圓錐曲線 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.doc
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第九章 直線與圓錐曲線位置關(guān)系 解析幾何 直線與圓錐曲線位置關(guān)系 一、基礎(chǔ)知識(shí): (一)直線與橢圓位置關(guān)系 1、直線與橢圓位置關(guān)系:相交(兩個(gè)公共點(diǎn)),相切(一個(gè)公共點(diǎn)),相離(無公共點(diǎn)) 2、直線與橢圓位置關(guān)系的判定步驟:通過方程根的個(gè)數(shù)進(jìn)行判定, 下面以直線和橢圓:為例 (1)聯(lián)立直線與橢圓方程: (2)確定主變量(或)并通過直線方程消去另一變量(或),代入橢圓方程得到關(guān)于主變量的一元二次方程:,整理可得: (3)通過計(jì)算判別式的符號(hào)判斷方程根的個(gè)數(shù),從而判定直線與橢圓的位置關(guān)系 ① 方程有兩個(gè)不同實(shí)根直線與橢圓相交 ② 方程有兩個(gè)相同實(shí)根直線與橢圓相切 ③ 方程沒有實(shí)根直線與橢圓相離 3、若直線上的某點(diǎn)位于橢圓內(nèi)部,則該直線一定與橢圓相交 (二)直線與雙曲線位置關(guān)系 1、直線與雙曲線位置關(guān)系,相交,相切,相離 2、直線與雙曲線位置關(guān)系的判定:與橢圓相同,可通過方程根的個(gè)數(shù)進(jìn)行判定 以直線和橢圓:為例: (1)聯(lián)立直線與雙曲線方程:,消元代入后可得: (2)與橢圓不同,在橢圓中,因?yàn)椋韵蟮姆匠桃欢ㄊ嵌畏匠?,但雙曲線中,消元后的方程二次項(xiàng)系數(shù)為,有可能為零。所以要分情況進(jìn)行討論 當(dāng)且時(shí),方程變?yōu)橐淮畏匠?,有一個(gè)根。此時(shí)直線與雙曲線相交,只有一個(gè)公共點(diǎn) 當(dāng)時(shí),常數(shù)項(xiàng)為,所以恒成立,此時(shí)直線與雙曲線相交 當(dāng)或時(shí),直線與雙曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)需要用判斷: ① 方程有兩個(gè)不同實(shí)根直線與雙曲線相交 ② 方程有兩個(gè)相同實(shí)根直線與雙曲線相切 ③ 方程沒有實(shí)根直線與雙曲線相離 注:對(duì)于直線與雙曲線的位置關(guān)系,不能簡(jiǎn)單的憑公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來判定位置。尤其是直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),如果是通過一次方程解出,則為相交;如果是通過二次方程解出相同的根,則為相切 (3)直線與雙曲線交點(diǎn)的位置判定:因?yàn)殡p曲線上的點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍為,所以通過橫坐標(biāo)的符號(hào)即可判斷交點(diǎn)位于哪一支上:當(dāng)時(shí),點(diǎn)位于雙曲線的右支;當(dāng)時(shí),點(diǎn)位于雙曲線的左支。對(duì)于方程: ,設(shè)兩個(gè)根為 ① 當(dāng)時(shí),則,所以異號(hào),即交點(diǎn)分別位于雙曲線的左,右支 ② 當(dāng)或,且時(shí),,所以同號(hào),即交點(diǎn)位于同一支上 (4)直線與雙曲線位置關(guān)系的幾何解釋:通過(2)可發(fā)現(xiàn)直線與雙曲線的位置關(guān)系與直線的斜率相關(guān),其分界點(diǎn)剛好與雙曲線的漸近線斜率相同。