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常微分方程 Ordinary Differential Equation,,1,教材 (Text Book) （第三版） 王高雄 周之銘 朱思銘 王壽松編 高等教育出版社,參考書目 (Reference) ?《常微分方程》 東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編 高等教育出版社 ?《常微分方程》（山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系）莊萬(wàn) 黃啟宇等編，山東科學(xué)技術(shù)出版社,2,課程評(píng)分方法 (Grading Policies) ? Lecture Grade (100) = Daily Grade (20) + Final Exam (80),二、如何學(xué)習(xí)常微分方程 ?,1. 課前預(yù)習(xí), 培養(yǎng)濃厚的學(xué)習(xí)興趣.,聰明在于學(xué)習(xí) , 天才在于積累 .,學(xué)而優(yōu)則用 , 學(xué)而優(yōu)則創(chuàng) .,由薄到厚 , 由厚到薄 .,馬克思,一門科學(xué), 只有當(dāng)它成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí), 才能達(dá)到真正完善的地步 .,華羅庚,2. 認(rèn)真聽(tīng)課，養(yǎng)成正確的學(xué)習(xí)習(xí)慣.,3. 課后復(fù)習(xí)，鍛造扎實(shí)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ).,4,常微分方程的基本情況介紹,常微分方程是數(shù)學(xué)分析或基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的一個(gè)組成部分，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，是人們解決各種實(shí)際問(wèn)題的重要工具，它在生命科學(xué)、幾何、力學(xué)、物理、電子技術(shù)、航空航天和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域等都有著廣泛的應(yīng)用。,5,一、常微分方程模型,例 1 試求作一曲線y=f(x)，使在其上每一點(diǎn)(x, y)處的切線斜率均是該點(diǎn)橫坐標(biāo)的2倍，且過(guò)點(diǎn)(1, 2)。 例 2 物體冷卻問(wèn)題 將某物體置于空氣中，在t＝0時(shí)刻時(shí)，測(cè)得它的溫度為u0=150oC。10分鐘后測(cè)得它的溫度為u1=100oC ，試確定該物體溫度u與時(shí)間t的關(guān)系，并計(jì)算20分鐘后該物體的溫度。這里假定空氣的溫度始終保持為ua=24oC 。,6,例3 R－L－C電路問(wèn)題。 如圖所示，R－L－C電路是由電阻R、電感L、電容C和電源E串聯(lián)組成的電路。其中，R、L、C常數(shù)，電源電動(dòng)勢(shì)是時(shí)間t的已知函數(shù)：E=e(t)。試建立當(dāng)開(kāi)關(guān)K合上后電流I(t)應(yīng)滿足的微分方程。,例4 單擺運(yùn)動(dòng)問(wèn)題 單擺是一根長(zhǎng)為l的線段的上端固定而下端系一質(zhì)量為m的擺錘的簡(jiǎn)單機(jī)械裝置。開(kāi)始時(shí)將單擺拉開(kāi)一個(gè)小角度φ0，然后放開(kāi)，使其在擺錘的重力作用下在垂直平面上擺動(dòng)。試建立單擺的運(yùn)動(dòng)方程。 此外，還有人口模型、傳染病模型、生物種群模型等,二、微分方程的基本概念和發(fā)展歷史,方程對(duì)于學(xué)過(guò)中學(xué)數(shù)學(xué)的人來(lái)說(shuō)是比較熟悉的；在初等數(shù)學(xué)中就有各種各樣的方程，比如線性方程、二次方程、高次方程、指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程、三角方程和方程組等等。這些方程都是要把研究的問(wèn)題中的已知數(shù)和未知數(shù)之間的關(guān)系找出來(lái)，列出包含一個(gè)未知數(shù)或幾個(gè)未知數(shù)的一個(gè)或者多個(gè)方程式，然后取求方程的解。,9,在實(shí)際工作中，常常出現(xiàn)一些特點(diǎn)和以上方程完全不同的問(wèn)題。比如：某個(gè)物體在重力作用下自由下落，要尋求下落距離隨時(shí)間變化的規(guī)律；火箭在發(fā)動(dòng)機(jī)推動(dòng)下在空間飛行，要尋求它飛行的軌道等，研究這些問(wèn)題所建立的數(shù)學(xué)方程不僅與未知函數(shù)有關(guān)，而且與未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有關(guān)，這就是我們要研究的微分方程。