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第4講 基本不等式
A級 基礎(chǔ)演練(時(shí)間：30分鐘 滿分：55分)
一、選擇題(每小題5分，共20分)
1．(2013·寧波模擬)若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，則ab的最大值為 ( )．
A. B．1 C．2 D．4
解析 ∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥2，即ab≤.當(dāng)且僅當(dāng)a＝1，b＝時(shí)等號成立．
答案 A
2．函數(shù)y＝(x>1)的最小值是 ( )．
A．2＋2 B．2－2
C．2 D．2
解析 ∵x>1，∴x－1>0，
∴y＝＝
＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2.
當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝，即x＝＋1時(shí)取等號．
答案 A
3．(2012·陜西)小王從甲地到乙地的時(shí)速分別為a和b(a
＝0，∴v>a.
答案 A
4．(2013·杭州模擬)設(shè)a>b>c>0，則2a2＋＋－10ac＋25c2的最小值是
( )．
A．2 B．4 C．2 D．5
解析 2a2＋＋－10ac＋25c2
＝2a2＋－10ac＋25c2
＝2a2＋－10ac＋25c2
≥2a2＋－10ac＋25c2(b＝a－b時(shí)取“＝”)
＝2a2＋－10ac＋25c2＝＋(a－5c)2≥4
，故選B.
答案 B
二、填空題(每小題5分，共10分)
5．(2011·浙江)設(shè)x，y為實(shí)數(shù)．若4x2＋y2＋xy＝1，則2x＋y的最大值是________．
解析 依題意有(2x＋y)2＝1＋3xy＝1＋×2x×y≤1＋·2，得(2x＋y)2≤1，即|2x＋y|≤.當(dāng)且僅當(dāng)2x＝y(tǒng)＝時(shí)，2x＋y取最大值.
答案
6．(2013·北京朝陽期末)某公司購買一批機(jī)器投入生產(chǎn)，據(jù)市場分析，每臺機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y(單位：萬元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間x(單位：年)的關(guān)系為y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，則當(dāng)每臺機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)________年時(shí)，年平均利潤最大，最大值是________萬元．
解析 每臺機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)x年的年平均利潤為＝18－，而x>0，故≤18－2＝8，當(dāng)且僅當(dāng)x＝5時(shí)等號成立，此時(shí)年平均利潤最大，最大值為8萬元．
答案 5 8
三、解答題(共25分)
7．(12分)已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，
求：(1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值．
解 ∵x＞0，y＞0,2x＋8y－xy＝0，
(1)xy＝2x＋8y≥2，∴≥8，∴xy≥64.
故xy的最小值為64.
(2)由2x＋8y＝xy，得：＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)
＝10＋＋≥10＋8＝18.
故x＋y的最小值為18.
8．(13分)已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.
(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；
(2)求＋的最小值．
解 (1)∵x>0，y>0，
∴由基本不等式，得2x＋5y≥2.
∵2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝5y時(shí)，等號成立．
因此有解得
此時(shí)xy有最大值10.
∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.
∴當(dāng)x＝5，y＝2時(shí)，u＝lg x＋lg y有最大值1.
(2)∵x>0，y>0，∴＋＝·＝
≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)，等號成立．
由解得
∴＋的最小值為.
B級 能力突破(時(shí)間：30分鐘 滿分：45分)
一、選擇題(每小題5分，共10分)
1．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ( )．
A．(－∞，－2]∪[4，＋∞) B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)
C．(－2,4) D．(－4,2)
解析 ∵x>0，y>0且＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋
≥4＋2 ＝8，當(dāng)且僅當(dāng)＝，
即x＝4，y＝2時(shí)取等號，
∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，
只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，
即8>m2＋2m，解得－40)，l1與函數(shù)y＝|log2x|的圖象從左至右相交于點(diǎn)A，B，l2與函數(shù)y＝|log2x|的圖象從左至右相交于點(diǎn)C，D.記線段AC和BD在x軸上的投影長度分別為a，b.當(dāng)m變化時(shí)，的最小值為 ( )．
A．16 B．8 C．8 D．4
解析 如圖，作出y＝|log2x|的圖象，由圖可知A，C點(diǎn)的橫坐標(biāo)在區(qū)間(0,1)內(nèi)，B，D點(diǎn)的橫坐標(biāo)在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)，而且xC－xA與xB－xD同號，所以＝，根據(jù)已知|log2xA|＝m，即－log2xA＝m，所以xA＝2－m.同理可得xC＝2－，xB＝2m，xD＝2，所以＝＝＝＝2＋m，由于＋m＝＋－≥4－＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即2m＋1＝4，即m＝時(shí)等號成立，故的最小值為2＝8.
答案 B
二、填空題(每小題5分，共10分)
3．若正數(shù)a，b滿足ab＝a＋b＋3，則ab的取值范圍是________．
解析 由a，b∈R＋，由基本不等式得a＋b≥2，
則ab＝a＋b＋3≥2＋3，
即ab－2－3≥0?(－3)(＋1)≥0? ≥3，
∴ab≥9.
答案 [9，＋∞)
4．已知兩正數(shù)x，y滿足x＋y＝1，則z＝的最小值為________。
解析 z＝＝xy＋＋＋＝xy＋＋＝＋xy－2，令t＝xy，則00)．
(1)求f(x)的最大值；
(2)證明：對任意實(shí)數(shù)a，b，恒有f(a)
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高考數(shù)學(xué)人教A版理一輪復(fù)習(xí)：第七篇
第4講
基本不等式
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第七
基本
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