高考數(shù)學(xué)人教A版(理)一輪復(fù)習(xí):第九篇 第7講 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系
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第7講 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系A(chǔ)級(jí)基礎(chǔ)演練(時(shí)間:30分鐘滿(mǎn)分:55分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1(2013濰坊一模)直線(xiàn)4kx4yk0與拋物線(xiàn)y2x交于A,B兩點(diǎn),若|AB|4,則弦AB的中點(diǎn)到直線(xiàn)x0的距離等于()A. B2 C. D4解析直線(xiàn)4kx4yk0,即yk,即直線(xiàn)4kx4yk0過(guò)拋物線(xiàn)y2x的焦點(diǎn).設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|x1x24,故x1x2,則弦AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是,弦AB的中點(diǎn)到直線(xiàn)x0的距離是.答案C2(2012臺(tái)州質(zhì)檢)設(shè)斜率為的直線(xiàn)l與橢圓1(ab0)交于不同的兩點(diǎn),且這兩個(gè)交點(diǎn)在x軸上的射影恰好是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),則該橢圓的離心率為()A. B. C. D.解析由于直線(xiàn)與橢圓的兩交點(diǎn)A,B在x軸上的射影分別為左、右焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2,故|AF1|BF2|,設(shè)直線(xiàn)與x軸交于C點(diǎn),又直線(xiàn)傾斜角的正切值為,結(jié)合圖形易得tan ,故|CF1|CF2|F1F2|2c,整理并化簡(jiǎn)得b2(a2c2)ac,即(1e2)e,解得e.答案C3(2012臨沂二模)拋物線(xiàn)y22px與直線(xiàn)2xya0交于A,B兩點(diǎn),其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2),設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F,則|FA|FB|的值等于()A7 B3 C6 D5解析點(diǎn)A(1,2)在拋物線(xiàn)y22px和直線(xiàn)2xya0上,則p2,a4,F(xiàn)(1,0),則B(4,4),故|FA|FB|7.答案A4(2013寧波十校聯(lián)考)設(shè)雙曲線(xiàn)1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,離心率為e,過(guò)F2的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支交于A,B兩點(diǎn),若F1AB是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,則e2()A12 B42C52 D32解析如圖,設(shè)|AF1|m,則|BF1|m,|AF2|m2a,|BF2|m2a,|AB|AF2|BF2|m2am2am,得m2a,又由|AF1|2|AF2|2|F1F2|2,可得m2(m2a)24c2,即得(208)a24c2,e252,故應(yīng)選C.答案C二、填空題(每小題5分,共10分)5橢圓y21的弦被點(diǎn)平分,則這條弦所在的直線(xiàn)方程是_解析設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x21,y1y21.A,B在橢圓上,y1,y1.兩式相減得:(y1y2)(y1y2)0,即,x1x21,y1y21,即直線(xiàn)AB的斜率為.直線(xiàn)AB的方程為y,即該弦所在直線(xiàn)的方程為2x4y30.答案2x4y306(2013東北三省聯(lián)考)已知橢圓C:1(ab0),F(xiàn)(,0)為其右焦點(diǎn),過(guò)F垂直于x軸的直線(xiàn)與橢圓相交所得的弦長(zhǎng)為2,則橢圓C的方程為_(kāi)解析由題意,得解得橢圓C的方程為1.答案1三、解答題(共25分)7(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)y24x相交于不同的A,B兩點(diǎn)(1)如果直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),求的值;(2)如果4,證明:直線(xiàn)l必過(guò)一定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)(1)解由題意:拋物線(xiàn)焦點(diǎn)為(1,0),設(shè)l:xty1,代入拋物線(xiàn)y24x,消去x得y24ty40,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1y24t,y1y24,x1x2y1y2(ty11)(ty21)y1y2t2y1y2t(y1y2)1y1y24t24t2143.(2)證明設(shè)l:xtyb,代入拋物線(xiàn)y24x,消去x得y24ty4b0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1y24t,y1y24b,x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b.令b24b4,b24b40,b2,直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)(2,0)若4,則直線(xiàn)l必過(guò)一定點(diǎn)8(13分)給出雙曲線(xiàn)x21.(1)求以A(2,1)為中點(diǎn)的弦所在的直線(xiàn)方程;(2)若過(guò)點(diǎn)A(2,1)的直線(xiàn)l與所給雙曲線(xiàn)交于P1,P2兩點(diǎn),求線(xiàn)段P1P2的中點(diǎn)P的軌跡方程;(3)過(guò)點(diǎn)B(1,1)能否作直線(xiàn)m,使得m與雙曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)Q1,Q2,且B是Q1Q2的中點(diǎn)?這樣的直線(xiàn)m若存在,求出它的方程;若不存在,說(shuō)明理由解(1)設(shè)弦的兩端點(diǎn)為P1(x1,y1),P2(x2,y2),則兩式相減得到2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2),又x1x24,y1y22,所以直線(xiàn)斜率k4.故求得直線(xiàn)方程為4xy70.(2)設(shè)P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2),按照(1)的解法可得,由于P1,P2,P,A四點(diǎn)共線(xiàn),得,由可得,整理得2x2y24xy0,檢驗(yàn)當(dāng)x1x2時(shí),x2,y0也滿(mǎn)足方程,故P1P2的中點(diǎn)P的軌跡方程是2x2y24xy0.(3)假設(shè)滿(mǎn)足題設(shè)條件的直線(xiàn)m存在,按照(1)的解法可得直線(xiàn)m的方程為y2x1.