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5.4應(yīng)用二元一次方程組——增收節(jié)支 教學(xué)目標(biāo) 【知識與能力】 1.能運(yùn)用列表分析法分析數(shù)量關(guān)系； 2.能熟練地列二元一次方程組解決簡單的實(shí)際問題. 3．掌握運(yùn)用列二元一次方程組解決實(shí)際問題的技能. 【過程與方法】 經(jīng)歷和體驗列方程組解決實(shí)際問題的過程，體會方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效的數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力. 【情感態(tài)度價值觀】 1.通過問題的解決進(jìn)一步認(rèn)識數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的密切聯(lián)系. 2.通過對問題的解決，培養(yǎng)學(xué)生的必要的經(jīng)濟(jì)意識，增強(qiáng)他們節(jié)約成本、有效合理利用資源的意識. 教學(xué)重難點(diǎn) 【教學(xué)重點(diǎn)】 1.初步體會列方程組解決實(shí)際問題的步驟． 2.學(xué)會用圖表分析較復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系問題. 【教學(xué)難點(diǎn)】 將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成二元一次方程組的數(shù)學(xué)模型；會用圖表分析數(shù)量關(guān)系. 課前準(zhǔn)備 教具：教材，課件，電腦（視頻播放器） 學(xué)具：教材，練習(xí)本 教學(xué)過程 第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課（5分鐘，學(xué)生觀看圖片和實(shí)際問題，引發(fā)思考和提升解決問題的興趣.創(chuàng)設(shè)問題情景，引導(dǎo)學(xué)生思考，導(dǎo)入課題） 你想過嗎？ 提出問題：同學(xué)們你知道你的生活有哪些必要開支嗎？ 引發(fā)問題： 經(jīng)濟(jì)生活在我們生活中多么重要！你想運(yùn)用數(shù)學(xué)知識使你的生活更加合理優(yōu)化，生活的更加幸福愜意嗎？那么你能幫幫解決下面的實(shí)際經(jīng)濟(jì)問題嗎？ 教學(xué)進(jìn)程：教師演示幻燈片，學(xué)生回答問題 1．開商店 小明想開一家時尚Ｇ點(diǎn)專賣店，開店前他到其它專賣店調(diào)查價格．他看中了一套新款春裝，成本共500元，專賣店店員告訴他在上市時通常將上衣按50﹪的利潤定價，褲子按40﹪的利潤定價.由于新年將至，節(jié)日優(yōu)惠，在實(shí)際出售時，為吸引顧客，兩件服裝均按9折出售，這樣專賣店共獲利157元，小明覺得上衣款式好，銷路會好些，想問問上衣的成本價，但店員有事走開了，你能幫助他？ 2．購物 新年來臨爸爸想送Ｍike一個書包和隨身聽作為新年禮物．爸爸對Ｍike說：“我在家樂福、人民商場都發(fā)現(xiàn)同款的隨身聽的單價相同，書包單價也相同，隨身聽和書包單價之和是452元，且隨身聽的單價比書包單價的4倍少8元，你能說出隨身聽和書包單價各是多少元，那么我就買給你做新年禮物”. 你能幫助他嗎？ （最優(yōu)化決策） 最近商家促銷有促銷活動，人民商場所有商品打八折銷售，家樂福全場購物滿100元返物券30元銷售（不足100元不返券，購物券全場通用），爸爸只給Ｍike 400元錢，如果他只在一家購買看中的這兩樣物品，你能幫助他選擇在哪一家購買嗎？若兩家都可以選擇，在哪一家購買更省錢？ 第二環(huán)節(jié)：新課講解（15分鐘，通過回答知識回顧問題，教師啟發(fā)學(xué)生做經(jīng)驗提升；通過回答問題對學(xué)生能力進(jìn)行及時評價，如果回答錯誤及時糾正.） 知識回顧：填一填 1. 某工廠去年的總產(chǎn)值是x萬元, 今年的總產(chǎn)值比去年增加了20%, 則今年的總產(chǎn)值是__________萬元; 2. 若該廠去年的總支出為y萬元, 今年的總支出比去年減少了10%, 則今年的總支出是__________萬元; 3. 