《2018北京師大附中高二（上）期中數(shù)學(xué)測試題試卷》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018北京師大附中高二（上）期中數(shù)學(xué)測試題試卷（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

2018北京師大附中高二（上）期中 數(shù) 學(xué) 一、選擇題，本大題共10小題，共40分，從列出的四個選項中，選出符合要求的一項。 1.在數(shù)列中，，且，則等于 A. 8 B. 6 C. 9 D. 7 2.在三棱錐中，，，，D為BC的中點，則 A. B. C. D. 3.在等比數(shù)列中，，且，則這個數(shù)列的公比為 A. 3 B. C. 9 D. 4.在正方體中，向量和的夾角是 A. B. 60° C. 45° D. 135° 5.某種農(nóng)產(chǎn)品前n年的總產(chǎn)量與n之間的關(guān)系滿足：，若前m年的年平均產(chǎn)量最小，則m值為 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 6.若數(shù)列是公比為q的遞增等比數(shù)列，則 A. B. C. D. 7.在棱長為1的正四面體ABCD中，E, F分別是 BC, AD的中點，則（ ） A. 0 B. C. D. 8.已知平面ABC，點O是空間任意一點，點M滿足條件，則 A. 直線AM與平面ABC平行 B. 直線AM是平面ABC的斜線 C. 直線AM是平面ABC的垂線 D. 直線AM在平面ABC內(nèi) 9.已知兩個不共線的向量，與平面共面，向量v是直線l的一個方向向量，則“存在兩個實數(shù)x,y，使”是“l(fā)//”的 A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 10.如圖，棱長為2的正方體中，M是棱的中點，點P在側(cè)面內(nèi)，若垂直于CM，則的面積的最小值為 A. B. C. D. 1 二、填空題，本大題共6小題，共30分。 11.與共線且滿足的向量b=__________。 12.已知數(shù)列滿足：，，，則數(shù)列的前2n項和_______________。 13.如圖，在正四面體V－ABC中，直線VA與BC所成角的大小為______________；二面角V－BC－A的余弦值為____________。 14.設(shè)數(shù)列滿足“，”，則的通項公式可以為_________。 15.已知等比數(shù)列的前n項和為，則常數(shù)C=________ 16.有一條珍珠項鏈，上面共有33顆珍珠，最下面中央的那顆珍珠最大，也最有價值，由這顆珍珠往右，越往上的珍珠越小，且價值依次遞減100元；同樣的，由這顆珍珠往左，越往上方的珍珠也越小，且價值依次遞減150元，假設(shè)整條珍珠項鏈的總價值是65000元，則最大的那顆珍珠的價值是_________元。 三、解答題：共6個小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。 17.已知空間中三點A（2，0，－2），B（1，－1，－2），C（3，0，－4），設(shè)， （I）若，且，求向量c； （II）已知向量與互相垂直，求k的值； （III）求的面積。 18.如圖，在直三棱柱中，，，點D是的中點。 （I）求證平面； （II）求二面角的余弦值。 19.已知公差不為零的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列。 （I）求數(shù)列的通項公式； （II）設(shè)數(shù)列滿足：，求的前n項之和； （III）設(shè)數(shù)列滿足：，為的前n項和，求證：。 20.如圖，在三棱錐中，底面ABC，，H為PC的中點，M為AH的中點，PA=AC=2，BC=1 （I）求證：； （II）求PM與平面AHB所成的角的正弦值； （III）設(shè)點N在線段PB上，且，MN//平面ABC，試寫出實數(shù)的值（不必證明）。 21.應(yīng)屆畢業(yè)生小李收到了兩家公司的錄用通知，錄用的崗位相同，兩家公司均提供稅后年薪，且要求簽約10年，A公司第一年的年薪為10萬元，以后每年上漲20%；B公司第一年的年薪為20萬元，以后每年上漲5%。 （I）如果只考慮收入水平，不考慮其他因素，你建議小李選擇哪家公司？說明理由。 （II）十年內(nèi)A公司提供的該崗位年薪能否超過B公司，若能，請指出從第幾年開始，若不能，說明理由。 （參考數(shù)據(jù)：），， 22.如果數(shù)列滿足“對任意正整數(shù)i，j，，都存在正整數(shù)k，使得”則稱數(shù)列具有“性質(zhì)P”，已知數(shù)列是無窮項的等差數(shù)列，公差為d （I）試寫出一個具有“性質(zhì)P”的等差數(shù)列； （II）若，公差d=3，判斷數(shù)列是否具有“性質(zhì)P”，并說明理由。 （III）若數(shù)列具有“性質(zhì)P”，求證：且  2018北京師大附中高二（上）期中數(shù)學(xué)參考答案 一、選擇題，本大題共10小題，共40分，從列出的四個選項中，選出符合要求的一項。 1. 【答案】D 【解析】 【分析】 根據(jù)遞推關(guān)系得出數(shù)列為等差數(shù)列，且求得公差，由此計算得的值. 