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秩,階梯陣,r(A)=非0行數(shù),行變換,極大無關(guān)組(基),階梯陣,主列對(duì)應(yīng)原矩陣的列,行變換,行最簡(jiǎn)形,非主列的線性表示關(guān)系,解Ax=b (AX=B),(A b) 行變換,階梯陣,判別解:r1r2無解r1=r2=n 唯一解, r1=r2n無窮多解,行最簡(jiǎn)形,基解:非主列變量為e1en?r,特解:非主列變量為0,逆矩陣,行變換,行最簡(jiǎn)形,(A E)? (E A?1 ),行列式,行/列變換,三角形,某行(列)有 一非0元素,注意對(duì)角線方向的符號(hào),按此行(列)展開,1,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.2 方陣的特征值和特征向量 (1學(xué)時(shí)),§4.1 相似矩陣 (1學(xué)時(shí)),§4.4 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化 (1學(xué)時(shí)),初等變換,,相抵,,等價(jià)類的 不變量,,矩陣的秩,相抵標(biāo)準(zhǔn)形,,不變量,§4.3 方陣可相似對(duì)角化的條件 (1學(xué)時(shí)),相似變換,,相似,2,§4.2 方陣的特征值和特征向量 (1學(xué)時(shí)),一. 特征值、特征向量的定義和計(jì)算,§4.1 相似矩陣 (1學(xué)時(shí)),二. 方陣與對(duì)角矩陣相似的充要條件,一. 相似矩陣的定義和性質(zhì),二. 特征值、特征向量的性質(zhì),第四章 矩陣的特征值和特征向量,3,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.1 相似矩陣,,?,相似的應(yīng)用,求A11.,,,A = P?P?1,A11 = (P?P?1)(P?P?1)(P?P?1)…(P?P?1),,,,= P?11P?1,A與 ?相似,4,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.1 相似矩陣,,§4.1 相似矩陣,一. 相似矩陣的定義和性質(zhì),設(shè)A, B都是n階方陣, 若有可逆矩陣P, 使P?1AP=B, 則稱矩陣A與B相似. 記為A~B. P為相似變換矩陣.,注1: 相似是相抵的特例: 相似必相抵,反之不然.,證明：,5,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.1 相似矩陣,,§4.1 相似矩陣,一. 相似矩陣的定義和性質(zhì),設(shè)A, B都是n階方陣, 若有可逆矩陣P, 使P?1AP=B, 則稱矩陣A與B相似. 記為A~B. P為相似變換矩陣.,注1: 相似是相抵的特例: 相似必相抵,反之不然.,注2: 反身性: A~A; 對(duì)稱性: A~B ? B~A; 傳遞性: A~B, B~C ? A~C.,矩陣間的相似關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系,P?1AP =B,PBP?1 =A,相抵關(guān)系下的不變量：矩陣的秩,相似關(guān)系下的不變量：,矩陣的秩,6,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.1 相似矩陣,,一. 相似矩陣的定義和性質(zhì),設(shè)A, B都是n階方陣, 若有可逆矩陣P, 使P?1AP=B.,注1: 相似是相抵的特例: 相似必相抵,反之不然.,矩陣間的相似關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系,相似關(guān)系下的不變量：,矩陣的秩,,注2:,性質(zhì)2:,A~B, 則 |A| = |B|.,|B| = |P?1AP| = |P?1| |A| |P| = |P?1| |P| |A| = |A|.,定義2: 矩陣的跡(trace):,tr(A+B) = tr(A)+tr(B),tr(kA) = k tr(A),tr(AB) = tr(BA),性質(zhì)3:,A~B, 則tr(A) = tr(B).,行列式,,跡,=tr(P?1AP)=tr(APP?1),7,,性質(zhì)4: 設(shè)A~B, f 是一個(gè)多項(xiàng)式, 則f(A)~ f(B).,證明: 設(shè)P ?1AP =B, f(x) = anxn+…+a1x+a0, 則,P ?1f(A)P,= anP ?1AnP+…+a1P ?1AP+a0 P ?1EP,= an(P ?1AP)n+…+a1P ?1AP+a0E,= P ?1( anAn+…+a1A+a0E )P,= anBn+…+a1B+a0E,= f(B).,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.1 相似矩陣,8,二. 方陣與對(duì)角矩陣相似的充要條件,定理4.1. n階方陣A與對(duì)角矩陣相似 ? ?n個(gè)線性 無關(guān)的向量?1, ?2, …, ?n和n個(gè)數(shù)?1, ?2, …, ?n滿足 A?i = ?i?i , i=1,2,…,n. 若令P = (?1, ?2, …,?n), ? = diag(?1, ?2,…,?n), 則 P–1AP = ? .,證明: 設(shè)P–1AP = ?