考慮到方程組無(wú)解,因此滿(mǎn)足題設(shè)條件的直線(xiàn)m是不存在的B級(jí)能力突破(時(shí)間:30分鐘滿(mǎn)分:45分)一、選擇題(每小題5分,共10分)1(2013皖南八校聯(lián)考)已知直線(xiàn)l:yk(x2)(k0)與拋物線(xiàn)C:y28x交于A,B兩點(diǎn),F(xiàn)為拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn),若|AF|2|BF|,則k的值是()A. B. C2 D.解析法一據(jù)題意畫(huà)圖,作AA1l,BB1l,BDAA1.設(shè)直線(xiàn)l的傾斜角為,|AF|2|BF|2r,則|AA1|2|BB1|2|AD|2r,所以有|AB|3r,|AD|r,則|BD|2r,ktan tanBAD2.法二直線(xiàn)yk(x2)恰好經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)y28x的焦點(diǎn)F(2,0),由可得ky28y16k0,因?yàn)閨FA|2|FB|,所以yA2yB.則yAyB2yByB,所以yB,yAyB16,所以2y16,即yB2.又k0,故k2.答案C2(2012沈陽(yáng)二模)過(guò)雙曲線(xiàn)1(a0)的右焦點(diǎn)F作一條直線(xiàn),當(dāng)直線(xiàn)斜率為2時(shí),直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)直線(xiàn)斜率為3時(shí),直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)右支有兩個(gè)不同交點(diǎn),則雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍是()A(,5) B(,) C(1,) D(5,5)解析令b,c,則雙曲線(xiàn)的離心率為e,雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的斜率為.據(jù)題意,23,如圖所示,23,5e210,e.答案B二、填空題(每小題5分,共10分)3(2013揭陽(yáng)模擬)過(guò)橢圓1(ab0)的左頂點(diǎn)A且斜率為1的直線(xiàn)與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為M,與y軸的交點(diǎn)為B,若|AM|MB|,則該橢圓的離心率為_(kāi)解析由題意知A點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,0),l的方程為yxa,B點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,a),故M點(diǎn)的坐標(biāo)為,代入橢圓方程得a23b2,c22b2,e.答案4已知曲線(xiàn)1(ab0,且ab)與直線(xiàn)xy10相交于P,Q兩點(diǎn),且0(O為原點(diǎn)),則的值為_(kāi)解析將y1x代入1,得(ba)x22ax(aab)0.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1x2,x1x2.x1x2y1y2x1x2(1x1)(1x2)2x1x2(x1x2)1.所以10,即2a2ab2aab0,即ba2ab,所以2.答案2三、解答題(共25分)5(12分)(2012上海)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知雙曲線(xiàn)C1:2x2y21.(1)過(guò)C1的左頂點(diǎn)引C1的一條漸近線(xiàn)的平行線(xiàn),求該直線(xiàn)與另一條漸近線(xiàn)及x軸圍成的三角形的面積(2)設(shè)斜率為1的直線(xiàn)l交C1于P、Q兩點(diǎn)若l與圓x2y21相切,求證:OPOQ.(3)設(shè)橢圓C2:4x2y21.若M、N分別是C1、C2上的動(dòng)點(diǎn),且OMON,求證:O到直線(xiàn)MN的距離是定值(1)解雙曲線(xiàn)C1:y21,左頂點(diǎn)A,漸近線(xiàn)方程:yx.不妨取過(guò)點(diǎn)A與漸近線(xiàn)yx平行的直線(xiàn)方程為y,即yx1.解方程組得所以所求三角形的面積為S|OA|y|.(2)證明設(shè)直線(xiàn)PQ的方程是yxb.因?yàn)橹本€(xiàn)PQ與已知圓相切,故1,即b22.由得x22bxb210.設(shè)P(x1,y1)、Q(x2,y2),則又y1y2(x1b)(x2b),所以x1x2y1y22x1x2b(x1x2)b22(1b2)2b2b2b220.故OPOQ.(3)證明當(dāng)直線(xiàn)ON垂直于x軸時(shí),|ON|1,|OM|,則O到直線(xiàn)MN的距離為.當(dāng)直線(xiàn)ON不垂直于x軸時(shí),設(shè)直線(xiàn)ON的方程為ykx,則直線(xiàn)OM的方程為yx.由得所以|ON|2.同理|OM|2.設(shè)O到直線(xiàn)MN的距離為d,因?yàn)?|OM|2|ON|2)d2|OM|2|ON|2,所以3,即d.綜上,O到直線(xiàn)MN的距離是定值6(13分)(2012臨沂二模)在圓x2y24上任取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)段,D為垂足,點(diǎn)M在線(xiàn)段PD上,且|DP|DM|,點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)(1)求點(diǎn)M的軌跡方程;(2)過(guò)定點(diǎn)C(1,0)的直線(xiàn)與點(diǎn)M的軌跡交于A,B兩點(diǎn),在x軸上是否存在點(diǎn)N,使為常數(shù),若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)設(shè)P(x0,y0),M(x,y),則x0x,y0y.P(x0,y0)在x2y24上,xy4.x22y24,即1.點(diǎn)M的軌跡方程為1(x2)(2)假設(shè)存在當(dāng)直線(xiàn)AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線(xiàn)AB的方程為yk(x1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2),N(n,0),聯(lián)立方程組整理得(12k2)x24k2x2k240,x1x2,x1x2.(x1n,y1)(x2n,y2)(1k2)x1x2(x1x2)(k2n)n2k2(1k2)(k2n)k2n2n2n2(2n24n1).是與k無(wú)關(guān)的常數(shù),2n0.n,即N,此時(shí).當(dāng)直線(xiàn)AB與x軸垂直時(shí),若n,則.綜上所述,在x軸上存在定點(diǎn)N,使為常數(shù)特別提醒:教師配贈(zèng)習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見(jiàn)創(chuàng)新設(shè)計(jì)高考總復(fù)習(xí)光盤(pán)中內(nèi)容.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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