【詳解】由于，故數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，故，故選D. 【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列的識別，考查等差數(shù)列項的計算，屬于基礎(chǔ)題. 2. 【答案】A 【解析】 【分析】 根據(jù)向量加法和減法的運算，將轉(zhuǎn)化到三個方向上，由此求得正確選項. 【詳解】依題意得，故選A. 【點睛】本小題主要考查向量加法和減法的運算，屬于基礎(chǔ)題，要注意的是向量減法，箭頭是指向被減數(shù). 3. 【答案】B 【解析】 【分析】 根據(jù)等比數(shù)列項與項的關(guān)系，化簡已知條件，解方程求得數(shù)列的公比. 【詳解】由于數(shù)列為等比數(shù)列，故，解得.故選B. 【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列的通項公式，，考查方程的思想，屬于基礎(chǔ)題. 4. 【答案】B 【解析】 【分析】 將兩個向量平移到一起，然后解三角形求得兩個向量的夾角. 【詳解】畫出圖像如下圖所示，連接，，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，故是題目所求兩個向量的夾角.由于是等邊三角形，故. 【點睛】本小題主要考查空間兩個向量的夾角，考查空間異面直線所成的角，主要的解法是利用平行，作出它們所成的角，解三角形求得這角的大小. 5. 【答案】C 【解析】 【分析】 通過計算，其中使得結(jié)果最大的即為所求. 【詳解】依題意，，故當(dāng)時，取得最小值.故選C. 【點睛】本小題主要考查數(shù)列的實際應(yīng)用.由于題目是選擇題，故可將選項代入驗算，得出正確選項，屬于基礎(chǔ)題. 6. 【答案】B 【解析】 【分析】 根據(jù)題意構(gòu)造特殊的數(shù)列，然后對選項的正誤逐一進(jìn)行判斷，由此得出正確選項. 【詳解】依題意，不妨設(shè)，數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，由此判斷C,D選項錯誤.設(shè)，數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，由此判斷A選項不正確.故正確的選項為B.所以本題選B. 【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列的單調(diào)性.由于題目是選擇題，故可采用特殊值和排除法來得出選項，屬于基礎(chǔ)題. 7. 【答案】D 【解析】 =﹣. 故答案為：D。 8. 【答案】D 【解析】 【分析】 根據(jù)向量減法的運算，將化簡后，可得其空間位置. 【詳解】依題意，故直線在平面內(nèi).故意選D. 【點睛】本小題主要考查向量的減法運算，將題目所求直線對應(yīng)的向量利用減法運算化簡后可得出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題. 9. 【答案】B 【解析】 【分析】 先根據(jù)向量基底的概念證明必要性，然后舉出反例說明“不充分”，由此得出正確選項. 【詳解】當(dāng)時，由于時不共線的向量，故可用作為基底表示出來，所以“必要性”成立.當(dāng)時，直線可能在平面內(nèi)，故“充分性”不成立.所以是必要不充分條件，所以選B. 【點睛】本小題主要考查向量基底的概念，考查直線和平面平行的知識，考查充要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題. 10. 【答案】A 【解析】 【分析】 建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點的坐標(biāo)，利用求得點坐標(biāo)間的相互關(guān)系，寫出三角形面積的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的對稱軸，求得面積的最小值. 【詳解】以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，依題意有，，由于，故，解得.根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，，故三角形為直角三角形，而，故，三角形的面積為，當(dāng)時，面積取得最小值為，故選A. 【點睛】本小題主要考查空間兩條直線相互垂直的坐標(biāo)表示，考查三角形面積的最小值的求法，還考查了劃歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.屬于中檔題.空間兩條直線相互垂直，那么兩條直線的方向向量的數(shù)量積為零.對于兩個參數(shù)求最值，可利用方程將其中一個參數(shù)轉(zhuǎn)化為另一個參數(shù)，再結(jié)合函數(shù)最值相應(yīng)的求法來求最值. 二、填空題，本大題共6小題，共30分。 11. 【答案】 【解析】 【分析】 首先利用共線設(shè)出的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積為的條件求出向量. 【詳解】依題意設(shè)，所以，解得.故. 