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1,可降階高階微分方程,第六節(jié),一、型的微分方程,二、型的微分方程,三、型的微分方程,第七章,2,一、,令,因此,即,同理可得,依次通過n次積分,可得含n個任意常數的通解.,型的微分方程,3,例1.,解:,4,例2.質量為m的質點受力F的作用沿ox軸作直線,運動,,在開始時刻,隨著時間的增大,此力F均勻地減,直到t=T時F(T)=0.,如果開始時質點在原點,,解:據題意有,,,,t=0時,設力F僅是時間t的函數:F=F(t).,小,,,,求質點的運動規(guī)律.,初速度為0,,,,,,,且,對方程兩邊積分,得,5,利用初始條件,于是,兩邊再積分得,再利用,故所求質點運動規(guī)律為,6,型的微分方程,設,原方程化為一階方程,設其通解為,則得,再一次積分,得原方程的通解,二、,7,例3.求解,解:,代入方程得,分離變量,積分得,利用,于是有,再積分得,由,因此所求特解為,,,8,例4.,繩索僅受,重力作用而下垂,,解:取坐標系如圖.,考察最低點A到,(?:密度,s:弧長),弧段重力大小,按靜力平衡條件,有,,,,,故有,,設有一均勻,柔軟的繩索,兩端固定,,問該繩索的平衡狀態(tài)是怎樣的曲線?,任意點M(x,y)弧段的受力情況:,兩式相除得,,,9,則得定解問題:,原方程化為,兩端積分得,則有,兩端積分得,故所求繩索的形狀為,,,,,,懸鏈線,10,三、,型的微分方程,令,故方程化為,設其通解為,即得,分離變量后積分,得原方程的通解,11,例5.求解,代入方程得,兩端積分得,故所求通解為,解:,練習：,,的特解為,,02，Ⅰ,12,M:地球質量m:物體質量,例6.,靜止開始落向地面,求它落到地面時的速度和所需時間,(不計空氣阻力).,解:如圖所示選取坐標系.,則有定解問題:,代入方程得,積分得,一個離地面很高的物體,受地球引力的作用由,,13,兩端積分得,因此有,注意“－”號,14,由于y=R時,由原方程可得,因此落到地面(y=R)時的速度和所需時間分別為,,15,說明:若此例改為如圖所示的坐標系,,解方程可得,問:此時開方根號前應取什么符號?說明道理.,則定解問題為,,16,例7.解初值問題,解:令,代入方程得,積分得,利用初始條件,,根據,積分得,故所求特解為,得,17,內容小結,可降階微分方程的解法,——降階法,逐次積分,令,令,18,思考與練習,1.方程,如何代換求解?,答:令,或,一般說,用前者方便些.,均可.,有時用后者方便.,例如,,2.解二階可降階微分方程初值問題需注意哪些問題?,答:(1)一般情況,邊解邊定常數計算簡便.,(2)遇到開平方時,要根據題意確定正負號.,例6,例7,19,,速度,大小為2v,方向指向A,,,提示:設t時刻B位于(x,y),如圖所示,則有,,去分母后兩邊對x求導,得,又由于,,,設物體A從點(0,1)出發(fā),以大小為常數v,備用題,的速度沿y軸正向運動,,物體B從(–1,0)出發(fā),,試建立物體B的運動軌跡應滿,足的微分方程及初始條件.,①,20,代入①式得所求微分方程:,其初始條件為,,21,滿足等式,設函數在(0,+∞)內具有二階導數，且,練習1,⑴驗證,22,高階線性微分方程解的結構,第七節(jié),二、線性齊次方程解的結構,三、線性非齊次方程解的結構,*四、常數變易法,一、二階線性微分方程舉例,第七章,23,一、二階線性微分方程舉例,當重力與彈性力抵消時,物體處于平衡狀態(tài),,例1.質量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,,力作用下作往復運動,,,,解:,阻力的大小與運動速度,下拉物體使它離開平衡位置后放開,,若用手向,物體在彈性力與阻,取平衡時物體的位置為坐標原點,,建立坐標系如圖.,設時刻t物位移為x(t).,(1)自由振動情況.,彈性恢復力,物體所受的力有:,(虎克定律),成正比,方向相反.,建立位移滿足的微分方程.,24,據牛頓第二定律得,則得有阻尼自由振動方程:,阻力,(2)強迫振動情況.,若物體在運動過程中還受鉛直外力,則得強迫振動方程:,25,求電容器兩極板間電壓,例2.,聯組成的電路,其中R,L,C為常數,,所滿足的微分方程.,提示:設電路中電流為i(t),,～,上的電量為q(t),,自感電動勢為,由電學知,根據回路電壓定律:,設有一個電阻R,自感L,電容C和電源E串,極板,在閉合回路中,所有支路上的電壓降為0。