高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明綜合檢測 新人教A版選修2-2
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第二章 推理與證明綜合檢測時(shí)間120分鐘,滿分150分。一、選擇題(本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1銳角三角形的面積等于底乘高的一半;直角三角形的面積等于底乘高的一半;鈍角三角形的面積等于底乘高的一半;所以,凡是三角形的面積都等于底乘高的一半以上推理運(yùn)用的推理規(guī)則是()A三段論推理B假言推理C關(guān)系推理 D完全歸納推理答案D解析所有三角形按角分,只有銳角三角形、Rt三角形和鈍角三角形三種情形,上述推理窮盡了所有的可能情形,故為完全歸納推理2數(shù)列1,3,6,10,15,的遞推公式可能是()A.B.C.D.答案B解析記數(shù)列為an,由已知觀察規(guī)律:a2比a1多2,a3比a2多3,a4比a3多4,可知當(dāng)n2時(shí),an比an1多n,可得遞推關(guān)系(n2,nN*)3有一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是真分?jǐn)?shù),整數(shù)是有理數(shù),則整數(shù)是真分?jǐn)?shù)”,結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的,因?yàn)?)A大前提錯(cuò)誤 B小前提錯(cuò)誤C推理形式錯(cuò)誤 D不是以上錯(cuò)誤答案C解析大小前提都正確,其推理形式錯(cuò)誤故應(yīng)選C.4用數(shù)學(xué)歸納法證明等式123(n3)(nN*)時(shí),驗(yàn)證n1,左邊應(yīng)取的項(xiàng)是()A1 B12C123 D1234答案D解析當(dāng)n1時(shí),左12(13)124,故應(yīng)選D.5在R上定義運(yùn)算:xyx(1y)若不等式(xa)(xa)1對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立,則()A1a1 B0a2Ca Da答案C解析類比題目所給運(yùn)算的形式,得到不等式(xa)(xa)1的簡化形式,再求其恒成立時(shí)a的取值范圍(xa)(xa)1(xa)(1xa)0不等式恒成立的充要條件是14(a2a1)0即4a24a30解得a0,0,所以0,所以a時(shí),f(2k1)f(2k)_.答案解析f(2k1)1f(2k)1f(2k1)f(2k).15觀察sin210cos240sin10cos40;sin26cos236sin6cos36.兩式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可提出一個(gè)猜想的等式為_答案sin2cos2(30)sincos(30)解析觀察401030,36630,由此猜想:sin2cos2(30)sincos(30).可以證明此結(jié)論是正確的,證明如下:sin2cos2(30)sincos(30)sin(302)sin301cos(602)cos2sin(302)12sin(302)sin30sin(302)sin(302)sin(302).16設(shè)P是一個(gè)數(shù)集,且至少含有兩個(gè)數(shù),若對(duì)任意a、bP,都有ab、ab、ab、P(除數(shù)b0),則稱P是一個(gè)數(shù)域例如有理數(shù)集Q是數(shù)域;數(shù)集Fab|a,bQ也是數(shù)域有下列命題:整數(shù)集是數(shù)域;若有理數(shù)集QM,則數(shù)集M必為數(shù)域;數(shù)域必為無限集;存在無窮多個(gè)數(shù)域其中正確命題的序號(hào)是_(把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上)答案解析考查閱讀理解、分析等學(xué)習(xí)能力整數(shù)a2,b4,不是整數(shù);如將有理數(shù)集Q,添上元素,得到數(shù)集M,則取a3,b,abM;由數(shù)域P的定義知,若aP,bP(P中至少含有兩個(gè)元素),則有abP,從而a2b,a3b,anbP,P中必含有無窮多個(gè)元素,對(duì)設(shè)x是一個(gè)非完全平方正整數(shù)(x1),a,bQ,則由數(shù)域定義知,F(xiàn)ab|a、bQ必是數(shù)域,這樣的數(shù)域F有無窮多個(gè)三、解答題(本大題共6個(gè)小題,共74分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17(本題滿分12分)已知:a、b、cR,且abc1.