Y的聯(lián)合概率密度n 的概率密度n 的概率密度l 函數(shù): l B函數(shù): 1.4次序統(tǒng)計量及其分布:X(k)的分布密度:X(1)的分布密度:X(n)的分布密度:2參數(shù)估計2.1點估計與優(yōu)良性: 的均方誤差:若是無偏估計,則對于的任意一個無偏估計量,有,則是的最小方差無偏估計,記MVUE相合估計(一致估計): 2.2點估計量的求法: 矩估計法:1 求出總體的k階原點矩:2 解方程組 (k=1,2,.,m),得即為所求最大似然估計法:1 寫出似然函數(shù),求出lnL及似然方程 i=1,2,.,m2 解似然方程得到,即最大似然估計 i=1,2,.,m補充:n 似然方程無解時,求出的定義域中使得似然函數(shù)最大的值,即為最大似然估計2.3MVUE和有效估計: T是的充分完備統(tǒng)計量,是的一個無偏估計為的惟一的MVUE最小方差無偏估計的求解步驟:1 求出參數(shù)的充分完備統(tǒng)計量T2 求出,則是的一個無偏估計或求出一個無偏估計,然后改寫成用T表示的函數(shù)3 綜合,是的MVUE或者:求出的矩估計或ML估計,再求效率,為1則必為MVUET是的一個無偏估計,則滿足信息不等式,其中或,為樣本的聯(lián)合分布。最小方差無偏估計達到羅-克拉姆下界有效估計量效率為1無偏估計的效率:是的最大似然估計,且是的充分統(tǒng)計量是的有效估計2.4區(qū)間估計: 一個總體的情況: 已知,求的置信區(qū)間:未知,求的置信區(qū)間:已知,求的置信區(qū)間:未知,求的置信區(qū)間:兩個總體的情況:,均已知時,求的區(qū)間估計:未知時,求的區(qū)間估計:未知時,求:非正態(tài)總體的區(qū)間估計:當時, ,故用Sn代替Sn-13統(tǒng)計決策與貝葉斯估計3.1統(tǒng)計決策的基本概念:三要素、統(tǒng)計決策函數(shù)及風險函數(shù)三要素:樣本空間和分布族、行動空間(判決空間)、損失函數(shù)統(tǒng)計決策函數(shù)d(X):本質(zhì)上是一個統(tǒng)計量,可用來估計未知參數(shù)風險函數(shù):是關于的函數(shù)3.2貝葉斯估計: 1 求樣本X=(X1,X2,.,Xn)的分布:2 樣本X與的聯(lián)合概率分布:3 求關于x的邊緣密度4 的后驗密度為:取時的貝葉斯估計為:貝葉斯風險為:取時,貝葉斯估計為:補充:n 的貝葉斯估計:取損失函數(shù),則貝葉斯估計為n3.3minimax估計對決策空間中的決策函數(shù)d1(X),d2(X),.,分別求出在上的最大風險值 在所有的最大風險值中選取相對最小值,此值對應的決策函數(shù)就是最小最大決策函數(shù)。4假設檢驗4.1基本概念: 零假設通常受到保護,而備選假設是當零假設被拒絕后才能被接受。檢驗規(guī)則:構造一個統(tǒng)計量T(X1,X2,.,X3),當H0服從某一分布,當H0不成立時,T的偏大偏小特征。據(jù)此,構造拒絕域W第一類錯誤(棄真錯誤):第二類錯誤(存?zhèn)五e誤):勢函數(shù):當時,為犯第一類錯誤的概率當時,為犯第二類錯誤的概率4.2正態(tài)總體均值與方差的假設檢驗: 一個總體的情況: 已知,檢驗:未知,檢驗:已知,檢驗:未知,檢驗:兩個總體的情況:,未知時,檢驗:未知時,檢驗:單邊檢驗:舉例說明,已知,檢驗:構造,給定顯著性水平,有。當H0成立時,因此。故拒絕域為4.3非參數(shù)假設檢驗方法: 擬合優(yōu)度檢驗: 其中Ni表示樣本中取值為i的個數(shù),r表示分布中未知參數(shù)的個數(shù)科爾莫戈羅夫檢驗: 實際檢驗的是斯米爾諾夫檢驗: 實際檢驗的是4.4似然比檢驗明確零假設和備選假設:構造似然比:拒絕域:5方差分析5.1單因素方差分析: 數(shù)學模型,(i=1,2,.,m;j=1,2,.,ni)總離差平方和組內(nèi)離差平方和 組間離差平方和當H0成立時,構造統(tǒng)計量,當H0不成立時,有偏大特征且應用:n 若原始數(shù)據(jù)比較大而且集中,可減去同一數(shù)值再解題n 輔助量:5.2兩因素方差分析: 數(shù)學模型,(i=1,2,.,r;j=1,2,.,s)總離差平方和組內(nèi)離差平方和 因素B引起的離差平方和當H0成立時,因素A引起的離差平方和當H0成立時,輔助量:構造統(tǒng)計量:6回歸分析6.1一元線性回歸:回歸模型:i=1,2,.,n.的估計: 分布:的估計: 6.2多元線性回歸: 回歸模型: i=1,2,.,n.參數(shù)估計:7多元分析初步7.1定義及性質(zhì): 其中為X的均值向量,為X的協(xié)方差矩陣Y=CX+b,則若,剛7.2參數(shù)的估計與假設檢驗: 樣本均值向量 樣本離差陣最大似然估計 最小方差無偏估計- 配套講稿:
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