所以可通過數(shù)形結(jié)合得到位置關(guān)系的判定 ① 且時(shí),此時(shí)直線與漸近線平行,可視為漸近線進(jìn)行平移,則在平移過程中與雙曲線的一支相交的同時(shí),也在遠(yuǎn)離雙曲線的另一支,所以只有一個(gè)交點(diǎn) ② 時(shí),直線的斜率介于兩條漸近線斜率之中,通過圖像可得無論如何平移直線,直線均與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn),且兩個(gè)交點(diǎn)分別位于雙曲線的左,右支上。 ③ 或時(shí),此時(shí)直線比漸近線“更陡”,通過平移觀察可得:直線不一定與雙曲線有公共點(diǎn)(與的符號(hào)對(duì)應(yīng)),可能相離,相切,相交,如果相交則交點(diǎn)位于雙曲線同一支上。 (三)直線與拋物線位置關(guān)系:相交,相切,相離 1、位置關(guān)系的判定:以直線和拋物線:為例 聯(lián)立方程:,整理后可得: (1)當(dāng)時(shí),此時(shí)方程為關(guān)于的一次方程,所以有一個(gè)實(shí)根。此時(shí)直線為水平線,與拋物線相交 (2)當(dāng)時(shí),則方程為關(guān)于的二次方程,可通過判別式進(jìn)行判定 ① 方程有兩個(gè)不同實(shí)根直線與拋物線相交 ② 方程有兩個(gè)相同實(shí)根直線與拋物線相切 ③ 方程沒有實(shí)根直線與拋物線相離 2、焦點(diǎn)弦問題:設(shè)拋物線方程:, 過焦點(diǎn)的直線(斜率存在且),對(duì)應(yīng)傾斜角為,與拋物線交于 聯(lián)立方程:,整理可得: (1) (2) (3) (四)圓錐曲線問題的解決思路與常用公式: 1、直線與圓錐曲線問題的特點(diǎn): (1)題目貫穿一至兩個(gè)核心變量(其余變量均為配角,早晚利用條件消掉), (2)條件與直線和曲線的交點(diǎn)相關(guān),所以可設(shè),至于坐標(biāo)是否需要解出,則看題目中的條件,以及坐標(biāo)的形式是否復(fù)雜 (3)通過聯(lián)立方程消元,可得到關(guān)于(或)的二次方程,如果所求的問題與兩根的和或乘積有關(guān),則可利用韋達(dá)定理進(jìn)行整體代入,從而不需求出(所謂“設(shè)而不求”) (4)有些題目會(huì)涉及到幾何條件向解析語言的轉(zhuǎn)換,注重?cái)?shù)形幾何,注重整體代入。則可簡(jiǎn)化運(yùn)算的過程 這幾點(diǎn)歸納起來就是“以一個(gè)(或兩個(gè))核心變量為中心,以交點(diǎn)為兩個(gè)基本點(diǎn),堅(jiān)持韋達(dá)定理四個(gè)基本公式(,堅(jiān)持?jǐn)?shù)形結(jié)合,堅(jiān)持整體代入。直至解決解析幾何問題“ 2、韋達(dá)定理:是用二次方程的系數(shù)運(yùn)算來表示兩個(gè)根的和與乘積,在解析幾何中得到廣泛使用的原因主要有兩個(gè):一是聯(lián)立方程消元后的二次方程通常含有參數(shù),進(jìn)而導(dǎo)致直接利用求根公式計(jì)算出來的實(shí)根形式非常復(fù)雜,難以參與后面的運(yùn)算;二是解析幾何的一些問題或是步驟經(jīng)常與兩個(gè)根的和與差產(chǎn)生聯(lián)系。進(jìn)而在思路上就想利用韋達(dá)定理,繞開繁雜的求根結(jié)果,通過整體代入的方式得到答案。所以說,解析幾何中韋達(dá)定理的應(yīng)用本質(zhì)上是整體代入的思想,并不是每一道解析題必備的良方。如果二次方程的根易于表示(優(yōu)先求點(diǎn),以應(yīng)對(duì)更復(fù)雜的運(yùn)算),或者所求的問題與兩根和,乘積無關(guān),則韋達(dá)定理毫無用武之地。 