= diag(?1, ?2, …, ?n),,? AP = Pdiag(?1, ?2, …, ?n), 即,? A(?1, ?2, …, ?n) = (?1?1, ?2?2, …, ?n ?n),,? A?i = ?i?i , i=1,2,…,n,,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.1 相似矩陣,P可逆,,所以 ?1, ?2, …, ?n 線性無關(guān).,?,?,?,9,二. 方陣與對(duì)角矩陣相似的充要條件,定理4.1. n階方陣A與對(duì)角矩陣相似 ? ?n個(gè)線性 無關(guān)的向量?1, ?2, …, ?n和n個(gè)數(shù)?1, ?2, …, ?n滿足 A?i = ?i?i , i=1,2,…,n. 若令P = (?1, ?2, …,?n), ? = diag(?1, ?2,…,?n), 則 P–1AP = ? .,,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.1 相似矩陣,方陣A的相似對(duì)角化問題: 求可逆陣P, 使P –1AP=?. 其中，對(duì)角陣?稱為相似標(biāo)準(zhǔn)形.,相似關(guān)系下的不變量：,矩陣的秩,,行列式,,跡,相抵關(guān)系下的不變量：矩陣的秩,相抵關(guān)系下的最簡(jiǎn)形：相抵標(biāo)準(zhǔn)形,相似關(guān)系下的最簡(jiǎn)形：,相似標(biāo)準(zhǔn)形?,10,1. 定義,,?,? = ?,n階方陣,非零向量,特征值(eigenvalue),特征向量(eigenvector),§4.2 方陣的特征值和特征向量,一. 特征值、特征向量的定義和計(jì)算,A,?,數(shù),注1. 幾何意義,A3?3,//?,注2. ? ? ?,否則, ? = ?, ???R, A? = ? = ??,但是可以 ?=0, 此時(shí),,A? = 0? = ?,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.2 特征值與特征向量,11,,eigshow(A),顯示不同的單位向量x及經(jīng)變換后的向量y=Ax,,,,?,特征值和特征向量：???0, s.t. A? = ??,12,,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.2 特征值與特征向量,?,A? = ??,,(?E–A)? = 0,,|?E–A| = 0,特征方程,=,特征多項(xiàng)式,特征值,特征向量,? ? ?,對(duì)每個(gè)?, 求(?E–A)x = 0的基礎(chǔ)解系 ?1, ?2,?,?t,,對(duì)應(yīng)于?的所有特征向量為 k1? 1+k2?2+?+kt?t , k1,?, kt 不全為0.,2. 計(jì)算,先解|?E–A|=0, 求出所有特征值?,,,13,解: |?E–A| = (?+1)(? –2)2. 所以A的特征值為?1= –1, ?2= ?3= 2. (–E–A)x = 0的基礎(chǔ)解系: ?1=(1,0,1)T. 對(duì)應(yīng)于?1= –1的特征向量為k?1 (0?k?R). (2E–A)x = 0的基礎(chǔ)解系: ?2=(0, 1, –1)T, ?3=(1, 0, 4)T. 對(duì)應(yīng)于?2=?3 =2的特征向量為k2?2 +k3?3 (k2, k3不同時(shí)為零).,例2. 求,的特征值和特征向量.,,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.2 特征值與特征向量,14,定理4.1. n階方陣A與對(duì)角陣相似 ? ?n個(gè)線性無關(guān)的向量?1,…,?n和n個(gè)數(shù)?1,…,?n滿足 A?i = ?i?i , i=1,…,n.,,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.1 相似矩陣,方陣A的相似對(duì)角化問題: 求可逆陣P, 使P –1AP=?.,相似關(guān)系下的不變量：,矩陣的秩,,行列式,,跡,相抵關(guān)系下的不變量：矩陣的秩,相抵關(guān)系下的最簡(jiǎn)形：相抵標(biāo)準(zhǔn)形,相似關(guān)系下的最簡(jiǎn)形：,相似標(biāo)準(zhǔn)形?,n階方陣A, B相似, 若有可逆陣P, 使P?1AP=B.,,? A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量?1,…,?n. ? = diag(?1,…,?n), ?i為特征值, P = (?1,…,?n).,?i為特征值,?i為特征向量,,15,,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.2 特征值與特征向量,?,A? = ??,,(?E–A)? = 0,,|?E–A| = 0,特征方程,=,特征多項(xiàng)式,特征值,特征向量,? ? ?,對(duì)每個(gè)?, 求(?E–A)x = 0的基礎(chǔ)解系 ?1, ?2,?,?t,,對(duì)應(yīng)于?的所有特征向量為 k1? 1+k2?2+?+kt?t , k1,?, kt 不全為0.,2. 