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數量關系 —,,,第七章,第一部分 向量代數,第二部分 空間解析幾何,在三維空間中:,空間形式 — 點, 線, 面,基本方法 — 坐標法; 向量法,坐標,,方程（組）,空間解析幾何與向量代數,1,,四、利用坐標作向量的線性運算,,,第一節(jié),一、向量的概念,二、向量的線性運算,三、空間直角坐標系,五、向量的模、方向角、投影,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,,向量及其線性運算,第七章,2,表示法:,向量的模 :,向量的大小,,一、向量的概念,向量:,(又稱矢量).,,既有大小, 又有方向的量稱為向量,向徑 (矢徑):,自由向量:,與起點無關的向量.,起點為原點的向量.,單位向量:,模為 1 的向量,,零向量:,模為 0 的向量,,有向線段 M1 M2 ,,或 a ,,,,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,3,規(guī)定: 零向量與任何向量平行 ;,記作,因平行向量可平移到同一直線上,,故兩向量平行又稱,兩向量共線 .,若 k (≥3)個向量經平移可移到同一平面上 ,,則稱此 k,個向量共面 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,4,,,,,,,,,,,,,,二、向量的線性運算,1. 向量的加法,三角形法則:,平行四邊形法則:,,,,,,運算規(guī)律 :,交換律,結合律,三角形法則可推廣到多個向量相加 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,,,,,,,,5,,,,,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,,,,,,,6,2. 向量的減法,,,,,,三角不等式,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,,,,,7,3. 向量與數的乘法,? 是一個數 ,,規(guī)定 :,可見,總之:,運算律 :,結合律,分配律,因此,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,8,定理1.,設 a 為非零向量 , 則,,,(? 為唯一實數),, 取 ?＝±,,且,再證數 ? 的唯一性 .,則,,,,取正號, 反向時取負號,,,,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,9,則,,,例1. 設 M 為,解:,,,,,,,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,10,,,,,,,,,三、空間直角坐標系,由三條互相垂直的數軸按右手規(guī)則,組成一個空間直角坐標系.,坐標原點,坐標軸,x軸(橫軸),y軸(縱軸),z 軸(豎軸),過空間一定點 o ,,,坐標面,卦限(八個),zox面,1. 空間直角坐標系的基本概念,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,11,向徑,在直角坐標系下,坐標軸上的點 P, Q , R ;,坐標面上的點 A , B , C,點 M,特殊點的坐標 :,有序數組,,,,,,,,(稱為點 M 的坐標),原點 O(0,0,0) ;,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,,12,坐標軸 :,,,,坐標面 :,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,13,,2. 向量的坐標表示,在空間直角坐標系下,,設點 M,則,沿三個坐標軸方向的分向量.,,,,,,,,,,的坐標為,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,,,,14,四、利用坐標作向量的線性運算,設,則,,,,,,平行向量對應坐標成比例:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,15,例2.,求解向量線性方程組,,解:,①,②,2×① －3×② , 得,代入②得,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,16,例3. 已知兩點,在AB直線上求一點 M , 使,解: 設 M 的坐標為,如圖所示,,,,,,,,,,,及實數,得,即,,,,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,17,說明: 由,得定比分點公式:,點 M 為 AB 的中點 ,,于是得,中點公式:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,18,五、向量的模、方向角、投影,1. 向量的模與兩點間的距離公式,則有,,,,,,,,由勾股定理得,因,,,,得兩點間的距離公式:,對兩點,與,,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,19,,例4. 求證以,證:,即,為等腰三角形 .,的三角形是等腰三角形 .,,為頂點,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,20,例5. 在 z 軸上求與兩點,等距,解: 設該點為,解得,故所求點為,及,思考:,(1) 如何求在 xoy 面上與A , B 等距離之點的軌跡方程?,(2) 如何求在空間與A , B 等距離之點的軌跡方程 ?,離的點 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,21,提示:,(1) 設動點為,利用,得,(2) 設動點為,利用,得,且,例6. 已知兩點,和,解:,求,,,,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,22,,2. 方向角與方向余弦,設有兩非零向量,任取空間一點 O ,,,,,,稱 ? =∠AOB (0≤ ?≤ ? ) 為向量,,的夾角.,,類似可定義向量與軸, 軸與軸的夾角 .,與三坐標軸的夾角? , ? , ?,,,,,,為其方向角.,方向角的余弦稱為其方向余弦.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,23,,,方向余弦的性質:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,24,例7. 已知兩點,和,的模 、方向余弦和方向角 .,解:,計算向量,,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,25,例8. 設點 A 位于第一卦限,,解: 已知,角依次為,求點 A 的坐標 .,則,因點 A 在第一卦限 ,,故,于是,故點 A 的坐標為,向徑 OA 與 x 軸 y 軸的夾,,,,第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,26,,空間一點在軸上的投影,,,,27,,空間一向量在軸上的投影,,,,,,,,,28,,,性質1,證,,,,,29,,性質2,,,,,,,,,（可推廣到有限多個）,30,練習,解: 因,1. 設,求向量,在 x 軸上的投影及在 y,軸上的分向量.,在 y 軸上的分向量為,故在 x 軸上的投影為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,31,2.,設,求以向量,行四邊形的對角線的長度 .,,,,,該平行四邊形的對角線的長度各為,對角線的長為,解：,,,為邊的平,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,,,32,