求證:a2b2c2.證明由a2b22ab,及b2c22bc,c2a22ca.三式相加得a2b2c2abbcca.3(a2b2c2)(a2b2c2)2(abbcca)(abc)2.由abc1,得3(a2b2c2)1,即a2b2c2.18(本題滿分12分)證明下列等式,并從中歸納出一個(gè)一般性的結(jié)論2cos,2cos,2cos,證明2cos22cos222cos2219(本題滿分12分)已知數(shù)列an滿足a13,anan12an11.(1)求a2、a3、a4;(2)求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并寫出數(shù)列an的一個(gè)通項(xiàng)公式解析(1)由anan12an11得an2,代入a13,n依次取值2,3,4,得a22,a32,a42.(2)證明:由anan12an11變形,得(an1)(an11)(an1)(an11),即1,所以是等差數(shù)列由,所以n1,變形得an1,所以an為數(shù)列an的一個(gè)通項(xiàng)公式20(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)ax(a1)(1)證明:函數(shù)f(x)在(1,)上為增函數(shù);(2)用反證法證明方程f(x)0沒有負(fù)根解析(1)證法1:任取x1,x2(1,),不妨設(shè)x10,且ax10,又x110,x210,f(x2)f(x1)0,于是f(x2)f(x1)ax2ax10,故函數(shù)f(x)在(1,)上為增函數(shù)證法2:f(x)axlnaaxlnaa1,lna0,axlna0,f(x)0在(1,)上恒成立,即f(x)在(1,)上為增函數(shù)(2)解法1:設(shè)存在x00(x01)滿足f(x0)0則ax0,且0ax01.01,即x02,與假設(shè)x00矛盾故方程f(x)0沒有負(fù)數(shù)根解法2:設(shè)x00(x01)若1x00,則2,ax01,f(x0)1.若x00,ax00,f(x0)0.綜上,x0(x1)時(shí),f(x)0,即方程f(x)0無負(fù)根21(本題滿分12分)我們知道,在ABC中,若c2a2b2,則ABC是直角三角形現(xiàn)在請(qǐng)你研究:若cnanbn(n2),問ABC為何種三角形?為什么?解析銳角三角形cnanbn (n2),ca, cb,由c是ABC的最大邊,所以要證ABC是銳角三角形,只需證角C為銳角,即證cosC0.cosC,要證cosC0,只要證a2b2c2,注意到條件:anbncn,于是將等價(jià)變形為:(a2b2)cn2cn.ca,cb,n2,cn2an2,cn2bn2,即cn2an20,cn2bn20,從而(a2b2)cn2cn(a2b2)cn2anbna2(cn2an2)b2(cn2bn2)0,這說明式成立,從而式也成立故cosC0,C是銳角,ABC為銳角三角形22(本題滿分14分)(2010安徽理,20)設(shè)數(shù)列a1,a2,an,中的每一項(xiàng)都不為0.證明an為等差數(shù)列的充分必要條件是:對(duì)任何nN,都有.分析本題考查等差數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法與充要條件等有關(guān)知識(shí),考查推理論證、運(yùn)算求解能力解題思路是利用裂項(xiàng)求和法證必要性,再用數(shù)學(xué)歸納法或綜合法證明充分性證明先證必要性設(shè)數(shù)列an的公差為d.若d0,則所述等式顯然成立若d0,則.再證充分性證法1:(數(shù)學(xué)歸納法)設(shè)所述的等式對(duì)一切nN都成立首先,在等式兩端同乘a1a2a3,即得a1a32a2,所以a1,a2,a3成等差數(shù)列,記公差為d,則a2a1d.假設(shè)aka1(k1)d,當(dāng)nk1時(shí),觀察如下兩個(gè)等式,將代入,得,在該式兩端同乘a1akak1,得(k1)ak1a1kak.將aka1(k1)d代入其中,整理后,得ak1a1kd.由數(shù)學(xué)歸納法原理知,對(duì)一切nN,都有ana1(n1)d,所以an是公差為d的等差數(shù)列證法2:(直接證法)依題意有,.得,在上式兩端同乘a1an1an2,得a1(n1)an1nan2.同理可得a1nan(n1)an1(n2)得2nan1n(an2an)即an2an1an1an,由證法1知a3a2a2a1,故上式對(duì)任意nN*均成立所以an是等差數(shù)列- 11 -- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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