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2.4 等比數(shù)列 第1課時(shí) 等比數(shù)列,1,1.掌握等比數(shù)列的概念. 2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，并會(huì)應(yīng)用. 3.能夠應(yīng)用等比數(shù)列的概念判斷一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列.,2,1.等比數(shù)列的概念 (1)定義：一個(gè)數(shù)列從______起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比 等于_________. (2)公比：這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比. (3)公比的表示：________.,第2項(xiàng),同一常數(shù),q(q≠0),3,2.等比中項(xiàng) 如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成_________， 那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)，其滿足的關(guān)系式為_____. 3.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 首項(xiàng)是a1，公比是q(q≠0)的通項(xiàng)公式為an=_____(a1≠0， q≠0).,等比數(shù)列,ab=G2,a1qn-1,4,1.已知{an}是等比數(shù)列，a1=1，a4=2 ，則a3=( ) A.±2 B.2 C.-2 D.4 【解析】選B.因?yàn)閍4=a1·q3，所以q3= 所以q= ，所以a3=a1q2=2.,5,2.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a1=2，q=3，則an= . 【解析】由a1=2，q=3，所以an=2×3n-1. 答案：2×3n-1,6,3.若等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an= ×5n，則a1= . 【解析】由通項(xiàng)an= ×5n，令n=1，得a1= 答案：,7,4.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，若a2=2，a5= 則q= . 【解析】由 得 解得q= 答案：,8,一、等比數(shù)列的通項(xiàng) 探究1：觀察等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1qn-1，思考下面的問 題： (1)公式中的q能否為零？請(qǐng)說明理由. 提示：不能，根據(jù)等比數(shù)列的定義，公比為每一項(xiàng)與前一項(xiàng) 的比即： =q，若q=0，則an=0，所以數(shù)列中每一項(xiàng)都為 零，所以an-1=0，這樣比值 無意義，所以q≠0.,9,(2)要想確定等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，需要具備哪幾個(gè)條件？ 提示：由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1qn-1，要確定其通項(xiàng)公式，必須知道a1，q兩個(gè)條件.,10,探究2：根據(jù)等比數(shù)列的定義，如何推導(dǎo)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式？ 提示：由等比數(shù)列的定義， 以上各式相乘可得an=a1qn-1(a1≠0，q≠0).,11,【拓展延伸】等比數(shù)列通項(xiàng)公式的兩種證法 (1)歸納法：a1=a1，a2=a1q，a3=a2q=a1q2， a4=a3q=a1q3，…，an=an-1q=a1qn-1. (2)迭代法：an=an-1q=an-2q2=…=a2qn-2 =a1qn-1.,12,【探究總結(jié)】對(duì)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的兩點(diǎn)說明 (1)在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式中含有4個(gè)基本量，只要知其中任意3個(gè)，可求第四個(gè)基本量. (2)通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法采用的是累乘法，該方法是求數(shù)列通項(xiàng)公式常用的方法.,13,二、等比數(shù)列的判定 探究1：根據(jù)等比數(shù)列的定義，判斷下面的數(shù)列是否為等比數(shù) 列？ (1)1，3，32，33，…，3n-1，… 提示：記數(shù)列為{an}，顯然a1=1，a2=3，…，an=3n-1，…，由 于 =3(n≥2，n∈N*)，所以該數(shù)列為等比數(shù)列，公比 為3.,14,(2)-1，1，2，4，8，… 提示：記數(shù)列為{an}，顯然a1=-1，a2=1，a3=2，… 由于 所以此數(shù)列不是等比數(shù)列.,15,(3)a，a2，a3，…，an，… 提示：當(dāng)a=0時(shí)，數(shù)列為0，0，0，…，是 常數(shù)列，不是等比數(shù)列；當(dāng)a≠0時(shí)，數(shù)列為a，a2，a3，…，an，…，顯然此數(shù)列為等比數(shù)列且公比為a.,16,探究2：在利用等比數(shù)列的定義判定一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列時(shí)應(yīng) 注意什么？ 提示：根據(jù)等比數(shù)列的定義，要判斷一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列需 要注意：(1) =q(n∈N*)為常數(shù). (2)比值 為同一個(gè)常數(shù). (3)數(shù)列中的每一項(xiàng)都不能為0.,17,探究3：由等比數(shù)列的定義，要判斷一個(gè)數(shù)列是否為等比數(shù)列，只需判斷什么？ 