1.3相似三角形的性質(zhì)
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1.3相似三角形的性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與能力】1.了解相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比. 了解相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比、面積比等于相似比的平方.2.能應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算. 能應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)周長(zhǎng)、面積的計(jì)算.【過(guò)程與方法】1.通過(guò)探究、討論、猜想、證明,讓學(xué)生經(jīng)歷探索相似三角形性質(zhì)的過(guò)程,體會(huì)探索研究問(wèn)題的一般思路和方法.2.利用相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題,提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.【情感態(tài)度價(jià)值觀】1.經(jīng)歷觀察、引導(dǎo)、實(shí)踐、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程,發(fā)展合情推理能力和初步演繹推理能力.2.經(jīng)歷觀察猜想證明歸納等探究過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探究、合作交流的習(xí)慣和嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的態(tài)度.教學(xué)重難點(diǎn)【教學(xué)重點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)定理的探索及應(yīng)用.【教學(xué)難點(diǎn)】 相似三角形性質(zhì)的歸納推理.課前準(zhǔn)備多媒體課件教學(xué)過(guò)程一、新課導(dǎo)入:導(dǎo)入一:復(fù)習(xí)提問(wèn):1.什么叫相似三角形?判定方法有哪些?2.相似三角形有哪些基本特征?【師生活動(dòng)】學(xué)生思考回答,教師點(diǎn)評(píng).導(dǎo)入語(yǔ)我們已經(jīng)知道:兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例,除了這些基本性質(zhì)外,還有什么性質(zhì)呢?這就是我們這節(jié)課要探究的內(nèi)容.導(dǎo)入二:【課件展示】小華做小孔成像實(shí)驗(yàn),如下圖,已知蠟燭與成像板間的距離為l,當(dāng)蠟燭與成像板間的小孔紙板放在何處時(shí),蠟燭焰AB是像AB的一半長(zhǎng)?【教師活動(dòng)】教師展示課件,導(dǎo)出課題.設(shè)計(jì)意圖通過(guò)復(fù)習(xí)相似三角形的概念和判定方法,做好新舊知識(shí)之間的銜接;由生活實(shí)際問(wèn)題導(dǎo)出課題,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,感受數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系.二、新知構(gòu)建:過(guò)渡語(yǔ)全等三角形的對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線和對(duì)應(yīng)角平分線分別相等.兩個(gè)相似三角形,它們的對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線和對(duì)應(yīng)角平分線的比與它們的相似比之間有什么關(guān)系呢?通過(guò)今天的學(xué)習(xí),我們將得到結(jié)論.一起探究相似三角形的性質(zhì)思路一相似三角形的對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比.【課件展示】如圖所示,ABCABC,相似比為k,其中AD,AD分別是BC和BC上的高,那么AD與AD的比與相似比之間有怎樣的關(guān)系?【思考】(1)圖中的ABD和ABD相似嗎?如何證明?(2)由相似三角形的性質(zhì),你能得到AD與AD的比與相似比之間的關(guān)系嗎?(3)請(qǐng)寫出你的解答過(guò)程.(4)你能敘述你得到的結(jié)論嗎?【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考后,小組合作交流,學(xué)生完成解答過(guò)程,小組代表板書,教師及時(shí)幫助有困難的學(xué)生,并規(guī)范書寫格式.【課件展示】相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比.已知:如圖所示,ABCABC,相似比為k,AD,AD分別為BC,BC邊上的高.