2013北京航空航天大學(xué)線性代數(shù)課件-第一章--行列式的定義.ppt
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,歡迎選修線性代數(shù),朱立永,北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,這一講的主要內(nèi)容,這門課程的主要內(nèi)容這門課程的特點(diǎn)及考核方式行列式的定義,線性代數(shù)課程簡(jiǎn)介,英文名字:LinearAlgebra線性代數(shù)是討論有限維空間中線性關(guān)系經(jīng)典理論的課程;它具有較強(qiáng)的抽象性和邏輯性,是理工科大學(xué)本科各專業(yè)的重要基礎(chǔ)理論課;本課程不僅是學(xué)生必須掌握的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),同時(shí)也在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域有著十分廣泛的應(yīng)用。,本課程的主要內(nèi)容,行列式(第1章)矩陣(第2章)向量的線性相關(guān)性(第3章)線性方程組(第4章)矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)型(第5章)二次型(第6章)線性空間(第7章-自學(xué)內(nèi)容)線性變換(第8章自學(xué)內(nèi)容)線性代數(shù)的一些應(yīng)用(第9章-自學(xué)內(nèi)容),主要教材線性代數(shù),高宗升周夢(mèng)李紅裔編,北京航空航天大學(xué)出版社,2009。其它參考書(1)線性代數(shù),周德潤(rùn)等編,北京航空航天大學(xué)出版社,1996(2)線性代數(shù),同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室編,高等教育出版社(3)線性代數(shù),謝邦杰編,人民教育出版社,1978(4)高等代數(shù),北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編,北京大學(xué)出版社,2003(5)線性代數(shù)復(fù)習(xí)必備,自印。,參考資料,本門課程的特點(diǎn),具有較強(qiáng)的抽象性和邏輯性各部分內(nèi)容有緊密的聯(lián)系,課程安排及考核方式,總學(xué)時(shí):48=36課內(nèi)學(xué)時(shí)+12學(xué)時(shí)習(xí)題課課內(nèi)教師講授,課外學(xué)生自學(xué)與作習(xí)題考核方式及成績(jī)?cè)u(píng)定1.期末閉卷筆試,占總成績(jī)的902平時(shí)作業(yè)占10,其它要注意的幾點(diǎn),課前一定要做好預(yù)習(xí)課后要認(rèn)真完成作業(yè)有問題要及時(shí)問(baidu/google),(答疑時(shí)間和地點(diǎn)?)辦公室:學(xué)院路校區(qū)圖書館西配樓519室,Email:liyongzhu,第一章行列式,行列式是由解線性方程組引進(jìn)的,是研究線性代數(shù)的重要工具,它在自然科學(xué)的許多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。,本章的主要內(nèi)容,1.1n階行列式,1.1.1排列與逆序,1.1.2二階與三階行列式,1.1.3n階行列式的定義,1.1.1排列與逆序,定義1.1.1由自然數(shù)1,2,n組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)n階排列,記為j1,j2,jn,1,2,n可組成n!個(gè)不同的n階排列按數(shù)字的自然順序由小到大的排列稱為標(biāo)準(zhǔn)排列或自然排列.,定義1.1.2在一個(gè)排列中,若一個(gè)較大的數(shù)排在一個(gè)較小的數(shù)的前面,則稱這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序.一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù).用(j1,j2,jn)表示排列j1,j2,jn的逆序數(shù).