提示：只需判斷 是否為同一個(gè)常數(shù).,18,【探究總結(jié)】等比數(shù)列判定的三點(diǎn)說明 (1)利用定義判定應(yīng)注意公比為每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比. (2)必須說明是從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比為同一個(gè)常數(shù). (3)若公比為1，則該數(shù)列為常數(shù)列，也為等比數(shù)列.,19,類型一 等比數(shù)列中基本量的求解 1.已知等比數(shù)列{an}滿足a1+a2=3，a2+a3=6，則a7等于( ) A.64 B.81 C.128 D.243 2.(2014·天津高考)設(shè){an}是首項(xiàng)為a1，公差為-1的等差數(shù) 列，Sn為其前n項(xiàng)和，若S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a1=( ) A.2 B.-2 C. D.- 3.(2014·濟(jì)寧高二檢測)已知數(shù)列{an}為遞增的等比數(shù)列， 其中a2=9，a1+a3=30.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.,20,【解題指南】1.根據(jù)條件a1+a2=3，a2+a3=6求出公比和首項(xiàng)，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出a7. 2.根據(jù)S1，S2，S4成等比數(shù)列建立關(guān)于a1的方程求解. 3.先根據(jù)a2=9，a1+a3=30，求出q，再代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得.,21,【自主解答】1.選A.因?yàn)閧an}為等比數(shù)列，所以 =q=2. 又a1+a2=3，所以a1=1.故a7=1×26=64. 2.選D.因?yàn)镾1，S2，S4成等比數(shù)列，所以S22=S1·S4， 即(a1+a1-1)2=a1(4a1－ ×4×3)，解得a1=- . 3.設(shè)等比數(shù)列的公比為q，又由已知a2=9，a1+a3=30， 可得 +9q=30，解得q=3或q= 由已知，數(shù)列為遞增數(shù)列，所以q=3， 即an=a2qn-2=9×3n-2=3n.,22,【規(guī)律總結(jié)】等比數(shù)列中任意項(xiàng)求解的兩種方法 (1)若已知a1和q，利用通項(xiàng)公式an=a1qn-1可求等比數(shù)列中的任意一項(xiàng). (2)若已知等比數(shù)列中任意兩項(xiàng)的前提下，利用an=amqn-m可求等比數(shù)列中任意一項(xiàng).,23,【變式訓(xùn)練】在等比數(shù)列{an}中，已知a1= an= q= 則n為( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】選C.等比數(shù)列{an}中，a1= an= q= 所以an=a1qn-1= 所以 即n-1=3，n=4.,24,【加固訓(xùn)練】在等比數(shù)列{an}中，若2a4=a6-a5，則公比q是 . 【解析】由已知得2a1q3=a1q5-a1q4，即2=q2-q， 所以q=-1或q=2. 答案：-1或2,25,類型二 等比中項(xiàng)及應(yīng)用 1.(2014·濟(jì)寧高二檢測)已知等比數(shù)列{an}中，a1=2，a5=18，則a2a3a4等于( ) A.36 B.216 C.±36 D.±216 2.(2015·蘭州高二檢測)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1a2a3=5，a7a8a9=10，則a4a5a6=( ) A.5 B.7 C.6 D.4,26,3.已知等比數(shù)列{an}的前三項(xiàng)依次為a-1，a+1，a+4，則an= .,27,【解題指南】1.由a1，a3，a5成等比數(shù)列，求出a3，再由a2，a3， a4成等比數(shù)列，求出a2·a4. 2.根據(jù)等比中項(xiàng)得a2，a8，從而得q，進(jìn)而求出a5，得a4a5a6. 3.由a-1，a+1，a+4成等比數(shù)列，根據(jù)等比中項(xiàng)的概念求出a 的值，從而得出通項(xiàng).,28,【自主解答】1.選B.由a1，a3，a5成等比數(shù)列， 故a32=a1·a5=36，所以a3=6或a3=-6(舍)， 又a2，a3，a4成等比數(shù)列， 所以a2·a4=a32， 故a2·a3·a4=a33=63=216. 2.選A.由a1a2a3=5，所以a2= 又a7a8a9=a83=10，故a8= 所以 =q6= ，所以q= 所以a4a5a6=a53=(a2·q3)3=a23·q9=( )3·( )9=,29,3.由已知可得(a+1)2=(a-1)(a+4)， 解得a=5，所以a1=4，a2=6，所以q= 所以an= 答案：,30,【規(guī)律總結(jié)】等比中項(xiàng)應(yīng)用的三點(diǎn)注意 (1)由等比中項(xiàng)的定義可知 ?G2=ab?G=± ，所以只 有a，b同號(hào)時(shí)，a，b的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，異號(hào)時(shí)，沒有等比中 項(xiàng). (2)在一個(gè)等比數(shù)列中，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)(有窮數(shù)列的末項(xiàng) 除外)都是它的前一項(xiàng)和后一項(xiàng)的等比中項(xiàng). (3)a，G，b成等比數(shù)列等價(jià)于G2=ab(ab0).,31,【變式訓(xùn)練】 1.在等比數(shù)列{an}中，a1=-16，a4=8，則a7=( ) A.-4 B.±4 C.-2 D.±2 【解析】選A.因?yàn)閿?shù)列{an}為等比數(shù)列，所以a42=a1·a7， 所以a7= =-4.,32,2.若a=45，b=80，則a，b的等比中項(xiàng)為 . 