求證:ADAD=k.證明:ABCABC,B=B.又ADBC,ADBC,ADB=ADB=90,ADBADB.ADAD=ABAB=k.追加提問(wèn):(1)能去掉性質(zhì)中的對(duì)應(yīng)兩個(gè)字嗎?(2)如圖所示,ABCABC,相似比為k.AE與AE分別為BC,BC邊上的中線,AF與AF分別為BAC和BAC的平分線.猜想:AE和AE的比、AF和AF的比分別與相似比有怎樣的關(guān)系?(3)類比上述證明方法,你能證明上述結(jié)論嗎?(4)怎樣用語(yǔ)言描述上述結(jié)論?【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立完成證明過(guò)程,小組內(nèi)合作交流答案,小組代表展示證明過(guò)程,師生共同點(diǎn)評(píng),共同歸納相似三角形的性質(zhì).【課件展示】相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.1.已知:如上圖所示,ABCABC,相似比為k,AE,AE分別為BC,BC邊上的中線.求證:AEAE=k.證明:ABCABC,B=B,ABAB=BCBC.又AE與AE分別為BC,BC邊上的中線,BE=12BC,BE=12BC,BEBE=ABAB,ABEABE.AEAE=ABAB=k.2.已知:如上圖所示,ABCABC,相似比為k,AF,AF分別為BAC,BAC的平分線.求證:AFAF=k.證明:ABCABC,B=B,BAC=BAC.又AF,AF分別為BAC,BAC的平分線,BAF=12BAC,BAF=12BAC,BAF=BAF,ABFABF.AFAF=ABAB=k.思路二動(dòng)手操作:(1)讓學(xué)生作出兩個(gè)三角形ABC與ABC,使ABCABC,并通過(guò)測(cè)量得出相似比.(2)分別過(guò)點(diǎn)A作ADBC,ADBC,垂足分別為D,D.(3)測(cè)量?jī)蓚€(gè)三角形的高AD與AD,求出ADAD的值.(4)猜想:相似三角形對(duì)應(yīng)高的比與相似比之間的關(guān)系.(5)證明你的猜想.【師生活動(dòng)】學(xué)生測(cè)量比較后小組合作交流結(jié)果,完成猜想及證明,小組代表板書過(guò)程,教師巡視過(guò)程中幫助有困難的學(xué)生,并及時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,在點(diǎn)評(píng)時(shí)強(qiáng)調(diào)易錯(cuò)點(diǎn).【課件展示】相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比.已知:如圖所示,ABCABC,相似比為k,AD,AD分別為BC,BC邊上的高.求證:ADAD=k.證明:同思路一.追加提問(wèn):(1)能去掉性質(zhì)中的對(duì)應(yīng)兩個(gè)字嗎?(2)如圖所示,ABCABC,相似比為k.AE與AE分別為BC,BC邊上的中線,AF與AF分別為BAC和BAC的平分線.猜想:AE和AE的比、AF和AF的比分別與相似比有怎樣的關(guān)系?(3)類比上述證明方法,你能證明上述結(jié)論嗎?(4)怎樣用語(yǔ)言描述上述結(jié)論?【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立完成證明過(guò)程,小組內(nèi)合作交流答案,小組代表展示證明過(guò)程,師生共同點(diǎn)評(píng),共同歸納相似三角形的性質(zhì).【課件展示】相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.1.已知:如上圖所示,ABCABC,相似比為k,AE,AE分別為BC,BC邊上的中線.求證:AEAE=k.證明:同思路一.2.已知:如上圖所示,ABCABC,相似比為k,AF,AF分別為BAC,BAC的平分線.求證:AFAF=k.證明:同思路一.【課件展示】歸納性質(zhì):相似三角形的性質(zhì)定理:相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比,都等于相似比.設(shè)計(jì)意圖思路一在教師的引導(dǎo)下,由相似三角形的性質(zhì)得對(duì)應(yīng)角相等,然后利用相似三角形的判定定理證出三角形相似,從而得到對(duì)應(yīng)高的比等于相似比;思路二通過(guò)測(cè)量,提出猜想,然后小組交流,完成猜想的證明.通過(guò)學(xué)生的自主探究,完成知識(shí)的形成過(guò)程,提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維和解決問(wèn)題的能力.例題講解【課件展示】如圖所示,在ABC中,ADBC,垂足為D,EFBC,分別交AB,AC,AD于點(diǎn)E,F,G,AEAB=35,AD=15.求AG的長(zhǎng).教師引導(dǎo)思考:(1)由EFBC可以得到哪兩個(gè)三角形相似?(2)相似三角形的相似比是多少?(3)AG與AD是不是相似三角形的對(duì)應(yīng)線段?(4)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)能否求出線段AG的長(zhǎng)?