【點睛】本小題主要考查空間兩個向量共線的表示，考查空間向量數(shù)量積的計算，屬于基礎(chǔ)題. 12. 【答案】 【解析】 【分析】 根據(jù)題目將數(shù)列前項的和分成奇數(shù)項和偶數(shù)項的和，分別用等比數(shù)列和等差數(shù)列的前項和公式求和，然后相加可求得的值. 【詳解】根據(jù)題意可知，數(shù)列的奇數(shù)項是首項為，公比為的等比數(shù)列；數(shù)列的偶數(shù)項是首項為，公差為的等差數(shù)列.故. 【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的識別，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的前項和公式，考查分組求和法.如果一個數(shù)列滿足，那么這個數(shù)列是等差數(shù)列，如果一個非零數(shù)列滿足，則數(shù)列為等比數(shù)列.如果一個數(shù)列的項分成兩類，那么可以考慮分組求和法求得前項和. 13. 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 設(shè)的中點為，連接，利用線面垂直的判定定理，證得平面，由此求得所成的角，同時根據(jù)平面可知是二面角的平面角，用余弦定理求得其余弦值. 【詳解】設(shè)的中點為，連接，根據(jù)正四面體的性質(zhì)可知，故平面，所以，即兩條異面直線所成的角為.同時，由于平面,，故是二面角的平面角，設(shè)正四面體的邊長為，則，由余弦定理的. 【點睛】本小題主要考查空間兩條異面直線所成的角，考查線面垂直的證明，考查二面角的平面角的余弦值的幾何求法.要求兩條異面直線所成的角，一種方法是將兩條異面直線平移到一起，另一種方法就是通過線面垂直，證得兩條一面直線是垂直的，也就是異面直線所成的角為. 14. 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】 根據(jù)題目所給數(shù)列的單調(diào)性，結(jié)合先減后增函數(shù)，寫出數(shù)列的一個通項公式. 【詳解】依題意可知，數(shù)列前兩項是遞減的，從第二項起，后面的項是遞增的，故可以考慮，符合題意.也可以是. 【點睛】本小題主要考查數(shù)列的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.數(shù)列前兩項遞減，后面的項遞增，故在第二項取得最小值，根據(jù)這個特征易得結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題. 15. 【答案】 【解析】 【分析】 根據(jù)等比數(shù)列前項和公式，進(jìn)行對比，可求得的值. 【詳解】由于等比數(shù)列前項和公式為，即的系數(shù)和常數(shù)項互為相反數(shù).而題目中，故，解得. 【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列前項和公式的函數(shù)特點，通過比較系數(shù)列方程，解方程可求得常數(shù)的值.對于等比數(shù)列前項和公式，可以通過轉(zhuǎn)化化簡為，可觀察到的系數(shù)和常數(shù)項互為相反數(shù).等差數(shù)列前項和公式，與二次函數(shù)也有點類似. 16. 【答案】 【解析】 【分析】 根據(jù)題意可知項鏈左側(cè)和右側(cè)是公差不同的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列前項和公式，列方程，可求得最大的那顆珍珠的價值. 【詳解】設(shè)最大珍珠的價值為，依題意，項鏈左邊是首項為，公差為，一共有項的等差數(shù)列；項鏈右邊是首項為，公差為，一共有項的等差數(shù)列，故全部珍珠的價值為，解得. 【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列在實際生活中的應(yīng)用，考查等差數(shù)列的識別，考查等差數(shù)列前項和公式以及分組求和法.已知數(shù)列的首項和公差，可根據(jù)等差數(shù)列前項和公式求得數(shù)列的前項和，如果所要求和的數(shù)列明顯分成兩組，可考慮用分組求和法求得它的前項和.屬于基礎(chǔ)題. 三、解答題：共6個小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。 17. 【答案】（I）或；（II）；（III） 【解析】 【分析】 （I）利用設(shè)出的坐標(biāo)，利用列方程，解方程求得的坐標(biāo).（II）利用兩個向量垂直，則它們的數(shù)量積為零，列方程，解方程可求得的值.（III）利用兩點間的距離公式計算的長度，利用余弦定理求得某一個角的余弦值，然后求得其正弦值，再由三角形的面積公式求得三角形的面積. 【詳解】（I），由于，故可設(shè)，故，解得，故為或. （II），，由于與垂直，則. （III）依題意，，，故由余弦定理得，所以.故三角形面積為. 【點睛】本小題主要考查空間兩個向量平行的坐標(biāo)表示，考查空間向量模的運算，考查空間兩個向量垂直的坐標(biāo)表示，以及考查空間三角形面積的求法.