計(jì)算,先解|?E–A|=0, 求出所有特征值?,,,16,解:,,,,,,,,,,所以A的全部特征值為 0(n?1重根),,例3. 設(shè)??0, ??Rn, 求A=??T的特征值和特征向量.,,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.2 特征值與特征向量,17,解: 當(dāng)?=0時(shí), (?E?A)x = 0, 即Ax = 0.,不妨設(shè),例3. 設(shè)??0, ??Rn, 求A=??T的特征值和特征向量.,,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.2 特征值與特征向量,對(duì)應(yīng)?=0的 特征向量為,不全 為0,18,此時(shí)，線性無關(guān)的特征向量只有一個(gè).,解: 當(dāng)?= ?T?時(shí), (?T? E?A) x = 0.,因?yàn)锳x = x.,即 x = x.,注意到,所以?即為A的對(duì)應(yīng)特征值? = ?T?的特征向量.,所以只要找一個(gè)非零向量滿足上述方程即可.,例3. 設(shè)??0, ??Rn, 求A=??T的特征值和特征向量.,,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.2 特征值與特征向量,r(?T?E?A) + r(x) ?n.,?r(?T?E?A) ?n?1.,r(?T?E?A)+r(A) ? r(?T?E?A+A) = r(?T?E) = n.,?r(?T?E?A) = n?1.,則對(duì)應(yīng)? = ?T?的特征向量為,r(A)=1,19,,例4. 設(shè)A = (aij)n×n, 證明f(?) = |?E－A|是?的n次 多項(xiàng)式, 并求?n, ?n－1的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).,f(?) = |?E－A| =,(??a11)(??a22)…(??ann),f(0) = |－A|,,A的跡, 記為trA,= (－1)n|A|,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.2 特征值與特征向量,?n, ?n-1項(xiàng)只在主對(duì)角線乘積中,20,二. 特征值、特征向量的性質(zhì),性質(zhì)1. 設(shè)?1, …, ?n(實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù), 可重復(fù))是n階方 陣A=(aij)的n個(gè)特征值, 即 |?E–A| = (?–?1) (?–?2)…(?–?n)，則,證明：,|?E–A| = (?–?1) (?–?2)…(?–?n),,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.2 特征值與特征向量,21,性質(zhì)1. 設(shè)?1, …, ?n(實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù), 可以重復(fù)),是n階方陣A=(aij)的n個(gè)特征值,,則,推論1：方陣A可逆,證明：,A的特征值均不為0, 則,所以A可逆.,必要性:,設(shè)? = 0是A的一個(gè)特征值,,則???0, s.t.,,A? = ?? = 0,,因?yàn)锳可逆,,A?1A? = ? = 0,,產(chǎn)生矛盾.,,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.2 特征值與特征向量,A的特征值均不為0.,?,?,22,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.2 特征值和特征向量,,性質(zhì)1. 設(shè)?1, …, ?n(實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù))是n階方陣A=(aij),的n個(gè)特征值, 則,推論1：方陣A可逆 ? A的特征值均不為0.,證明：,設(shè)???0, s.t.,,A? = ??,,? A?1A? =? A?1?,性質(zhì)2：方陣A可逆, ?是A的特征值, 則1/?是A?1 的特征值, |A|/?是A*的特征值.,因?yàn)锳可逆,,? A?1? =(1/?) ?,,則1/?是A?1的特征值.,?,AA* = |A|E, A可逆,? A* = |A|A?1,,? A*? = |A|A?1? = (|A|/?) ? ,,則|A|/?是A*的特征值.,23,,性質(zhì)1. 設(shè)?1, …, ?n(實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù))是n階方陣A=(aij),的n個(gè)特征值, 則,推論1：方陣A可逆 ? A的特征值均不為0.,證明：,性質(zhì)2：方陣A可逆, ?是A的特征值, 則1/?是A?1 的特征值, |A|/?是A*的特征值.,性質(zhì)3: 若?是方陣A的特征值, 則?也是AT 的特征值.,|?E–A|,= | (?E–A)T |,=| ?E–AT |,性質(zhì)4. 設(shè)?是A的特征值,則?k是Ak的一個(gè)特征值.,證明：因?yàn)?為A的特征值, 即???0使A?=??, 于是(A2)? = A(A?) = A(??) = ?