【解析】設(shè)a，b的等比中項(xiàng)為G，則G2=ab=45×80=3 600，所以G=±60. 答案：±60,33,【加固訓(xùn)練】如果-1，a，b，c，-9成等比數(shù)列，那么( ) A.b=3，ac=9 B.b=-3，ac=9 C.b=3，ac=-9 D.b=-3，ac=-9 【解析】選B.因?yàn)閎2=(-1)×(-9)=9，且b與首項(xiàng)-1同號(hào)，所以b=-3，且a，c必同號(hào). 所以ac=b2=9.,34,類型三 等比數(shù)列的證明 1.已知{an}，{bn}都是等比數(shù)列，那么( ) A.{an+bn}，{an·bn}都一定是等比數(shù)列 B.{an+bn}一定是等比數(shù)列，但{an·bn}不一定是等比數(shù)列 C.{an+bn}不一定是等比數(shù)列，但{an·bn}一定是等比數(shù)列 D.{an+bn}，{an·bn}都不一定是等比數(shù)列 2.在數(shù)列{an}中，若an+1=2an+3(n≥1，n∈N*)， 證明：數(shù)列{an+3}是等比數(shù)列.,35,【解題指南】1.對(duì)于能構(gòu)成等比數(shù)列的利用等比數(shù)列的定義 判定，而構(gòu)不成等比數(shù)列的可通過特例說明. 2.根據(jù)等比數(shù)列的定義，只需證明 等于常數(shù)即可.,36,【自主解答】1.選C.{an+bn}不一定是等比數(shù)列，如an=1，bn= -1，因?yàn)閍n+bn=0，所以{an+bn}不是等比數(shù)列.設(shè){an}，{bn}的 公比分別為p，q，因?yàn)? =pq≠0，所以{an·bn} 一定是等比數(shù)列. 2.令an+1+λ=2(an+λ)，與已知an+1=2an+3比較知λ=3， 所以an+1+3=2(an+3)，即 =2， 所以數(shù)列{an+3}是首項(xiàng)為a1+3，公比為q=2的等比數(shù)列.,37,【延伸探究】題2條件不變，若a1=2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. 【解析】由數(shù)列{an+3}是等比數(shù)列，當(dāng)a1=2時(shí)，a1+3=5，所以數(shù)列{an+3}是首項(xiàng)為5，公比q=2的等比數(shù)列，所以an+3= 5×2n-1， 即an=5×2n-1-3.,38,【規(guī)律總結(jié)】證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列的三種方法 (1)定義法：驗(yàn)證 =q(常數(shù))是否成立. (2)等比中項(xiàng)法：證明an+12=anan+2，注意an≠0. (3)通項(xiàng)公式法：證明an=a1qn-1，這里a1≠0且q≠0. 提醒：利用等比數(shù)列的定義證明數(shù)列為等比數(shù)列時(shí)必須說明 為同一常數(shù).,39,類型四 等比數(shù)列中常見項(xiàng)的設(shè)法 1.(2014·紹興高一檢測)在3和9之間插入兩個(gè)正數(shù)，使前3個(gè) 數(shù)成等比數(shù)列，后3個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則這兩個(gè)正數(shù)之和為 ( ),40,2.一個(gè)等比數(shù)列有三項(xiàng)，如果把第二項(xiàng)加上4，那么所得的三項(xiàng)就成為等差數(shù)列；如果再把這個(gè)等差數(shù)列的第三項(xiàng)加上32，那么所得的三項(xiàng)又成等比數(shù)列.求原來的等比數(shù)列.,41,【解題指南】1.根據(jù)前3個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)出這兩個(gè)數(shù)，再由后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列列方程求解. 2.根據(jù)三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)出這三個(gè)數(shù)，再根據(jù)條件建立方程組求解.,42,【自主解答】1.選B.設(shè)這兩個(gè)正數(shù)為3q，3q2，則3q，3q2，9 成等差數(shù)列，所以6q2=3q+9，即2q2-q-3=0， 解得q= ，q=-1(舍)，所以這兩個(gè)數(shù)為 ，其和為,43,2.設(shè)所求的等比數(shù)列為 ，a，aq. 由已知條件，得 化簡，得 解得 或 由q=3，a=6得所求數(shù)列為2，6，18. 由q=-5，a= 得所求數(shù)列為 經(jīng)檢驗(yàn)，均符合題意， 故所求的等比數(shù)列為2，6，18或,44,【規(guī)律總結(jié)】幾個(gè)數(shù)成等比數(shù)列的設(shè)法 (1)三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為 ，a，aq. 推廣到一般：奇數(shù)個(gè)數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為： … ， ，a，aq，aq2… (2)四個(gè)符號(hào)相同的數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為： ， ，aq，aq3. 推廣到一般：偶數(shù)個(gè)符號(hào)相同的數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為： … ， ， ，aq，aq3，aq5…,45,【變式訓(xùn)練】有四個(gè)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，首末兩項(xiàng)的和為21，中間兩項(xiàng)的和為18，求這四個(gè)數(shù).,46,【解析】設(shè)前三個(gè)數(shù)為 x，xq，第四個(gè)數(shù)為b， 因?yàn)楹笕齻€(gè)數(shù)成等差數(shù)列，所以有2xq=x+b， 解得b=2xq-x. 因首末兩項(xiàng)的和為21，中間兩項(xiàng)的和為18， 所以有 解得 或 故所求的四個(gè)數(shù)為3，6，12，18或,47,48,