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. 第十一章 無窮級數(shù) 教學(xué)目的： 1．理解常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。 2．掌握幾何級數(shù)與P級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件。 3．掌握正項(xiàng)級數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法。 4．掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法。 5．了解任意項(xiàng)級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念，以及絕對收斂與條件收斂的關(guān)系。 6．了解函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。 7．理解冪級數(shù)收斂半徑的概念，并掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。 8．了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積分），會求一些冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會由此求出某些常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和。 9．了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件。 10．掌握，和的麥克勞林展開式，會用它們將一些簡單函數(shù)間接展開成冪級數(shù)。 11. 了解傅里葉級數(shù)的概念和函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)的狄利克雷定理，會將定義在[-l，l]上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)，會將定義在[0，l]上的函數(shù)展開為正弦級數(shù)與余弦級數(shù)，會寫出傅里葉級數(shù)的和的表達(dá)式。 教學(xué)重點(diǎn) ： 1、級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。 2、正項(xiàng)級數(shù)收斂性的比較判別法、比值判別法和根值判別； 3、交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法； 4、冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域； 5、，和的麥克勞林展開式； 6、傅里葉級數(shù)。 教學(xué)難點(diǎn)： 1、 比較判別法的極限形式； 2、 萊布尼茨判別法； 3、 任意項(xiàng)級數(shù)的絕對收斂與條件收斂； 4、 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域及和函數(shù)； 5、 泰勒級數(shù)； 6、 傅里葉級數(shù)的狄利克雷定理。 11. 1 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和性質(zhì) 一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念 常數(shù)項(xiàng)級數(shù): 給定一個數(shù)列 u1, u2, u3, , un, , 則由這數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式 u1 + u2 + u3 + + un + 叫做常數(shù)項(xiàng))無窮級數(shù), 簡稱常數(shù)項(xiàng))級數(shù), 記為, 即 , 其中第n項(xiàng)u n 叫做級數(shù)的一般項(xiàng). 級數(shù)的部分和: 作級數(shù)的前n項(xiàng)和 稱為級數(shù)的部分和. 級數(shù)斂散性定義: 如果級數(shù)的部分和數(shù)列有極限s, 即, 則稱無窮級數(shù)收斂, 這時極限s叫做這級數(shù)的和, 并寫成 ; 如果沒有極限, 則稱無窮級數(shù)發(fā)散. 余項(xiàng): 當(dāng)級數(shù)收斂時, 其部分和s n是級數(shù)的和s的近似值, 它們之間的差值 rn=s-sn=un+1+un+2+ 叫做級數(shù)的余項(xiàng). 例1 討論等比級數(shù)(幾何級數(shù)) 的斂散性, 其中a0, q叫做級數(shù)的公比. 例1 討論等比級數(shù)(a0)的斂散性. 