,解這類問(wèn)題的基本思想和初等數(shù)學(xué)解方程的基本思想很相似，也是要把研究的問(wèn)題中已知函數(shù)和未知函數(shù)之間的關(guān)系找出來(lái)，從列出的包含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的一個(gè)或幾個(gè)方程中去求得未知函數(shù)的表達(dá)式－－－即求解微分方程。,10,牛頓在建立微積分的同時(shí)，對(duì)簡(jiǎn)單的微分方程用級(jí)數(shù)來(lái)求解。后來(lái)瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·貝努利、歐拉、法國(guó)數(shù)學(xué)家克雷洛、達(dá)朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。,微分方程差不多是和微積分同時(shí)先后產(chǎn)生的，在公元17世紀(jì)，蘇格蘭數(shù)學(xué)家耐普爾創(chuàng)立對(duì)數(shù)的時(shí)候，就討論過(guò)微分方程的近似解。,常微分方程的形成與發(fā)展是和力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)，以及其他科學(xué)技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)的。同時(shí)，數(shù)學(xué)的其他分支的新發(fā)展，如復(fù)變函數(shù)、李群、組合拓?fù)鋵W(xué)等，都對(duì)常微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，當(dāng)前計(jì)算機(jī)的發(fā)展更是為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具。,11,牛頓研究天體力學(xué)和機(jī)械力學(xué)的時(shí)候，利用了微分方程這個(gè)工具，從理論上得到了行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律。后來(lái)，法國(guó)天文學(xué)家勒維烈和英國(guó)天文學(xué)家亞當(dāng)斯使用微分方程各自計(jì)算出那時(shí)尚未發(fā)現(xiàn)的海王星的位置。這些都使數(shù)學(xué)家更加深信微分方程在認(rèn)識(shí)自然、改造自然方面的巨大力量。,三、微分方程的研究方法,研究微分方程的一般五種方法,1、利用初等函數(shù)或初等函數(shù)的積分形式來(lái)導(dǎo)出微分方程的通解，常微分方程的解包括通解和特解。能用初等積分求通解的是非常少的，因此，人們轉(zhuǎn)而研究特解的存在性問(wèn)題。,2、利用數(shù)學(xué)分析或非線性分析理論來(lái)研究微分方程解的存在性、延展性、解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性問(wèn)題。,3、微分方程解析理論,由于絕大多數(shù)微分方程不能通過(guò)求積分得到，而理論上又證明了解的存在性，因此，人們將未知函數(shù)（即解）的表示成級(jí)數(shù)形式，并引進(jìn) 特殊函數(shù)，如，橢圓函數(shù)、阿貝爾函數(shù)、貝塞爾函數(shù)等，并使微分方程和函數(shù)論及復(fù)變函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，產(chǎn)生了、微分方程解析理論。,13,5、微分方程的定性和穩(wěn)定性理論,1900年，希爾波特提出的23個(gè)問(wèn)題中的第16個(gè)問(wèn)題之一，至今未解決。,,,,,4、微分方程的數(shù)值解法,14,四、微分方程的講授內(nèi)容（學(xué)時(shí)64）,1、基本概念 2 、一階微分方程的初等解法 3、微分方程解的存在性理論 4、高階線性方程 5、線性微分方程組 6、微分方程的定性穩(wěn)定性理論初步,五、微分方程的教材特點(diǎn),1.1 常微分方程的有關(guān)模型 1.2 常微分方程的有關(guān)概念 1.3 微分方程的發(fā)展歷史,本章主要內(nèi)容,第一章 緒 論,16,本章主要介紹微分方程、微分方程的解以及微分方程的階、解，微分方程組，動(dòng)力系統(tǒng)等有關(guān)概念，同時(shí)介紹一些有關(guān)的微分方程模型。同學(xué)們應(yīng)著重掌握微分方程的一些基本概念: 解、通解、特解、階數(shù)、初值條件等，了解微分方程的有關(guān)模型。,17,1、單種群增長(zhǎng)模型（Logistic 方程）,一、 導(dǎo)出微分方程的一些實(shí)例,§ 1.1 微分方程的概念,2、數(shù)學(xué)單擺模型,凡含有自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程稱為微分方程。例如：,1 ）如果微分方程中未知數(shù)只依賴于一個(gè)自變量，稱為常微分方程。例如：,二、 微分方程的基本概念,19,2 ）如果微分方程中未知數(shù)依賴于兩個(gè)或更多的自變量，稱為偏微分方程。例如：,,注：我們不特別聲明，就稱常微分方程為微分方程或方程。,方程的階數(shù)：一個(gè)微分方程中，未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，稱為方程的階數(shù)。