(A?) = ?2?, ? ???0 使(Ak)? = ?k?, 即?k也是Ak的特征值.,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.2 特征值和特征向量,24,,性質(zhì)5. 設(shè)?是方陣A的一個(gè)特征值, f是一個(gè),多項(xiàng)式, 則f(?)是方陣f(A)的一個(gè)特征值.,對(duì)于f(?) = as?s+?+a1?+a0, f(A)? = asAs? +?+a1A?+a0? = as?s?+?+a1??+a0? = f(?)?, ? ???0 使 f(A)? = f(?)?.,則f(?)是方陣f(A)的一個(gè)特征值.,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.2 特征值和特征向量,證明：因?yàn)?為A的特征值, 即???0 使A? =??, ? (Ak)? = ?k?, 即?k也是Ak的特征值.,性質(zhì)4. 設(shè)?是A的特征值,則?k是Ak的一個(gè)特征值.,25,,性質(zhì)5. 設(shè)?是方陣A的一個(gè)特征值, f是一個(gè),多項(xiàng)式, 則f(?)是方陣f(A)的一個(gè)特征值.,推論2. 若f 是多項(xiàng)式, A是一個(gè)方陣, 使f(A) = 0,(稱f為A的一個(gè)零化多項(xiàng)式),,則A的任一特征值?必滿足f(?) = 0.,? f(?)? = 0? = 0,? f(?)=0,證明：,對(duì)A的任一特征值? ,,f(?)是f(A)的一個(gè)特征值.,則???0 使 f(A)? = f(?)? .,因?yàn)閒(A) = 0,? ? 0,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.2 特征值和特征向量,26,推論2. 若f是多項(xiàng)式, A是一個(gè)方陣, 使f(A) = O,則A 的任一特征值? 必滿足f(?) = 0.,注1: A的零化多項(xiàng)式的根是A的所有可能的特征值.,例5. 若 A2 = E, 求A的所有可能的特征值.,A 的任一特征值?都是零化多項(xiàng)式的根.,?1=?2 =1,?1=?2 = ?1,?1=1, ?2 = ?1,解：由A2 ? E= 0知, f(x) = x2?1為A一個(gè)零化多項(xiàng)式.,?f(x) = x2?1=0 的根1,?1為A的所有可能的特征值.,注2: A的零化多項(xiàng)式的根未必都是A的特征值.,例6. f(x) = x2?1, 根為1, ?1,,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.2 特征值和特征向量,27,解法2:,所以A的所有可能的特征值?滿足,所以A的所有可能的特征值,所以A的全部特征值為 0(n?1重根),,例3. 設(shè)??0, ??Rn, 求A=??T的特征值和特征向量.,28,性質(zhì)6. 設(shè)n階方陣A與B相似, 則有相同的特 征多項(xiàng)式和特征值.,事實(shí)上, A與B相似, 則?E–A與?E–B相似. 設(shè)P–1AP = B(P可逆), 則 P–1(?E–A)P =?E–P–1AP =?E–B,注3: 特征多項(xiàng)式相同的矩陣未必相似?.,例7.,它們的特征多項(xiàng)式都是(??1)2.,但是若有P –1AP = B, 則A = PBP–1 =E=B.,矛盾!,,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.2 特征值和特征向量,?|?E–A|=|?E–B|,29,特征多項(xiàng)式相同是相似的必要而非充分的條件.,注4. 方陣A與B相似?特征多項(xiàng)式和特征值相同,? tr(A) = tr(B), |A| = |B|,? r(A) = r(B),相似關(guān)系下的不變量為：,特征值, 跡, 行列式, 秩,相抵關(guān)系下的不變量為：,秩,相抵關(guān)系下的最簡(jiǎn)形為：,相抵標(biāo)準(zhǔn)形,相似關(guān)系下的最簡(jiǎn)形為：,,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.2 特征值和特征向量,相似標(biāo)準(zhǔn)形?,30,一. 特征值、特征向量的定義和計(jì)算,二. 特征值、特征向量的性質(zhì),???0,s.t. A? = ??.,先解|?E–A|=0, 求?; 將?代入 (?E–A)?=0, 求非零通解.,設(shè)?是A的特征值,則f(?)是f(A)的特征值.,注:A的零化多項(xiàng)式的根可能是但未必都是A的特征值.,A 的任一特征值?都是零化多項(xiàng)式的根.,A可逆?A的特征值均不為0, 1/?是A?1的特征值.,?是可逆陣A的特征值, 則|A|/?是A*的特征值.,若?是方陣A的特征值, 則?也是AT 的特征值.,31,,例8.設(shè)3階矩陣A的特征值為2,1,?1,則,解：,? A可逆,?是可逆陣A的特征值, 則 1/? 是A?1的特征值.,(? + 1/? ) 是 (A+A?1) 的特征值.,(A+A?1) 的特征值為：,例9.