解 如果q1, 則部分和 . 當(dāng)|q|<1時, 因?yàn)? 所以此時級數(shù)收斂, 其和為. 當(dāng)|q|>1時, 因?yàn)? 所以此時級數(shù)發(fā)散. 如果|q|=1, 則當(dāng)q=1時, sn =na, 因此級數(shù)發(fā)散; 當(dāng)q=-1時, 級數(shù)成為 a-a+a-a+ , 時|q|=1時, 因?yàn)閟n 隨著n為奇數(shù)或偶數(shù)而等于a或零, 所以sn的極限不存在, 從而這時級數(shù)也發(fā)散. 綜上所述, 如果|q|<1, 則級數(shù)收斂, 其和為; 如果|q|1, 則級數(shù)發(fā)散. 僅當(dāng)|q|<1時, 幾何級數(shù)a0)收斂, 其和為. 例2 證明級數(shù) 1+2+3+ +n+ 是發(fā)散的. 證 此級數(shù)的部分和為 . 顯然, , 因此所給級數(shù)是發(fā)散的. 例3 判別無窮級數(shù) 的收斂性. 解 由于 , 因此 從而 , 所以這級數(shù)收斂, 它的和是1. 例3 判別無窮級數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? , 從而 , 所以這級數(shù)收斂, 它的和是1. 提示: . 二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)1 如果級數(shù)收斂于和s, 則它的各項(xiàng)同乘以一個常數(shù)k所得的級數(shù)也收斂, 且其和為ks. 性質(zhì)1 如果級數(shù)收斂于和s, 則級數(shù)也收斂, 且其和為ks. 性質(zhì)1 如果, 則. 這是因?yàn)? 設(shè)與的部分和分別為sn與sn, 則 . 這表明級數(shù)收斂, 且和為ks. 性質(zhì)2 如果級數(shù)、分別收斂于和s、s, 則級數(shù)也收斂, 且其和為ss. 性質(zhì)2 如果、, 則. 這是因?yàn)? 如果、、的部分和分別為sn、sn、tn, 則 . 性質(zhì)3 在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng), 不會改變級數(shù)的收斂性. 比如, 級數(shù)是收斂的, 級數(shù)也是收斂的, 級數(shù)也是收斂的. 性質(zhì)4 如果級數(shù)收斂, 則對這級數(shù)的項(xiàng)任意加括號后所成的級數(shù)仍收斂, 且其和不變. 應(yīng)注意的問題: 如果加括號后所成的級數(shù)收斂, 則不能斷定去括號后原來的級數(shù)也收斂. 例如, 級數(shù) 1-1)+1-1) + 收斂于零, 但級數(shù)1-1+1-1+ 卻是發(fā)散的. 推論: 如果加括號后所成的級數(shù)發(fā)散, 則原來級數(shù)也發(fā)散. 級數(shù)收斂的必要條件: 性質(zhì)5 如果收斂, 則它的一般項(xiàng)un 趨于零, 即. 性質(zhì)5 如果收斂, 則. 證 設(shè)級數(shù)的部分和為sn, 且, 則 . 應(yīng)注意的問題: 級數(shù)的一般項(xiàng)趨于零并不是級數(shù)收斂的充分條件. 例4 證明調(diào)和級數(shù) 是發(fā)散的. 例4 證明調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的. 證 假若級數(shù)收斂且其和為s, sn是它的部分和. 顯然有及. 于是. 但另一方面, , 故, 矛盾. 這矛盾說明級數(shù)必定發(fā)散. 11. 2 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂法 一、正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法 正項(xiàng)級數(shù): 各項(xiàng)都是正數(shù)或零的級數(shù)稱為正項(xiàng)級數(shù). 定理1 正項(xiàng)級數(shù)收斂的充分必要條件它的部分和數(shù)列{sn}有界. 定理2(比較審斂法)設(shè)和都是正項(xiàng)級數(shù), 且unvn (n=1, 2, ). 若級數(shù)收斂, 則級數(shù)收斂; 反之, 若級數(shù)發(fā)散, 則級數(shù)發(fā)散. 定理2(比較審斂法) 設(shè)和都是正項(xiàng)級數(shù), 且unvn(k>0, "nN). 若收斂, 則收斂; 若發(fā)散, 則發(fā)散. 設(shè)Sun和Svn都是正項(xiàng)級數(shù), 且unkvn(k>0, "nN). 若級數(shù)Svn收斂, 則級數(shù)Sun收斂; 反之, 若級數(shù)Sun發(fā)散, 則級數(shù)Svn發(fā)散. 