,20,如果一個(gè)微分方程關(guān)于未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是線性的，則稱它為線性微分方程，否則稱之為非線性微分方程。,一般的n階微分方程的形式為：,其中：,的已知函數(shù)。,例如：,是二階非線性微分方程。,是變量,21,解和隱式解：,為方程的解。,將其代入方程,后，能使它變成恒等式，,則稱函數(shù),若關(guān)系式,決定的隱函數(shù),是,設(shè),上的解。,上的解。,是定義在區(qū)間（a,b）上的n階可微函,數(shù)，,22,把含有 n 個(gè)相互獨(dú)立的任意常數(shù),稱為n 階方程的通解。,的解,n 階方程的通解：,則稱,含有n個(gè)相互獨(dú)立的常數(shù)。,23,的通解。,特解：在通解中確立了一組任意常數(shù)后所得的解稱 為特解。,定解條件：為了確定微分方程的一個(gè)特定的解，我 們通常給出這個(gè)解所必需滿足的條件，這就是定解 條件常見(jiàn)的定解條件是初始條件。,24,求微分方程滿足定解條件的解就是所謂的定解問(wèn)題。,當(dāng)定解條件為初始條件時(shí)，相應(yīng)的定解問(wèn)題也就為 初值問(wèn)題。,25,滿足初始條件的解為微分方程的特解。,初始條件不同，對(duì)應(yīng)的特解也不同。,26,解：求出所給的函數(shù)導(dǎo)數(shù),因此，函數(shù)是微分方程的解。,27,內(nèi)容小結(jié),1. 微分方程的基本概念,線性微分方程， 非線性微分方程,常微分方程，偏微分方程，微分方程的階,P27 2， 3，4， 6，8（1）（3）（5）,初始條件,作 業(yè),微分方程的解，通解，特解,28,牛頓(1642 – 1727),,偉大的英國(guó)數(shù)學(xué)家 , 物理學(xué)家, 天文,學(xué)家和自然科學(xué)家.,他在數(shù)學(xué)上的卓越,貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了微積分.,1665年他提出正,流數(shù) (微分) 術(shù) ,,次年又提出反流數(shù)(積分)術(shù),,并于1671,年完成《流數(shù)術(shù)與無(wú)窮級(jí)數(shù)》一書 (1736年出版).,他,還著有《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》和《廣義算術(shù)》等 .,29,萊布尼茲(1646 – 1716),,,德國(guó)數(shù)學(xué)家, 哲學(xué)家.,他和牛頓同為,微積分的創(chuàng)始人 ,,他在《學(xué)藝》雜志,上發(fā)表的幾篇有關(guān)微積分學(xué)的論文中,,有的早于牛頓,,所用微積分符號(hào)也遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓 .,他還設(shè)計(jì)了作乘法的計(jì)算機(jī) ,,系統(tǒng)地闡述二進(jìn)制計(jì),數(shù)法 ,,并把它與中國(guó)的八卦聯(lián)系起來(lái) .,30,( 雅各布第一 · 伯努利 ),書中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用,,伯努利(1654 – 1705),瑞士數(shù)學(xué)家,,位數(shù)學(xué)家.,標(biāo)和極坐標(biāo)下的曲率半徑公式,,1695年,版了他的巨著《猜度術(shù)》,,上的一件大事,,而伯努利定理則是大數(shù)定律的最早形式.,年提出了著名的伯努利方程,,,他家祖孫三代出過(guò)十多,1694年他首次給出了直角坐,1713年出,這是組合數(shù)學(xué)與概率論史,此外, 他對(duì),雙紐線, 懸鏈線和對(duì)數(shù)螺線都有深入的研究 .,31,歐拉 (1707 – 1783),,瑞士數(shù)學(xué)家.,他寫了大量數(shù)學(xué)經(jīng)典,著作,,如《無(wú)窮小分析引論 》, 《微,還,寫了大量力學(xué), 幾何學(xué), 變分法教材.,他在工作期間幾乎每年都完成 800 頁(yè)創(chuàng)造性的論文.,他的最大貢獻(xiàn)是擴(kuò)展了微積分的領(lǐng)域,,要分支 (如無(wú)窮級(jí)數(shù), 微分方程) 與微分幾何的產(chǎn)生和,發(fā)展奠定了基礎(chǔ).,分學(xué)原理 》, 《積分學(xué)原理》等,,為分析學(xué)的重,在數(shù)學(xué)的許多分支中都有以他的名,字命名的重要常數(shù), 公式和定理.,32,拉格朗日 (1736 – 1813),法國(guó)數(shù)學(xué)家.,他在方程論, 解析函數(shù)論,,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻(xiàn),,近百,余年來(lái), 數(shù)學(xué)中的許多成就都直接或間,接地溯源于他的工作,,他是對(duì)分析數(shù)學(xué),產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一.,,33,