已知空間中三個點的坐標(biāo)，要求這個這三個點圍成三角形的面積，可利用兩點間的距離公式求得三條邊的長，利用余弦定理求得某一個角的余弦值，然后求得其正弦值，再由三角形的面積公式求得三角形的面積. 18. 【答案】（I）詳見解析 （II） 【解析】 【分析】 以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.（I）利用直線的方向向量和平面的內(nèi)的兩條相交直線垂直，證得平面.（II）利用平面和平面的法向量計算二面角的余弦值. 【詳解】以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系. 故， ,,. （I）由于，所以， 因為，故平面. （II）由（I）知是平面的法向量.設(shè)， 由于，故是平面的法向量. 設(shè)是二面角的平面角，由圖可知為銳角， 故. 【點睛】本小題主要考查利用空間向量法證明線面垂直，考查利用空間向量的方法求二面角的余弦值，屬于中檔題.要證明直線和平面垂直，除了利用幾何法來證明外，還可以用向量法來證明，即證明直線對應(yīng)的方向向量，和平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量的數(shù)量積為零，即可證得直線和平面垂直. 19. 【答案】（I）；（II）；（III）詳見解析. 【解析】 【分析】 （I）根據(jù)等比中項的性質(zhì)列方程，轉(zhuǎn)化為的形式，解方程求得的值，進(jìn)而求得通項公式.（II）利用錯位相減求和法求得數(shù)列的前項和.（III）利用裂項求和法求得的值，由此證得. 【詳解】（Ⅰ）由于，，成等比數(shù)列，所以，故，由于，解得，所以. （II）由（I）得， 故， ， 兩式相減得 ， 即. （III）由（I）得， 故. 【點睛】本小題主要考查等比中項的性質(zhì)，考查等差數(shù)列基本量的計算以及等差數(shù)列通項公式的求解，考查錯位相減求和法，考查裂項相消求和法.如果一個數(shù)列是由等差數(shù)列乘以等比數(shù)列所構(gòu)成，那么可以利用錯位相減法求得前項和.如果一個數(shù)列的分母是由兩個公差相同的等差數(shù)列相乘所得，可以考慮用裂項求和法求和. 20. 【答案】（I）詳見解析；（II）；（III） 【解析】 【分析】 以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.（I）通過計算證得兩條直線垂直.（II）通過直線的方向向量和平面的法向量，計算線面角的正弦值.（III）利用中位線，過作一平面平行與平面，且與相交于.根據(jù)比例求得的值. 【詳解】以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.故,，,，. （I）由于，故. （II）由于，故是平面的法向量， 設(shè)直線和平面所成的角為， 則. （III）設(shè)是的中點，連接，過作交于，連接.由于是中點, 故，所以平面平面， 故平面.由于, 故. 【點睛】本小題主要考查利用空間向量法證明線線垂直，考查利用空間向量的方法求線面角的正弦值，屬于中檔題.要證明直線和直線垂直，除了利用幾何法來證明外，還可以用向量法來證明，即證明兩條直線對應(yīng)的方向向量的數(shù)量積為零，即可證得直線和直線垂直. 21. 【答案】（I）A公司；（II）第7年. 【解析】 【分析】 （I）根據(jù)增長率，建議選擇A公司.（II）求得兩個公司年薪的表達(dá)式，比較年薪的大小關(guān)系，由此得出結(jié)論. 【詳解】（I）由于A公司年薪增長快，越到后面工資越高，故建議選擇A公司.（II）設(shè)A公司年薪為，B公司年薪為，令，兩邊取以為底的對數(shù)并化簡得，故當(dāng)時，A公司提供的該崗位年薪能否超過B公司. 【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列通項公式的應(yīng)用，考查數(shù)列比較大小的方法，考查數(shù)列在實際生活的案例. 22. 【答案】（I）；（II）不具有，理由見解析；（III）詳見解析. 【解析】 【分析】 （I）具有“性質(zhì)P”的數(shù)列中的任何兩項的乘積，還是這個數(shù)列的項，故考慮奇數(shù)乘以奇數(shù)，結(jié)果還是奇數(shù)，得到滿足題意的數(shù)列.（II）根據(jù)首項和公差得到數(shù)列的通項公式，通過計算符合的值不存在，判斷出數(shù)列不具有“性質(zhì)P”（III）將和分成、、，三類，判斷出這三類不具有“性質(zhì)P”，故具有“性質(zhì)P”. 【詳解】（I） （II）若，公差d=3，則數(shù)列不具有性質(zhì)P 理由如下： 由題知，對于和， 假設(shè)存在正整數(shù)k，使得， 則有，解得，矛盾！ 所以對任意的， （III）若數(shù)列具有“性質(zhì)P”，則 ①假設(shè)，，則對任意的， 設(shè)，則，矛盾！ ②假設(shè)，，則存在正整數(shù)t，使得 設(shè)， ， ，… L，t+1 則， 但數(shù)列中僅有t項小于等于0，矛盾！ ③假設(shè)，，則存在正整數(shù)t， 使得 設(shè)， ， ，…， ，，， 則， 但數(shù)列中僅有t項大于等于0，矛盾！ 綜上，， 【點睛】本小題主要考查新定義概念的理解和運用，考查用舉反例的方法證明命題.屬于中檔題. 14 / 14