證 設(shè)級數(shù)收斂于和s, 則級數(shù)的部分和 sn=u1+u2+ +unv1+ v2+ +vns (n=1, 2, ), 即部分和數(shù)列{sn}有界, 由定理1知級數(shù)收斂. 反之, 設(shè)級數(shù)發(fā)散, 則級數(shù)必發(fā)散. 因?yàn)槿艏墧?shù) 收斂, 由上已證明的結(jié)論, 將有級數(shù)也收斂, 與假設(shè)矛盾. 證 僅就unvn (n=1, 2, )情形證明. 設(shè)級數(shù)Svn收斂, 其和為s, 則級數(shù)Sun的部分和 sn=u1+ u2+ + unv1+v2+ +vns (n=1, 2, ), 即部分和數(shù)列{sn}有界. 因此級數(shù)Sun收斂. 反之, 設(shè)級數(shù)Sun發(fā)散, 則級數(shù)Svn必發(fā)散. 因?yàn)槿艏墧?shù) Svn收斂, 由上已證明的結(jié)論, 級數(shù)Sun也收斂, 與假設(shè)矛盾. 推論 設(shè)和都是正項(xiàng)級數(shù), 如果級數(shù)收斂, 且存在自然數(shù)N, 使當(dāng)nN時有unkvn(k>0)成立, 則級數(shù)收斂; 如果級數(shù)發(fā)散, 且當(dāng)nN時有unkvn(k>0)成立, 則級數(shù)發(fā)散. 例1 討論p-級數(shù) 的收斂性, 其中常數(shù)p>0. 例1 討論p-級數(shù)的收斂性. 解 設(shè)p1. 這時, 而調(diào)和級數(shù)發(fā)散, 由比較審斂法知, 當(dāng)p1時級數(shù)發(fā)散. 設(shè)p>1. 此時有 (n=2, 3, ). 對于級數(shù), 其部分和 . 因?yàn)? 所以級數(shù)收斂. 從而根據(jù)比較審斂法的推論1可知, 級數(shù)當(dāng)p>1時收斂. 綜上所述, p-級數(shù)當(dāng)p>1時收斂, 當(dāng)p1時發(fā)散. 解 當(dāng)p1時, , 而調(diào)和級數(shù)發(fā)散, 由比較審斂法知, 當(dāng)p1時級數(shù)發(fā)散. 當(dāng)p>1時, (n=2, 3, ). 而級數(shù)是收斂的, 根據(jù)比較審斂法的推論可知, 級數(shù)當(dāng)p>1時收斂. 提示: 級數(shù)的部分和為 . 因?yàn)? 所以級數(shù)收斂. p-級數(shù)的收斂性: p-級數(shù)當(dāng)p>1時收斂, 當(dāng)p1時發(fā)散. 例2 證明級數(shù)是發(fā)散的. 證 因?yàn)? 而級數(shù)是發(fā)散的, 根據(jù)比較審斂法可知所給級數(shù)也是發(fā)散的. 定理3(比較審斂法的極限形式) 設(shè)和都是正項(xiàng)級數(shù), 如果(0N時, 有不等式 , 即, 再根據(jù)比較審斂法的推論1, 即得所要證的結(jié)論. 例3 判別級數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 而級數(shù)發(fā)散, 根據(jù)比較審斂法的極限形式, 級數(shù)發(fā)散. 例4 判別級數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 而級數(shù)收斂, 根據(jù)比較審斂法的極限形式, 級數(shù)收斂. 定理4(比值審斂法, 達(dá)朗貝爾判別法) 若正項(xiàng)級數(shù)的后項(xiàng)與前項(xiàng)之比值的極限等于r: , 則當(dāng)r<1時級數(shù)收斂; 當(dāng)r>1(或)時級數(shù)發(fā)散; 當(dāng)r =1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 定理4(比值審斂法, 達(dá)朗貝爾判別法) 若正項(xiàng)級數(shù)滿足, 則當(dāng)r<1時級數(shù)收斂; 當(dāng)r>1(或)時級數(shù)發(fā)散. 當(dāng)r =1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 定理4(比值審斂法, 達(dá)朗貝爾判別法)設(shè)為正項(xiàng)級數(shù), 如果 , 則當(dāng)r<1時級數(shù)收斂; 當(dāng)r>1(或)時級數(shù)發(fā)散; 當(dāng)r =1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 例5 證明級數(shù) 是收斂的. 解 因?yàn)? 根據(jù)比值審斂法可知所給級數(shù)收斂. 例6 判別級數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 根據(jù)比值審斂法可知所給級數(shù)發(fā)散. 例7 判別級數(shù)的收斂性. 