【師生活動(dòng)】學(xué)生在教師提出的問(wèn)題的引導(dǎo)下思考,獨(dú)立完成解答過(guò)程,小組內(nèi)交流答案,教師對(duì)學(xué)生的展示進(jìn)行評(píng)價(jià),并規(guī)范解題格式.【課件展示】解:EFBC,AEFABC.ADBC,ADEF.AGAD=AEAB.又AEAB=35,AD=15,AG15=35,AG=9.設(shè)計(jì)意圖學(xué)生在教師的引導(dǎo)下共同完成例題的探究,加深對(duì)相似三角形的性質(zhì)的理解和掌握,提高學(xué)生的應(yīng)用意識(shí),培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.知識(shí)拓展相似三角形的性質(zhì)可用于有關(guān)角的計(jì)算、線段長(zhǎng)的計(jì)算等,還可以用于證明兩角相等、兩條線段相等等.【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考回答,教師點(diǎn)評(píng).【課件展示】某施工隊(duì)在道路拓寬施工時(shí)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題,馬路旁原有一個(gè)面積為100平方米、周長(zhǎng)為80米的三角形綠化地.由于馬路的拓寬,綠地被削去一個(gè)角,變成了一個(gè)梯形,原綠化地一邊BC的長(zhǎng)由原來(lái)的30米變?yōu)?8米.那么被削去的部分的面積有多少?你能解決這個(gè)問(wèn)題嗎?【教師活動(dòng)】教師展示課件,導(dǎo)出課題.導(dǎo)入語(yǔ)通過(guò)今天的學(xué)習(xí),我們利用相似三角形的性質(zhì)可以解決有關(guān)周長(zhǎng)、面積的問(wèn)題.過(guò)渡語(yǔ)上節(jié)課我們探究了相似三角形的對(duì)應(yīng)線段比等于相似比,那么相似三角形的周長(zhǎng)比、面積比與相似比有什么關(guān)系呢?讓我們一起去探究.一起探究相似三角形的周長(zhǎng)比、面積比與相似比之間的關(guān)系思路一活動(dòng)一:根據(jù)圖上標(biāo)出的數(shù)據(jù),回答下列問(wèn)題:【思考】(1)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)易知兩個(gè)直角三角形相似,相似比是多少?(2)計(jì)算這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng),它們的周長(zhǎng)比與相似比有什么關(guān)系?(3)計(jì)算兩個(gè)三角形的面積,它們的面積比與相似比有什么關(guān)系?【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立完成后回答教師提出的問(wèn)題.活動(dòng)二:(1)猜想1:任意相似三角形的周長(zhǎng)比與相似比有什么關(guān)系?(2)你能證明猜想1的結(jié)論嗎?(3)猜想2:任意相似三角形的面積比與相似比有什么關(guān)系?(4)你能證明猜想2的結(jié)論嗎?【師生活動(dòng)】學(xué)生思考后,小組合作交流,共同探究證明方法,板書證明過(guò)程,教師及時(shí)幫助有困難的學(xué)生,并點(diǎn)評(píng)學(xué)生的解答,規(guī)范學(xué)生的證明格式,師生共同歸納相似三角形的性質(zhì).【課件展示】相似三角形的性質(zhì)定理:相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比.相似三角形的面積比等于相似比的平方.已知:如圖所示,ABCABC,相似比為k,AD,AD分別為BC,BC邊上的高.求證:CABCCABC=k,SABCSABC=k2.證明:ABCABC,相似比為k,ABAB=ACAC=BCBC=k,ADAD=k.AB=kAB,AC=kAC,BC=kBC.CABCCABC=AB+BC+ACAB+BC+AC=kAB+kBC+kACAB+BC+AC=k,SABCSABC=12BCAD12BCAD=BCBCADAD=k2.活動(dòng)三:你能用幾何語(yǔ)言描述上述相似三角形的性質(zhì)嗎?【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考回答,教師點(diǎn)評(píng),課件展示正確結(jié)論.【課件展示】如上圖所示,ABCABC,相似比為k,則CABCCABC=k,SABCSABC=k2.思路二【課件展示】如圖所示,ABCABC,相似比為k,AD,AD分別為BC,BC邊上的高.(1)ABC的周長(zhǎng)和ABC的周長(zhǎng)的比與它們的相似比有什么關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)ABC的面積和ABC的面積的比與它們的相似比有什么關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由.