設(shè)3階矩陣A的特征值為1,2,3, 則,的特征值為,即?11,?5,?3,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.2 特征值和特征向量,32,設(shè)A是n階方陣, 對(duì)于數(shù)?, 存在n維非零向量?, 使得A? = ?? , 則稱?為A的一個(gè)特征值。,,由A? =?? 得齊次線性方程組(?E–A)? =?, 它有非零解 ? |?E–A|=0 ? ?E–A不可逆,若A為方陣, ?是A的一個(gè)特征值 ? (?E?A)不可逆.,A為方陣, ?不是A的特征值 ? (?E?A)可逆.,例10.設(shè)3階矩陣A的特征值為?2,1,4,則可逆的矩陣:,(A) E?A,(B) 4E?A,(C) 2E?A,(D) 2E+A,例11.若方陣A不可逆，則A的一個(gè)特征值為( ),0,例12.若方陣A滿足A2=2A,0不是A的特征值,則A=,A可逆,A = 2E,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.2 特征值和特征向量,33,§4.2 方陣的特征值和特征向量 (1學(xué)時(shí)),§4.1 相似矩陣 (1學(xué)時(shí)),第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.3 方陣可相似對(duì)角化的條件 (1學(xué)時(shí)),§4.4 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化 (1學(xué)時(shí)),一. 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量,二. 實(shí)對(duì)稱矩陣正交相似于對(duì)角矩陣,一. 方陣可相似對(duì)角化的條件,二. 方陣可相似對(duì)角化的步驟,34,定理4.1. n階方陣A與對(duì)角矩陣相似 ? ?n個(gè)線性 無關(guān)的向量?1, ?2, …, ?n和n個(gè)數(shù)?1, ?2, …, ?n滿足 A?i = ?i?i , i=1,2,…,n. 若令P = (?1, ?2, …,?n), ? = diag(?1, ?2,…,?n), 則 P–1AP = ? .,,第四章 矩陣的特征值和特征向量,方陣A的相似對(duì)角化問題: 求可逆矩P, 使P –1AP=?. 其中，對(duì)角陣?稱為相似標(biāo)準(zhǔn)形.,§4.3 方陣可相似對(duì)角化的條件,§4.3 方陣可相似對(duì)角化的條件,定理4.3. n階方陣A相似于對(duì)角矩陣 ? A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.,35,,注1： 若A有l(wèi) (n)個(gè)線性無關(guān)的特征向量， 則A不與對(duì)角矩陣相似.,(但是若有P –1AP = B, 則A = PBP–1 =E=B.,矛盾!),證明: ?1=?2 =1,? n ? r = 1 ? 2,? A不與對(duì)角陣B相似.,§4.3 方陣可相似對(duì)角化的條件,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.3 方陣可相似對(duì)角化的條件,定理4.3. n階方陣A相似于對(duì)角矩陣 ? A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.,36,定理4.4. 設(shè)?1, ?2為方陣A的兩個(gè)不同的特征值, ?1, ?,?s,與?1,?,?r分別為屬于?1, ?2的線性無關(guān)的特 征向量, 證明?1,?,?s, ?1,?,?r 線性無關(guān).,證明: 設(shè)k1?1+?+ks?s+l1?1+ ?+lr ?r = 0 (1),左乘A得,?2?(1)?(2), 得,(?2 ??1)k1 ?1+?+ (?2 ??1)ks ?s = 0,?2 ??1,,?,?,k1?1?1+?+ks?1?s+l1?2 ?1+?+lr?2?r = 0 (2),?k1 ?1+?+ ks ?s = 0,?1,?,?s,線性無關(guān),?k1 =?= ks = 0,? l1?1+ ?+lr ?r = 0,?,?1,?,?r 線性無關(guān),?l1 =?= lr = 0,所以?1,?,?s, ?1,?,?r 線性無關(guān).,對(duì)應(yīng)于兩個(gè)不同特征值的特征向量線性無關(guān).,37,,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.3 矩陣可相似對(duì)角化的條件,定理4.5.,?1, ?2, …, ?s 不同值,?1,?1,…,?s l.i.,?1, …, ?r l.i.,?2,,{?1, …, ?s, ?1, …, ?r}線性無關(guān),l.i.,l.i.,l.i.,線性 無關(guān),命題. 對(duì)應(yīng)于兩個(gè)不同特征值的特征向量線性無關(guān).,38,推論4.4. n階方陣A與對(duì)角矩陣相似 ? A的每個(gè)ni重特征值?i有ni個(gè)線性無關(guān)的 特征向量, 即r(?iE?A) = n?ni , i=1,?,t. 其中，n1+ n2 +?+ nt = n,推論4.3. 