若該廠今年的利潤為780萬元, 那么由1, 2可得方程___________________________. (1+20%)x (1-10%)y (1+20%) x- (1-10%) y=780 經(jīng)驗提升：解增降率問題常用的關(guān)系式為a(1±x)=b (其中:a表示基數(shù)；x表示增降率；b表示目標(biāo)數(shù)；增時為加，降時為減) 例題探索 例1 ＣＮＩ公司去年的利潤（總產(chǎn)值—總支出）為200萬元.今年總產(chǎn)值比去年增加了20%，總支出比去年減少了10%，今年的利潤為780萬元.去年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬元？ 分析：關(guān)鍵:找出等量關(guān)系. 今年的總產(chǎn)值=去年總產(chǎn)值×(1+20%） 今年的總支出=去年的總支出×(1—10%） 相等關(guān)系中的數(shù)量關(guān)系真多，畫個表格來表示它們吧！ （題目中可分析今年，去年；總產(chǎn)值，總支出和利潤，畫個２×３的表格來分析看） 總產(chǎn)值/萬元 總支出/萬元 利潤/萬元 去 年 x y[ 200 今 年 (1+20%) x (1-10%) y 780 得到兩個等式： x—y =200 ， (1+20%) x—(1—10%) y =780. 解：設(shè)去年的總產(chǎn)值為x萬元，總支出為y萬元，則 今年的總產(chǎn)值=（1+20%）x萬元， 今年的總支出=（1—10%）y萬元. 由題意得: 解得 答：去年的總收入為2000萬元，總支出為1800萬元. 教學(xué)進(jìn)程：學(xué)生作相等關(guān)系、數(shù)量關(guān)系的分析，教師教學(xué)生畫表格分析數(shù)量關(guān)系，并共同解答. 議一議：還可以設(shè)間接未知數(shù)嗎？（根據(jù)學(xué)生情況和教學(xué)安排選用） 設(shè)今年的總產(chǎn)值為x萬元，總支出為y元 總產(chǎn)值/萬元 總支出/萬元 利潤/萬元 去 年 200 今 年 x y 780 通過直接設(shè)未知數(shù)與間接設(shè)未知數(shù)的類比，讓學(xué)生感受到列方程時，應(yīng)選取思維難度和計算難度較低的未知數(shù)設(shè)法. 教學(xué)進(jìn)程：學(xué)生設(shè)出未知數(shù)，教師幫助學(xué)生畫表格來分析數(shù)量關(guān)系并引導(dǎo)學(xué)生類比直接設(shè)未知數(shù)與間接設(shè)未知數(shù)的優(yōu)劣.表示數(shù)量關(guān)系時，若有錯誤，及時糾正并著重講解以免再次出現(xiàn)錯誤. 例2 醫(yī)院用甲、乙兩種原料為手術(shù)后的病人配制營養(yǎng)品．每克甲原料含0.5單位蛋白質(zhì)和1單位鐵質(zhì)，每克乙原料含0.7單位蛋白質(zhì)和0.4單位鐵質(zhì)．若病人每餐需要35單位蛋白質(zhì)和40單位鐵質(zhì)，那么每餐甲、乙兩種原料各多少克恰好滿足病人的需要？ 分析：找出等量關(guān)系. 每餐甲原料中含蛋白質(zhì)量=0.5×每餐甲原料的質(zhì)量， 每餐乙原料中含蛋白質(zhì)量=0.7×每餐乙原料的質(zhì)量， 每餐甲原料中含鐵質(zhì)量=1×每餐甲原料的質(zhì)量， 每餐乙原料中含鐵質(zhì)量=0.4×每餐乙原料的質(zhì)量， 由于相等關(guān)系中的數(shù)量關(guān)系復(fù)雜，所以可以選取用列表格的方法來表示各數(shù)量關(guān)系之間的關(guān)系，有利于根據(jù)相等關(guān)系列方程. （題目中可分析蛋白質(zhì)含量，鐵的含量；甲、乙兩種原料和病人配置的營養(yǎng)品，所以畫個２ × ３的表格來分析；學(xué)生通常對要分析那些數(shù)量關(guān)系不太明確，所以講解時要說明為什么會這樣畫表格） 解：設(shè)每餐需要甲、乙兩種原料各x, y克，則有下表： 甲原料x克 乙原料y克 所配制的營養(yǎng)品 其中含蛋白質(zhì)量 0.5x單位 0.7 y單位 ３５單位 其中含鐵質(zhì)量 x單位 0.4 y單位 ４０單位 由上表可以得到的等式： 化簡得： （1）×2得 10x+14y=700 (5) (5)－(4)得 10y=300 y=30 將y=30代入(3)得 x=28 答：每餐需甲原料28克，乙原料30克. 第三環(huán)節(jié)：練習(xí)提高、合作學(xué)習(xí)；（5分鐘，小組探究） 1．育才學(xué)校去年有學(xué)生３１００名，今年比去年增加4.4％,其中寄宿學(xué)生增加了6％,走讀學(xué)生減少了2％.問該校去年有寄宿學(xué)生與走讀學(xué)生各多少名? 