逆序數(shù)是偶數(shù)的排列稱為偶排列,逆序數(shù)是奇數(shù)的排列稱為奇排列.,對(duì)一個(gè)n階排列j1,j2,jn,如何求它的逆序數(shù)呢?,設(shè)這個(gè)排列中排在j后面比j小的數(shù)的個(gè)數(shù)為(j),則排列j1,j2,jn的逆序數(shù)為,(j1,j2,jn)=(j1)+(j2)+(jn-1),例1.1.1求排列32514與n(n-1)321的逆序數(shù).,定義1.1.3把一個(gè)排列中某兩個(gè)數(shù)的位置互換,而其余的數(shù)不動(dòng),就得到一個(gè)新的排列,這種變換稱為排列的一個(gè)對(duì)換.,定理1.1.1一次對(duì)換改變排列奇偶性.,推論任何一個(gè)n階排列都可以通過對(duì)換化成標(biāo)準(zhǔn)排列,并且所作對(duì)換的次數(shù)的奇偶性與該排列的奇偶性相同.,1.1.2二階與三階行列式,設(shè)二元一次線性方程組,(1.1.6),用消元法去解此方程組,得,(1.1.7),為了便于記憶,引入記號(hào),(1.1.8),式(1.1.8)稱為二階行列式.D中橫寫的稱為行,豎寫的稱為列.數(shù)aij稱為行列式的元素,它的第一個(gè)下標(biāo)i表示這個(gè)元素所在的行,稱為行指標(biāo),第二個(gè)下標(biāo)j表示這個(gè)元素所在的列,稱為列指標(biāo).,行列式中從左上角到右下角的連線稱為主對(duì)角線,從右上角到左下角的連線稱為副對(duì)角線.由(1.1.8)可知,二階行列式的值是主對(duì)角線上元素a11,a22的乘積減去副對(duì)角線上元素a12,a21的乘積.按照這個(gè)規(guī)則,我們有,二元線性方程組(1.1.6)的解可用二階行列式表示成,同理,考慮三元一次線性方程組,(1.1.9),應(yīng)用消元法先后消去x2和x3,得到,把x1的系數(shù)記為式(1.1.10),類似:三階行列式對(duì)角線法則:實(shí)線上元素之積為正,虛線上元素之積為負(fù).,由于D中共有三行三列,我們把它稱為三階行列式.因?yàn)樗煞匠探M(1.1.9)中變?cè)南禂?shù)組成,又稱其為方程組(1.1.9)的系數(shù)行列式.如果D0,容易算出方程組(1.1.9)有唯一解:,其中Dj(j=1,2,3)分別是在D中把第j列的元素?fù)Q成方程組(1.1.9)右端的常數(shù)項(xiàng)b1,b2,b3得到.,由上面的討論,自然會(huì)想到如何把二階、三階行列式推廣到一般的n階行列式,并用它來(lái)表達(dá)由n個(gè)未知量n個(gè)方程所組成的線性方程組的解.通過觀察二階、三階行列式,發(fā)現(xiàn)它們有以下特點(diǎn):,(1)二階、三階行列式的每一項(xiàng)都是取自不同行不同列的元素的乘積,其代數(shù)和即為該行列式之值.二階行列式有2!項(xiàng),三階行列式有3!項(xiàng).,(2)代數(shù)和中每一項(xiàng)前的符號(hào)有以下規(guī)律:行指標(biāo)取成標(biāo)準(zhǔn)排列時(shí),由列指標(biāo)組成排列的奇偶性決定每項(xiàng)前的正負(fù)號(hào),偶者為正,奇者為負(fù).,綜上,我們有,1.1.3n階行列式的定義,定義1.1.4由n2個(gè)元素排成n行n列,以,記之,稱其為n階行列式,它代表一個(gè)數(shù)值.此數(shù)值是取自上式中不同行不同列的n個(gè)元素,乘積的代數(shù)和,其中j1,j2,jn是數(shù)字1,2,n的某一個(gè)排列,故共有n!項(xiàng)。,每項(xiàng)前的符號(hào)按下列規(guī)定:當(dāng)j1,j2,jn為偶排列時(shí)取正號(hào),當(dāng)j1,j2,jn為奇排列時(shí)取負(fù)號(hào),即,(1.1.11),表示對(duì)1,2,n這n個(gè)數(shù)組成的所有排列j1,j2,jn取和.,其中,當(dāng)n=1時(shí),即為一階行列式,我們規(guī)定|a|=a;n=2,3時(shí),即為前面定義的二階、三階行列式.,為了書寫方便,n階行列式也可記為Dn=|aij|n.,例1.1.2計(jì)算n階下三角形行列式,特別地,對(duì)于對(duì)角形行列式,有,例1.1.3計(jì)算n階行列式,在行列式的定義中,我們規(guī)定n個(gè)元素相乘時(shí),元素的行指標(biāo)按標(biāo)準(zhǔn)排列,由列指標(biāo)排列的逆序數(shù)決定各項(xiàng)前的正負(fù)號(hào).那么能否在定義中n個(gè)元素的相乘項(xiàng)里把元素的列指標(biāo)排列按標(biāo)準(zhǔn)排列,而由行指標(biāo)排列的逆序數(shù)決定各項(xiàng)前的正負(fù)號(hào)呢?,下面的定理回答了這一問題,定理1.1.2n階行列式也可定義為,(1.1.12),其中表示對(duì)1,2,n這n個(gè)數(shù)組成的所有排列i1,i2,in取和.,作業(yè),Page7習(xí)題1.1:4.(3)-(4);6.,- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問題本站不予受理。
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- 2013 北京 航空航天大學(xué) 線性代數(shù) 課件 第一章 行列式 定義
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