若n階方陣A有n個(gè)不同的特征值, 則A與對(duì)角矩陣相似.,定理4.3. n階方陣A相似于對(duì)角矩陣 ? A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.,,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.3 方陣可相似對(duì)角化的條件,推論4.2 A的屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān).,39,一. 特征值、特征向量的定義和計(jì)算,二. 特征值、特征向量的性質(zhì),???0,s.t. A? = ??.,先解|?E–A|=0, 求?; 將?代入 (?E–A)?=0, 求非零通解.,設(shè)?是A的特征值,則f(?)是f(A)的特征值.,注:A的零化多項(xiàng)式的根可能是但未必都是A的特征值.,A 的任一特征值?都是零化多項(xiàng)式的根.,A可逆?A的特征值均不為0, 1/?是A?1的特征值.,?是可逆陣A的特征值, 則|A|/?是A*的特征值.,若?是方陣A的特征值, 則?也是AT 的特征值.,40,推論4.4. n階方陣A與對(duì)角矩陣相似 ? A的每個(gè)ni重特征值?i有ni個(gè)線性無關(guān)的 特征向量, 即r(?iE?A) = n?ni , i=1,?,t. 其中，n1+ n2 +?+ nt = n,Cor4.3. n階方陣A有n個(gè)不同的特征值, 則A與對(duì)角陣相似.,Th4.3. n階方陣A相似于對(duì)角陣 ? A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.,,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.3 方陣可相似對(duì)角化的條件,推論4.2 A的屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān).,n階方陣A, B相似, 若有可逆陣P, 使P?1AP=B.,相似關(guān)系下的不變量為：,特征值, 跡, 行列式, 秩,41,,求|?E–A| = 0的根,A可以相似對(duì)角化,r(?iE?A) = n?ni?,A不能相似對(duì)角化,§4.3 方陣可相似對(duì)角化的條件,第四章 矩陣的特征值和特征向量,注:特征向量要與特征 值的順序相對(duì)應(yīng),相 似 對(duì) 角 化 問 題 解 題 步 驟,An與?相似 ???i(ni重), 有r(?iE?A) = n?ni,42,解: |?E–A| = (?+1)(? –2)2. ??1= –1, ?2=?3= 2.,例13. 設(shè),, 求可逆陣P和對(duì)角陣?, 使得 P–1AP = ?.,(2E–A)x=0 的基礎(chǔ)解系: ?1=(1,0,4)T, ?2=(0,1,–1)T. 當(dāng)?1= –1, (–E–A)x =0 的基礎(chǔ)解系: ?3=(1,0,1)T,當(dāng)?2= ?3= 2,,使得 P–1AP = ?.,,§4.3 方陣可相似對(duì)角化的條件,第四章 矩陣的特征值和特征向量,43,,解:,例13續(xù),,求可逆陣P和對(duì)角陣?, 使得 P–1AP = ?. 并求出Ak .,使得 P–1AP = ?.,? Ak =(P?P–1)k =P?kP–1,P–1AP =? ? A =P?P–1,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.3 方陣可相似對(duì)角化的條件,44,,解: |?E–A| = (? –2)(?–1)2. 所以A的特征值為?1=2, ?2= ?3= 1.,例14. 討論,的相似對(duì)角化問題.,所以矩陣A 不能相似對(duì)角化，即不存在可逆陣P使得 P–1AP = ?.,當(dāng)?2=?3=1,,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.3 方陣可相似對(duì)角化的條件,45,,求|?E–A| = 0的根,A可以相似對(duì)角化,r(?iE?A) = n?ni?,A不能相似對(duì)角化,§4.3 方陣可相似對(duì)角化的條件,第四章 矩陣的特征值和特征向量,注:特征向量要與特征 值的順序相對(duì)應(yīng),相 似 對(duì) 角 化 問 題 解 題 步 驟,An與?相似 ???i(ni重), 有r(?iE?A) = n?ni,46,§4.2 方陣的特征值和特征向量 (1學(xué)時(shí)),§4.1 相似矩陣 (1學(xué)時(shí)),第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.3 方陣可相似對(duì)角化的條件 (1學(xué)時(shí)),§4.4 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化 (1學(xué)時(shí)),一. 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量,二. 實(shí)對(duì)稱矩陣正交相似于對(duì)角矩陣,一. 方陣可相似對(duì)角化的條件,二. 方陣可相似對(duì)角化的步驟,47,,§4.4 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化,§4.4 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化,一. 