設(shè)去年有寄宿學(xué)生x名,走讀學(xué)生y名,則可列出方程組為 . 分析：找出等量關(guān)系. 去年寄宿學(xué)生＋去年走讀學(xué)生＝３１００名 今年寄宿學(xué)生＋今年走讀學(xué)生＝３１００ ×（１＋４.４％） 題目中可分析去年，今年；寄宿學(xué)生，走讀學(xué)生，學(xué)生總數(shù)．畫個２ × ３的表格來分析 寄宿學(xué)生 走讀學(xué)生 學(xué)生總數(shù) 去年 x y ３１００ 今年 （１＋６％）x （１－２％）y ３１００ × （１＋４.４％） 解： 2．編題 有一個方程組： 你能根據(jù)這個方程組編一個實(shí)際背景的應(yīng)用題嗎？ 活動規(guī)則： 四個同學(xué)一組編題，互評；然后推選出有創(chuàng)意，符合實(shí)際生活的例子進(jìn)行全班交流． 第四環(huán)節(jié)：問題解決；（10分鐘，學(xué)生嘗試獨(dú)立解決問題，后全班交流） 解決問題一 小明想開一家時尚Ｇ點(diǎn)專賣店，開店前他到其它專賣店調(diào)查價格．他看中了一套新款春裝，成本共500元，專賣店店員告訴他在上市時通常將上衣按50﹪的利潤定價，褲子按40﹪的利潤定價.由于新年將至，節(jié)日優(yōu)惠，在實(shí)際出售時，為吸引顧客，兩件服裝均按9折出售，這樣專賣店共獲利157元，小明覺得上衣款式好，銷路會好些，想問問上衣的成本價，但店員有事走開了，你能幫助他嗎？ 分析：找出等量關(guān)系. 題目中可分析上衣，褲子；成本．實(shí)際售價和利潤．畫個２ × ３的表格來分析 上衣成本＋褲子成本＝５００元 上衣利潤＋褲子利潤＝１５７元 解：設(shè)上衣的成本價為ｘ元，裙子的成本價為ｙ元： 成本（元） 實(shí)際售價（元） 利潤（元） 上衣 x 褲子 y 解：設(shè)上衣的成本價為x元，裙子的成本價為y元，則上衣利潤 　　　　　　　　元， 　褲子利潤為0.9(1+40%)y-y元，依題意得 x+y=500， 0.9×(1+50%)x-x+0.9×(1+40%)y-y=１５７. 整理得: x+y=500 ， ……① 35x+26y=１５７00. …… ② ②－① ×26,得9x=２700, ∴x =３００. 把其代入①，得y=500－３００=２００ x=３００， y=２００. 答：上衣成本３００元，裙子成本２００元. 解決問題二 新年來臨爸爸想送Mike一個書包和隨身聽作為新年禮物．爸爸對Mike說：“我在家樂福、人民商場都發(fā)現(xiàn)同款的隨身聽的單價相同，書包單價也相同，隨身聽和書包單價之和是452元，且隨身聽的單價比書包單價的4倍少8元，你能說出隨身聽和書包單價各是多少元，那么我就買給你做新年禮物”. 你能幫助他嗎？ （1）解：設(shè)書包單價為x元，則隨身聽單價為y元,根據(jù)題意可列出方程： 解之得： 答：書包單價92元，隨身聽單價360元. 最優(yōu)化決策： 聰明的Mike想了想回答正確后便同爸爸去買禮物，恰好趕上商家促銷，人民商場所有商品打八折銷售，家樂福全場購物滿100元返購物券30元銷售（不足100元不返券，購物券全場通用），但他只帶了400元錢，如果他只在一家購買看中的這兩樣物品，你能幫助他選擇在哪一家購買嗎？若兩家都可以選擇，在哪一家購買更省錢？ 提示：書包單價92元，隨身聽單價360元. 2）在人民商場購買隨聲聽與書包各一樣需花費(fèi)現(xiàn)金452×=361.6（元） ∵ 361.6<400 ∴可以選擇在人民商場購買. 在家樂?？上然ìF(xiàn)金360元購買隨身聽，再利用得到的90元返券，加上2元現(xiàn)金購買書包，共花現(xiàn)金360+2=362（元）. 因為362＜400，所以也可以選擇在家樂福購買. 因為362＞361.6,所以在人民商場購買更省錢. 第五環(huán)節(jié)：學(xué)習(xí)反思；（5分鐘，學(xué)生思考回答，不足的地方教師補(bǔ)充和強(qiáng)調(diào).） 你的收獲是什么？ 1． 通過本節(jié)的學(xué)習(xí)活動，你會用列表分析數(shù)據(jù)嗎？ 2． 你能用列方程組的方法解決實(shí)際問題嗎？ 3．你體會到方程思想在生活中的存在嗎？ 小結(jié)： １．在很多實(shí)際問題中，都存在著一些等量關(guān)系，因此我們往往可以借助列方程或方程組的方法來處理這些問題． ２．這種處理問題的過程可以進(jìn)一步概括為： 分析 求解 問題 方程（組） 解答 抽象 檢驗 ３．要注意的是，處理實(shí)際問題的方法是多種多樣的，圖表分析是一種直觀簡潔的方法，應(yīng)根據(jù)具體問題靈活選用． - 6 -