【師生活動(dòng)】教師給學(xué)生足夠的時(shí)間思考、小組合作交流,共同探索相似三角形的周長(zhǎng)比、面積比與相似比之間的關(guān)系及證明思路,教師在巡視過(guò)程中幫助有困難的學(xué)生,學(xué)生探究出結(jié)論后,完成證明過(guò)程,教師對(duì)學(xué)生的展示進(jìn)行點(diǎn)評(píng),師生共同歸納相似三角形的性質(zhì).【課件展示】相似三角形的性質(zhì)定理:相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比.相似三角形的面積比等于相似比的平方.已知:如圖所示,ABCABC,相似比為k,AD,AD分別為BC,BC邊上的高.求證:CABCCABC=k,SABCSABC=k2.證明:ABCABC,相似比為k,ABAB=ACAC=BCBC=k,ADAD=k,AB=kAB,AC=kAC,BC=kBC.CABCCABC=AB+BC+ACAB+BC+AC=kAB+kBC+kACAB+BC+AC=k,SABCSABC=12BCAD12BCAD=BCBCADAD=k2.追加思考:你能用幾何語(yǔ)言描述上述相似三角形的性質(zhì)嗎?【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考回答,教師點(diǎn)評(píng),課件展示正確結(jié)論.【課件展示】如上圖所示,ABCABC,相似比為k,則CABCCABC=k,SABCSABC=k2.設(shè)計(jì)意圖思路一讓學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般的探究過(guò)程,通過(guò)計(jì)算、觀察、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng),讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程,有助于理解掌握相似三角形的性質(zhì);思路二主要通過(guò)小組合作交流,探究相似三角形的性質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí),嚴(yán)格地推理論證性質(zhì)定理,培養(yǎng)了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度,同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生的歸納總結(jié)能力.例題講解過(guò)渡語(yǔ)我們探究了相似三角形的性質(zhì),應(yīng)用這些性質(zhì)可以直接解決一些有關(guān)問(wèn)題,我們一起嘗試解決下列問(wèn)題.如圖所示,在ABC中,D,E,F分別為BC,AC,AB邊的中點(diǎn).求:(1)DEF的周長(zhǎng)與ABC的周長(zhǎng)之比.(2)DEF的面積與ABC的面積之比.解析由三角形的中位線定理可以得到DEF三邊與ABC三邊之間的數(shù)量關(guān)系,根據(jù)相似三角形的判定定理可得兩個(gè)三角形相似,且相似比為12,由相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比、面積比等于相似比的平方,可得結(jié)論.【師生活動(dòng)】學(xué)生在教師的引導(dǎo)分析下回答問(wèn)題,然后獨(dú)立完成解答,小組成員交流答案,小組代表板書過(guò)程,教師點(diǎn)評(píng),規(guī)范學(xué)生書寫過(guò)程.【課件展示】解:D,E,F分別為BC,AC,AB的中點(diǎn),DEAB,EFBC,DFAC,且DE=12AB,EF=12BC,DF=12AC.DEAB=EFBC=DFAC=12.DEFABC.DEF的周長(zhǎng)與ABC的周長(zhǎng)之比為12,DEF的面積與ABC的面積之比為14.設(shè)計(jì)意圖通過(guò)經(jīng)歷對(duì)例題的探究過(guò)程,加深學(xué)生對(duì)相似三角形的性質(zhì)的理解和掌握,達(dá)到鞏固知識(shí)的目的,提高學(xué)生應(yīng)用意識(shí),增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心,培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.知識(shí)拓展相似三角形的性質(zhì)可用于有關(guān)角的計(jì)算、線段長(zhǎng)的計(jì)算以及三角形的周長(zhǎng)和面積的計(jì)算等,還可以用于證明兩角相等、兩條線段相等等.三、課堂小結(jié):1.相似三角形的性質(zhì):(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例;(2)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等;(3)相似三角形的對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線)的比等于相似比;(4)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比;(5)相似三角形的面積比等于相似比的平方.- 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