解 . 這時r=1, 比值審斂法失效, 必須用其它方法來判別級數(shù)的收斂性. 因?yàn)? 而級數(shù)收斂, 因此由比較審斂法可知所給級數(shù)收斂. 解 因?yàn)? 而級數(shù)收斂, 因此由比較審斂法可知所給級數(shù)收斂. 提示: , 比值審斂法失效. 因?yàn)? 而級數(shù)收斂, 因此由比較審斂法可知所給級數(shù)收斂. 定理5(根值審斂法, 柯西判別法) 設(shè)是正項(xiàng)級數(shù), 如果它的一般項(xiàng)un的n次根的極限等于r: , 則當(dāng)r<1時級數(shù)收斂; 當(dāng)r>1(或)時級數(shù)發(fā)散; 當(dāng)r=1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 定理5(根值審斂法, 柯西判別法) 若正項(xiàng)級數(shù)滿足, 則當(dāng)r<1時級數(shù)收斂; 當(dāng)r>1(或)時級數(shù)發(fā)散. 當(dāng)r=1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 定理5(根值審斂法, 柯西判別法) 設(shè)為正項(xiàng)級數(shù), 如果 , 則當(dāng)r<1時級數(shù)收斂; 當(dāng)r>1(或)時級數(shù)發(fā)散; 當(dāng)r=1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 例8 證明級數(shù)是收斂的. 并估計(jì)以級數(shù)的部分和sn近似代替和s所產(chǎn)生的誤差. 解 因?yàn)? 所以根據(jù)根值審斂法可知所給級數(shù)收斂. 以這級數(shù)的部分和sn 近似代替和s所產(chǎn)生的誤差為 + . 例6判定級數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? , 所以, 根據(jù)根值審斂法知所給級數(shù)收斂. 定理6(極限審斂法) 設(shè)為正項(xiàng)級數(shù), (1)如果, 則級數(shù)發(fā)散; (2)如果p>1, 而, 則級數(shù)收斂. 例7 判定級數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 故 , 根據(jù)極限審斂法, 知所給級數(shù)收斂. 例8 判定級數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? , 根據(jù)極限審斂法, 知所給級數(shù)收斂. 二、交錯級數(shù)及其審斂法 交錯級數(shù): 交錯級數(shù)是這樣的級數(shù), 它的各項(xiàng)是正負(fù)交錯的. 交錯級數(shù)的一般形式為, 其中. 例如, 是交錯級數(shù), 但不是交錯級數(shù). 定理6（萊布尼茨定理） 如果交錯級數(shù)滿足條件: (1)unun+1 (n=1, 2, 3, ); (2), 則級數(shù)收斂, 且其和su1, 其余項(xiàng)rn的絕對值|rn|un+1. 定理6（萊布尼茨定理） 如果交錯級數(shù)滿足: (1); (2), 則級數(shù)收斂, 且其和su1, 其余項(xiàng)rn的絕對值|rn|un+1. 簡要證明: 設(shè)前n項(xiàng)部分和為sn. 由s2n=(u1-u2)+(u3-u4)+ +(u2n 1-u2n), 及 s2n=u1-(u2-u3)+(u4-u5)+ +(u2n-2-u2n-1)-u2n 看出數(shù)列{s2n}單調(diào)增加且有界(s2n|x0|的一切x使這冪級數(shù)發(fā)散. 定理1 (阿貝爾定理) 如果級數(shù)∑anxn當(dāng)x=x0 (x00)時收斂, 則適合不等式 |x|<|x0|的一切x使這冪級數(shù)絕對收斂. 反之, 如果級數(shù)∑anxn當(dāng) x=x0時發(fā)散, 則適合不等式|x|>|x0|的一切x使這冪級數(shù)發(fā)散. 提示: ∑anxn是的簡記形式. 證 先設(shè)x0是冪級數(shù)的收斂點(diǎn), 即級數(shù)收斂. 根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件, 有, 于是存在一個常數(shù)M, 使 | anx0n |M(n=0, 1, 2, ). 這樣級數(shù)的的一般項(xiàng)的絕對值 . 因?yàn)楫?dāng)|x|<|x0|時, 等比級數(shù)收斂, 所以級數(shù)收斂, 也就是級數(shù)絕對收斂. 簡要證明 設(shè)∑anxn在點(diǎn)x0收斂, 則有anx0n0(n) , 于是數(shù)列{anx0n}有界, 即存在一個常數(shù)M, 使| anx0n |M(n=0, 1, 2, ). 