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量,1. 復(fù)矩陣的共軛矩陣,設(shè)A = (aij)m?n, aij?C.,A的共軛矩陣.,共軛運(yùn)算的性質(zhì)：,實(shí)對(duì)稱矩陣,第四章 矩陣的特征值和特征向量,48,,2. 實(shí)對(duì)稱矩陣,定理4.7. 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值均為實(shí)數(shù).,§4.4 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化,第四章 矩陣的特征值和特征向量,從而,另一方面,,兩式相減得,則存在非零復(fù)向量 x≠? , 滿足 Ax = ?x,,又因?yàn)?x≠?, 故,因此,可見?為實(shí)數(shù).,設(shè)復(fù)數(shù)?為實(shí)對(duì)稱陣A的特征值,,證明:,,49,,定理4.8. 設(shè)?1, ?2是實(shí)對(duì)稱矩陣A的兩個(gè)不同 的特征值, p1, p2是對(duì)應(yīng)與它們的特 征向量, 則p1與p2正交.,定理4.8. 實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)應(yīng)于不同特征值的特 征向量彼此正交.,證明:,設(shè)?1??2, ?p1, p2 ?0, s.t.Ap1=?1 p1, Ap2=?2 p2,§4.4 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化,第四章 矩陣的特征值和特征向量,,此外, p1TAp2 = p1TATp2 = (Ap1)Tp2 = ?1 p1Tp2 ,,于是(?1–?2) p1Tp2 = 0,,從而 p1TAp2 = p1T(?2p2) = ?2 p1Tp2.,但是?1 ??2,,故p1Tp2 = 0.,50,,定理4.9. 對(duì)于任意n階實(shí)對(duì)稱矩陣A, 存在 正交矩陣Q, 使得 Q–1AQ = QTAQ = ? = diag(?1, ?2, …, ?n), 其中?1, ?2, …, ?n為A的全部特征值, Q = (q1, q2, …, qn)的列向量組是A的對(duì)應(yīng) 于?1, ?2, …, ?n的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量組.,二. 實(shí)對(duì)稱矩陣正交相似于對(duì)角矩陣,推論. n階實(shí)對(duì)稱矩陣A的ni重特征值都有ni個(gè) 線性無關(guān)的特征向量，再由施密特正交化方 法知，必有ni個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量.,§4.4 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化,第四章 矩陣的特征值和特征向量,51,,例15. 把,正交相似對(duì)角化.,解: |?E–A| = (?+2)(?–4)2.,§4.4 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化,第四章 矩陣的特征值和特征向量,取?2= ?2,,將?2, ?3正交化,,(4E–A)x =0的基礎(chǔ)解系?2=(1, 1, 0)T, ?3=(2, 0, 1)T.,A的特征值為?1= –2, ?2= ?3= 4.,(–2E–A)x =0的基礎(chǔ)解系?1= (1, –1, –2)T.,解(4E–A)x = ? ,,52,解: 所以A的特征值為?1= –2, ?2= ?3= 4. (–2E–A)x =0的基礎(chǔ)解系?1= (1, –1, –2)T. (4E–A)x =0的基礎(chǔ)解系?2=(1, 1, 0)T, ?3=(2, 0, 1)T.,§4.4 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化,第四章 矩陣的特征值和特征向量,取?2= ?2,,將?2, ?3正交化,,再單位化, 即得,,,例15. 把,正交相似對(duì)角化.,53,,例15. 把,正交相似對(duì)角化.,解: |?E–A| = (?+2)(?–4)2.,§4.4 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化,第四章 矩陣的特征值和特征向量,取?2= ?2,,將?2, ?3正交化,,(4E–A)x =0的基礎(chǔ)解系?2=(1, 1, 0)T, ?3=(2, 0, 1)T.,A的特征值為?1= –2, ?2= ?3= 4.,(–2E–A)x =0的基礎(chǔ)解系?1= (1, –1, –2)T.,解(4E–A)x = ? ,,,一個(gè)非零解為?2=(0, 1, –1/2)T ,,設(shè)另一解為?3??2 ,,??3=(5, 1, 2)T ,,再單位化,,Q不唯一,?,54,,例15. 把,正交相似對(duì)角化.,解: |?E–A| = (?+2)(?