四、高職不定積分教案.doc
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_第四章 不定積分一、 基本要求:1、 理解原函數(shù)與不定積分的概念;2、 掌握不定積分的性質(zhì)和了解不定積分的幾何意義。二、 授課內(nèi)容:4-1 原函數(shù)與不定積分一、 原函數(shù) 定義1 如果對任一,都有 或 則稱為在區(qū)間I 上的原函數(shù)。例如:,即是的原函數(shù)。 ,即是的原函數(shù)。原函數(shù)存在定理:如果函數(shù)在區(qū)間I 上連續(xù),則在區(qū)間I 上一定有原函數(shù),即存在區(qū)間I 上的可導(dǎo)函數(shù),使得對任一,有。注1:如果有一個原函數(shù),則就有無窮多個原函數(shù)。設(shè)是的原函數(shù),則,即也為的原函數(shù),其中為任意常數(shù)。注2:如果與都為在區(qū)間I 上的原函數(shù),則與之差為常數(shù),即 (C為常數(shù))注3:如果為在區(qū)間I 上的一個原函數(shù),則(為任意常數(shù))可表達的任意一個原函數(shù)。二、不定積分定義2 在區(qū)間I上,的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù),成為在區(qū)間I上的不定積分,記為。如果為的一個原函數(shù),則 ,(為任意常數(shù))例1 因為 , 得 例2 因為,時,;時,得 ,因此有例3 設(shè)曲線過點,且其上任一點的斜率為該點橫坐標(biāo)的兩倍,求曲線的方程。解:設(shè)曲線方程為,其上任一點處切線的斜率為從而由,得,因此所求曲線方程為 三、不定積分的性質(zhì)由原函數(shù)與不定積分的概念可得:1)2)3)4)5)四、不定積分的幾何意義不定積分的幾何意義如圖51所示: 圖 51設(shè)是的一個原函數(shù),則在平面上表示一條曲線,稱它為的一條積分曲線于是的不定積分表示一族積分曲線,它們是由的某一條積分曲線沿著軸方向作任意平行移動而產(chǎn)生的所有積分曲線組成的顯然,族中的每一條積分曲線在具有同一橫坐標(biāo)的點處有互相平行的切線,其斜率都等于在求原函數(shù)的具體問題中,往往先求出原函數(shù)的一般表達式,再從中確定一個滿足條件 (稱為初始條件)的原函數(shù)從幾何上講,就是從積分曲線族中找出一條通過點的積分曲線例4 設(shè)曲線通過點,且其上任一點處的切線斜率等于該點橫坐標(biāo)的平方,求此曲線的方程解 設(shè)所求曲線的方程為,按題意有 于是 因為這曲線通過點,代入上式可得故所求曲線的方程為小結(jié):本節(jié)學(xué)習(xí)了原函數(shù)的概念,不定積分的概念,不定積分的性質(zhì),學(xué)習(xí)了幾個簡單的積分公式,并通過幾個例子熟悉積分公式的使用。三、 基本要求:3、 鞏固不定積分的概念;4、 掌握不定積分的基本公式和不定積分的性質(zhì);5、 熟練掌握直接積分法。四、 授課內(nèi)容:4-2 不定積分的概念與性質(zhì)二、 不定積分的的基本公式及性質(zhì)1、積分公式1) (為常數(shù))2) ()3) 4) 5) 6)7)8)9)10)11)12)13)14)15)2、不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2,(為常數(shù),)二、直接積分法例1 求解: 例2 求解: 例3 求解:例4求解:a) 求解:b) 求解:一、 基本要求:1、 了解換元積分法的基本思想;2、 熟練掌握第一類換元積分法和第二類換元積分法。二、 授課內(nèi)容:4-3 換元積分法一、 第一類換元積分法(或稱湊微分法)設(shè)為的原函數(shù),即 或 如果 ,且可微,則 即為的原函數(shù),或 因此有定理1 設(shè)為的原函數(shù),可微,則 (2-1)公式(2-1)稱為第一類換元積分公式。例1 求 解:例2 求 解:例3 求 解:原式= 例4 求 , 解:例5 求 解: 例6 求 解: 例7 求 解: 例8 求 解: 二、 第二類換元積分法定理2 設(shè)是單調(diào)的可導(dǎo)函數(shù),且,又設(shè) 具有原函數(shù),則 (2-2)其中為的反函數(shù)。