因?yàn)? , 而當(dāng)時, 等比級數(shù)收斂, 所以級數(shù)∑|anxn|收斂, 也就是級數(shù)∑anxn絕對收斂. 定理的第二部分可用反證法證明. 倘若冪級數(shù)當(dāng)x=x0時發(fā)散而有一點(diǎn)x1適合|x1|>|x0|使級數(shù)收斂, 則根據(jù)本定理的第一部分, 級數(shù)當(dāng)x=x0時應(yīng)收斂, 這與所設(shè)矛盾. 定理得證. 推論 如果級數(shù)不是僅在點(diǎn)x=0一點(diǎn)收斂, 也不是在整個數(shù)軸上都收斂, 則必有一個完全確定的正數(shù)R存在, 使得 當(dāng)|x|R時, 冪級數(shù)發(fā)散; 當(dāng)x=R與x=-R時, 冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 收斂半徑與收斂區(qū)間: 正數(shù)通常叫做冪級數(shù)的收斂半徑. 開區(qū)間(-R, R)叫做冪級數(shù)的收斂區(qū)間. 再由冪級數(shù)在x=R處的收斂性就可以決定它的收斂域. 冪級數(shù)的收斂域是(-R, R)(或[-R, R)、(-R, R]、[-R, R]之一. 規(guī)定: 若冪級數(shù)只在x=0收斂, 則規(guī)定收斂半徑R=0 , 若冪級數(shù)對一切x都收斂, 則規(guī)定收斂半徑R=+, 這時收斂域?yàn)?-, +). 定理2 如果, 其中an、an+1是冪級數(shù)的相鄰兩項(xiàng)的系數(shù), 則這冪級數(shù)的收斂半徑 . 定理2 如果冪級數(shù)系數(shù)滿足, 則這冪級數(shù)的收斂半徑 . 定理2 如果, 則冪級數(shù)的收斂半徑R為: 當(dāng)r0時, 當(dāng)r=0時R=+, 當(dāng)r=+時R=0. 簡要證明: . (1)如果01即時級數(shù)發(fā)散, 所以收斂半徑為. 提示: . 例5 求冪級數(shù)的收斂域. 解 令t=x-1, 上述級數(shù)變?yōu)? 因?yàn)?, 所以收斂半徑R=2. 當(dāng)t=2時, 級數(shù)成為, 此級數(shù)發(fā)散; 當(dāng)t=-2時, 級數(shù)成為, 此級數(shù)收斂. 因此級數(shù)的收斂域?yàn)?2t<2. 因?yàn)?2x-1<2, 即-1x<3, 所以原級數(shù)的收斂域?yàn)閇-1, 3). 三、冪級數(shù)的運(yùn)算 設(shè)冪級數(shù)及分別在區(qū)間(-R, R)及(-R, R)內(nèi)收斂, 則在(-R, R)與(-R, R)中較小的區(qū)間內(nèi)有 加法: , 減法: , 設(shè)冪級數(shù)∑anxn及∑bnxn分別在區(qū)間(-R, R)及(-R, R)內(nèi)收斂, 則在(-R, R)與(-R, R)中較小的區(qū)間內(nèi)有 加法: ∑anxn+∑bnxn =∑(an+bn)xn , 減法: ∑anxn-∑bnxn =∑(an-bn)xn . 乘法: =a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+ +(a0bn+a1bn-1+ +anb0)xn+ 性質(zhì)1 冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上連續(xù). 如果冪級數(shù)在x=R (或x=-R)也收斂, 則和函數(shù)s(x)在(-R, R](或[-R, R))連續(xù). 性質(zhì)2 冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上可積, 并且有逐項(xiàng)積分公式 (xI ), 逐項(xiàng)積分后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑. 性質(zhì)3 冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂區(qū)間(-R, R)內(nèi)可導(dǎo), 并且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式 (|x|

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高等數(shù)學(xué) 同濟(jì)第六版高等數(shù)學(xué)教案WORD版-第11章 無窮級數(shù) 同濟(jì) 第六 教案 WORD 11 無窮 級數(shù)

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本文標(biāo)題：同濟(jì)第六版《高等數(shù)學(xué)》教案WORD版-第11章 無窮級數(shù)
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