–4)2.,§4.4 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化,第四章 矩陣的特征值和特征向量,取?2= ?2,,將?2, ?3正交化,,(4E–A)x =0的基礎(chǔ)解系?2=(1, 1, 0)T, ?3=(2, 0, 1)T.,A的特征值為?1= –2, ?2= ?3= 4.,(–2E–A)x =0的基礎(chǔ)解系?1= (1, –1, –2)T.,解(4E–A)x = ? ,,,一個(gè)非零解為?2=(0, 1, –1/2)T ,,設(shè)另一解為?3??2 ,,??3=(5, 1, 2)T ,,再單位化,,Q不唯一,,正交特征向量組的幾何含義:,?1垂直于?2,?3所在平面, ?2,?3為平面上任意兩個(gè)垂直的向量.,?,55,,例16. 設(shè)3階實(shí)對(duì)稱陣A的特征多項(xiàng)式(?–1)2(?–10),,?3 = (1, 2, ?2)T是對(duì)應(yīng)于?=10的特征向量. 求A.,解: 對(duì)應(yīng)于?=1兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量?1,?2,將正交向量組?1, ?2, ?3單位化得正交矩陣,都與?3正交, 解x1+2x2?2x3=0,因?yàn)?2 ??3,?1,,由QTAQ=Q?1AQ=?可得A = Q?QT,§4.4 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化,第四章 矩陣的特征值和特征向量,?1=(2, 1, 2)T,,解得?2 =(?2, 2, 1)T,,得到1個(gè)特征向量,Q不唯一 A唯一,56,解法3:,所以A的全部特征值為 0(n?1重根),,所以實(shí)對(duì)稱矩陣可以正交相似對(duì)角化。,即存在正交矩陣Q和對(duì)角陣?, 使得,例3. 設(shè)??0, ??Rn, 求A=??T的特征值和特征向量.,57,再求|E ? A3|.,即存在正交陣Q和對(duì)角陣?, 使得,例3. 設(shè)??0, ??Rn, 求A=??T的特征值和特征向量.,所以實(shí)對(duì)稱矩陣可以正交相似對(duì)角化,,解：,?是A的特征值 ??f, f(?)是f(A)的特征值,A?? ??f, f(A)?f(?),58,§4.4 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化,實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化的反問題：,Th4.7 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值均為實(shí)數(shù).,Th4.8 實(shí)對(duì)稱陣對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量正交.,Th4.9 任意n階實(shí)對(duì)稱陣總可以正交相似對(duì)角化, 存在正交陣Q, 使得Q–1AQ=?=diag(?1,?2,…,?n), ?1,…,?n為A的全部特征值,Q = (q1,…,qn)是A的 標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量組.,Q–1AQ= QTAQ =? ? A = Q?Q–1,? ?f, f(A) = Qf(?)QT,正交特 征向量,1. l.i.特征向量再由Schmidt正交化法正交,2. 由1個(gè)特量及正交方程組解其他正交特量,逆命題:若實(shí)矩陣A可正交相似對(duì)角化, 則A必對(duì)稱.,AT = (Q?QT)T = Q?TQT = Q?QT = A,59,關(guān)于相似對(duì)角化與正交相似對(duì)角化,實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化的反問題：,Q–1AQ=QTAQ=? ? A=Q?QT=Q?Q–1,不是任一個(gè)方陣A都可以相似對(duì)角化，只有當(dāng)A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量時(shí)才可相似對(duì)角化； 實(shí)對(duì)稱矩陣必可以正交相似對(duì)角化，當(dāng)然也可以相似對(duì)角化. 若實(shí)方陣A可以正交相似對(duì)角化，則A必是實(shí)對(duì)稱矩陣. AT=(Q?QT)T=Q?QT=A 只有要求正交相似對(duì)角化時(shí)才需正交化標(biāo)準(zhǔn)化.,P–1AP=? ? A=P?P–1,,無需正交標(biāo)準(zhǔn)化, 但需求逆,正交標(biāo)準(zhǔn)化, 但不需求逆,60,,等價(jià)關(guān)系匯總,Rn?n,Rm?n,相抵,相似,正交 相似,Rn?n, 實(shí)對(duì)稱,,相抵標(biāo)準(zhǔn)形,為初等陣,,,,?i為特征值,①秩,②特征值, 跡,行列式,① ②,①秩,第四章 矩陣的特征值和特征向量,相似標(biāo)準(zhǔn)形,61,(A) 填空題選擇題：作為課下練習(xí),(A)一 1-4; 二 1-2 (B) 1, 2, 3, 6(2,4,8), 9,,(B) 留作業(yè),每周四交作業(yè),(C) 課下提高題：有時(shí)間盡量做,三. (A)一 8; 二 7-10 (B) 23, 24,26, 27(2,4), 28, 29, 30,第四章 矩陣的特征值和特征向量,二.(A)一 5-8; 二 3-6 (B) 7, 8, 10, 11, 13, 16, 17, 18, 20, 21,62,