公式(2-2)稱為第二類換元積分公式。例9 求 , 解:令 ,則 ,因此有 例10 求 ,解:令 ,則 ,因此有 其中。用類似方法可得 例11 求 解: 小結(jié):本節(jié)主要學(xué)習(xí)了不定積分的第一類換元積分法和第二類換元積分法。第一類換元法也稱為“湊微分”的方法。第二類換元法主要介紹了三種三角代換,即或,與,分別適用于三類函數(shù),與?!暗勾鷵Q”也屬于第二類換元法。一、 基本要求:1、 熟悉不定積分的分部積分公式;2、 掌握三種不同類型函數(shù)的分部積分法。二、 授課內(nèi)容:4-4 分部積分法一、分部積分法設(shè) ,則有 或 兩端求不定積分,得 或 即 (3-1) 或 (3-2)公式 (3-1) 或 (3-2) 稱為不定積分的分部積分公式。例1 求 解: 例2 求 解: 注1:由例1和例2可以看出,當(dāng)被積函數(shù)是冪函數(shù)與正弦(余弦)乘積或是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積,做分部積分時,取冪函數(shù)為,其余部分取為。例3 求 解: 例4 求 解: 注2:由例3和例4可以看出,當(dāng)被積函數(shù)是冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)乘積或是冪函數(shù)與反三角函數(shù)函數(shù)乘積,做分部積分時,取對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為,其余部分取為。 例5 求 解: 因此得 即 例6 求 解: 令 ,則 ,因此 小結(jié):本節(jié)學(xué)習(xí)了不定積分的分部積分法。對兩類不同形式的被積函數(shù)給出了分部積分的參考原則,也討論了分部方法與換元方法結(jié)合使用的例題。一、 基本要求:1、 了解積分表的結(jié)構(gòu);2、 掌握積分的使用方法。二、 授課內(nèi)容:4-5積分表的使用方法1.在積分表中能直接查到的例 1查表求解被積函數(shù)含 a + bx 因式,在積分表(一)類中,查到公式 9 , 當(dāng) a = 3,b = 2 時,得例 2查表求解被積函數(shù)含 a + bsin x 因式,在積分表(十一)類中,查到公式 103 或 104,因為a = 5,b = 4, a2 b2 .所以用公式 103, 得2.先進行變量代換,再查表例 3查表求解該積分在積分表中直接查不到,要進行變量代換,令 3x = t,于是有上式右端積分的被積函數(shù)中有在積分表(五)類中,查到公式 39,當(dāng) a = 2(x 相當(dāng)于 t)時,得代入原積分中,得3.用遞推公式例 4查表求解被積函數(shù)中含三角函數(shù),在積分表(十一)類中查到公式 97,遞推公式為當(dāng) n = 4 時,原積分為等,都不能用初等函數(shù)表示.第五章 小結(jié)一、不定積分定義 在區(qū)間I上,的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù),成為在區(qū)間I上的不定積分,記為。如果為的一個原函數(shù),則 ,(為任意常數(shù))由原函數(shù)與不定積分的概念可得:16)17)18)19)20)二、 不定積分的的基本公式及性質(zhì)1、積分公式1) (為常數(shù))2) ()3) 4) 5) 21)22)23)24)25)26)27)28)29)30) 2、不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2,(為常數(shù),)三、積分法1、直接積分法2、換元積分法(1)第一類換元積分法(2)第二類換元積分法3、分部積分法THANKS !致力為企業(yè)和個人提供合同協(xié)議,策劃案計劃書,學(xué)習(xí)課件等等打造全網(wǎng)一站式需求歡迎您的下載,資料僅供參考-可編輯修改-- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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