,26,,串聯電路的振蕩方程:,如果電容器充電后撤去電源(E=0),則得,化為關于,的方程:,故有,～,27,n階線性微分方程的一般形式為,方程的共性,為二階線性微分方程.,例1,例2,—可歸結為同一形式:,時,稱為非齊次方程;,時,稱為齊次方程.,,復習:一階線性方程,通解:,,非齊次方程特解,,齊次方程通解Y,,,28,證畢,二、線性齊次方程解的結構,是二階線性齊次方程,的兩個解,,也是該方程的解.,證:,代入方程左邊,得,(疊加原理),,定理1.,29,說明:,不一定是所給二階方程的通解.,例如,,是某二階齊次方程的解,,也是齊次方程的解,并不是通解,但是,則,為解決通解的判別問題,,,下面引入函數的線性相關與,線性無關概念.,30,定義:,是定義在區(qū)間I上的,n個函數,,使得,則稱這n個函數在I上線性相關,,否則稱為線性無關.,例如，,在(??,??)上都有,故它們在任何區(qū)間I上都線性相關;,又如，,若在某區(qū)間I上,則根據二次多項式至多只有兩個零點,,必需全為0,,可見,在任何區(qū)間I上都線性無關.,若存在不全為0的常數,31,兩個函數在區(qū)間I上線性相關與線性無關的充要條件:,線性相關,存在不全為0的,使,線性無關,,常數,思考:,中有一個恒為0,則,必線性,,相關,(證明略),線性無關,32,定理2.,是二階線性齊次方程的兩個線,性無關特解,則,數)是該方程的通解.,例如,方程,有特解,且,,常數,,故方程的通解為,(自證),推論.,是n階線性齊次方程,的n個線性無關解,,則方程的通解為,33,三、線性非齊次方程解的結構,是二階非齊次方程,的一個特解,,Y(x)是相應齊次方程的通解,,定理3.,則,是非齊次方程的通解.,證:將,代入方程①左端,得,,,,②,①,34,是非齊次方程的解,,又Y中含有,兩個獨立任意常數,,例如,方程,有特解,對應齊次方程,有通解,因此該方程的通解為,證畢,因而②也是通解.,故,35,定理4.,分別是方程,的特解,,是方程,的特解.(非齊次方程之解的疊加原理),定理3,定理4均可推廣到n階線性非齊次方程.,36,定理5.,是對應齊次方程的n個線性,無關特解,,給定n階非齊次線性方程,是非齊次方程的特解,,則非齊次方程,的通解為,,齊次方程通解,非齊次方程特解,,,37,常數,則該方程的通解是().,設線性無關函數,都是二階非齊次線,性方程,的解,,是任意,例3.,提示:,都是對應齊次方程的解,,二者線性無關.(自證),(89考研),38,例4.,已知微分方程,個解,求此方程滿足初始條件,的特解.,解:,是對應齊次方程的解,,且,常數,因而線性無關,,故原方程通解為,代入初始條件,故所求特解為,有三,39,*四、常數變易法,復習:,常數變易法:,對應齊次方程的通解:,設非齊次方程的解為,代入原方程確定,對二階非齊次方程,情形1.已知對應齊次方程通解:,,設③的解為,③,由于有兩個待定函數,所以要建立兩個方程:,④,40,⑤,令,于是,將以上結果代入方程①:,,,得,⑥,故⑤,⑥的系數行列式,41,積分得:,代入③即得非齊次方程的通解:,于是得,說明:,將③的解設為,只有一個必須滿足的條件即方程③,,因此必需再附加一,個條件,,方程⑤的引入是為了簡化計算.,42,情形2.,僅知③的齊次方程的一個非零特解,代入③化簡得,,,設其通解為,積分得,(一階線性方程),由此得原方程③的通解:,43,例5.,的通解為,的通解.,解:將所給方程化為:,已知齊次方程,求,利用⑤,⑥建立方程組:,,積分得,故所求通解為,44,例6.,的通解.,解:,對應齊次方程為,由觀察可知它有特解:,令,代入非齊次方程后化簡得,此題不需再作變換.,特征根:,設⑦的特解為,于是得⑦的通解:,故原方程通解為,(二階常系數非齊次方程),⑦,代入⑦可得:,45,四、小結,主要內容,線性方程解的結構；,線性相關與線性無關；,降階法與常數變易法；,補充內容,可觀察出一個特解,46,五、降階法（補充）,齊次線性方程求線性無關特解------降階法,代入(1)式,得,則有,,47,解得,劉維爾公式,齊次方程通解為,降階法,的一階方程,48,練習題,49,50,練習題答案,