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矩形,——1.2.1矩形的性質(zhì),在小學(xué)，我們初步認識了長方形，觀察圖2-41中的長方形，它是什么平行四邊形嗎？它有什么特點呢？,圖2-41,這些四邊形的四個角都是直角.,我發(fā)現(xiàn)這些長方形的對邊平行且相等，因此，它們是平行四邊形.,有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形，也稱為長方形.,平行四邊形,矩形,矩形的四個角都是直角，對邊相等，對角線互相平分.,可以知道：,矩形是中心對稱圖形，對角線的交點是它的對稱中心.,由于矩形是平行四邊形，因此,如圖2-42，四邊形ABCD為矩形，那么對角線AC與DB相等嗎？,圖2-42,圖2-42,如圖，四邊形ABCD是矩形，,于是有AB=DC，∠CBA=∠BCD=90，BC=CB.,因此△CBA≌△BCD.(SAS),從而AC=BD.,即矩形的對角線相等.,圖2-42,矩形的對角線相等.,由此得到矩形的性質(zhì)：,圖2-43,解∵□ABCD是矩形，,從而,∴△AOB是等邊三角形.,∴AB=OA=2cm.,又∠AOB=60，,∵∠ABC=90，,∴在Rt△ABC中，,圖2-43,解∵□ABCD是矩形，,從而,在紙上畫一個矩形ABCD(如圖2-44)，把它剪下來，怎樣折疊能使矩形在折痕兩旁的部分互相重合？滿足這個要求的折疊方法有幾種？由此猜測：矩形是軸對稱圖形嗎？如果是，它有幾條對稱軸？你的猜測正確嗎？,,圖2-44,如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O.,,,O,過點O作直線EF⊥BC，且分別與邊BC，AD相交于點E，F(xiàn).,由于，因此△OBC是等腰三角形，從而直線EF是線段BC的垂直平分線.,由于AD∥BC，因此EF⊥AD.同理，直線EF是線段AD的垂直平分線.,因此點B和點C關(guān)于直線EF對稱，點A和點D關(guān)于直線EF對稱，從而在關(guān)于直線EF的軸反射下，矩形ABCD的像與它自身重合，因此矩形ABCD是軸對稱圖形，直線EF是矩形ABCD的一條對稱軸.,類似地，過點O作直線MN⊥AB，且分別與邊AB，DC相交于點M，N，則點M，N分別是邊AB，DC的中點，直線MN是矩形ABCD的一條對稱軸.,矩形是軸對稱圖形，過每一組對邊中點的直線都是矩形的對稱軸.,由此得到：,已知矩形的一條對角線的長度為2cm，兩條對角線的一個夾角為60，求矩形的各邊長.,1.,答：矩形的各邊長分別為1cm和,2.如圖，四邊形ABCD為矩形，試利用矩形的性質(zhì)說明：直角三角形ABC斜邊AC上的中線BO等于斜邊的一半.,例,如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，若∠AOB=60，AB=4cm，則AC的長為cm.,8,矩形,——1.2.2矩形的判定,矩形的四個角是直角，那么，四個角是直角的四邊形是矩形嗎？三個角是直角呢？兩個角是直角呢？,如圖2-46，四邊形ABCD的四個角都是直角.由于“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”，因此AB∥DC，AD∥BC，從而四邊形ABCD是平行四邊形.所以□ABCD是矩形.由此得到四個角是直角的四邊形是矩形.,圖2-46,三個角是直角的四邊形是矩形.,三個角是直角的四邊形，容易知道另一個角也是直角，由此得到：,從“矩形的對角線相等且互相平分”這一性質(zhì)受到啟發(fā)，你能畫出對角線長度為4cm的一個矩形嗎？這樣的矩形有多少個？,你能說出這樣畫出的四邊形一定是矩形的道理嗎？,如圖2-47，由畫法可知，四邊形ABCD的兩條對角線互相平分，因此它是平行四邊形，又已知其對角線相等，上述問題抽象出來就是：對角線相等的平行四邊形是矩形嗎？,我們來進行證明.,在□ABCD中，由于AB=DC，AC=DB，BC=CB，,因此△ABC≌△DCB.(SSS),從而∠ABC=∠DCB.,又∠ABC+∠DCB=180，,于是∠ABC=90.,所以□ABCD是矩形.,圖2-47,對角線相等的平行四邊形是矩形.,由此得到矩形的判定定理：,對角線相等的四邊形是矩形嗎？,圖2-48,舉例,（2）∵△OBC是等腰三角形，其中OB=OC，,∴AC與DB相等且互相平分.,∴△OBC是等腰三角形.,∴,∴AC=2OC=2OB=BD.,∴□ABCD是矩形.,圖2-48,,例3如圖：在ABCD中，對角線AC、BD交于點O,EF⊥AC,O是垂足，EF分別交AB、CD于點E、F，且BE=OE=0.5AE求證:ABCD是矩形,,1.如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D，求證：四邊形ABCD是矩形.,證明：因為四邊形中，∠A=∠B=∠C=∠D，四邊形的內(nèi)角和為360，所以∠A=∠B=∠C=∠D=90，所以四邊形ABCD是矩形.(三個角是直角的四邊形是矩形.),2.如圖，在□ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，∠AOB=60，AB=2，AC=4，求□ABCD的面積.,解：∵OA==2，AB=2，,∴△OAB是等腰三角形.,∴△OAB是等邊三角形.,又∠AOB=60，,∴OA=OB=2，∴AC=BD=4.,∴□ABCD是矩形.(對角線相等的平行四邊形是矩形.),∴,作OE⊥AD于點E.,∴,∴,,E,在Rt△OAE中，AO=2，OE==1，,例,在四邊形ABCD中，對角線AC與BD互相平分，交點為O，在不添加任何輔助線的前提下，要使四邊形ABCD成為矩形，還需添加一個條件，這個條件可以是.,AC=BD或∠ABC，∠CDA，∠BAD，∠BCD之中有任一個角為直角,,