3、直線方程的形式:直線的方程可設(shè)為兩種形式: (1)斜截式:,此直線不能表示豎直線。聯(lián)立方程如果消去則此形式比較好用,且斜率在直線方程中能夠體現(xiàn),在用斜截式解決問題時(shí)要注意檢驗(yàn)斜率不存在的直線是否符合條件 (2),此直線不能表示水平線,但可以表示斜率不存在的直線。經(jīng)常在聯(lián)立方程后消去時(shí)使用,多用于拋物線(消元后的二次方程形式簡(jiǎn)單)。此直線不能直接體現(xiàn)斜率,當(dāng)時(shí),斜率 4、弦長(zhǎng)公式:(已知直線上的兩點(diǎn)距離)設(shè)直線,上兩點(diǎn),所以或 (1)證明:因?yàn)樵谥本€上,所以 ,代入可得: 同理可證得 (2)弦長(zhǎng)公式的適用范圍為直線上的任意兩點(diǎn),但如果為直線與曲線的交點(diǎn)(即為曲線上的弦),則(或)可進(jìn)行變形:,從而可用方程的韋達(dá)定理進(jìn)行整體代入。 5、點(diǎn)差法:這是處理圓錐曲線問題的一種特殊方法,適用于所有圓錐曲線。不妨以橢圓方程為例,設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn),則該兩點(diǎn)滿足橢圓方程,有: 考慮兩個(gè)方程左右分別作差,并利用平方差公式進(jìn)行分解,則可得到兩個(gè)量之間的聯(lián)系: ① ② 由等式可知:其中直線的斜率,中點(diǎn)的坐標(biāo)為,這些要素均在②式中有所體現(xiàn)。所以通過“點(diǎn)差法”可得到關(guān)于直線的斜率與中點(diǎn)的聯(lián)系,從而能夠處理涉及到弦與中點(diǎn)問題時(shí)。同時(shí)由①可得在涉及坐標(biāo)的平方差問題中也可使用點(diǎn)差法。 二、典型例題 例1:不論為何值,直線與橢圓有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 思路一:可通過聯(lián)立方程,消去變量(如消去),得到關(guān)于的二次方程,因?yàn)橹本€與橢圓有公共點(diǎn),所以在恒成立,從而將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題,解出即可 解:,整理可得: 即 思路二:從所給含參直線入手可知直線過定點(diǎn),所以若過定點(diǎn)的直線均與橢圓有公共點(diǎn),則該點(diǎn)位于橢圓的內(nèi)部或橢圓上,所以代入后,即,因?yàn)槭菣E圓,所以,故的取值范圍是 答案:C 小煉有話說:(1)比較兩種思路,第一種思路比較傳統(tǒng),通過根的個(gè)數(shù)來確定直線與橢圓位置關(guān)系,進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題求解;第二種思路是抓住點(diǎn)與橢圓位置關(guān)系的特點(diǎn),即若點(diǎn)在封閉曲線內(nèi),則過該點(diǎn)的直線必與橢圓相交,從而以定點(diǎn)為突破口巧妙解決問題。在思路二中,從含參直線能發(fā)現(xiàn)定點(diǎn)是關(guān)鍵 (2)本題還要注意細(xì)節(jié),橢圓方程中的系數(shù)不同,所以 例2:已知雙曲線的右焦點(diǎn)為,若過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn),則此直線斜率的取值范圍是( ) A. B. C. D. 思路:由可得漸近線方程為:,若過右焦點(diǎn)的直線與右支只有一個(gè)交點(diǎn),則直線的斜率的絕對(duì)值小于或等于漸近線斜率的絕對(duì)值,即 答案:C 小煉有話說:本題是利用“基礎(chǔ)知識(shí)”的結(jié)論直接得到的答案,代數(shù)的推理如下: 由可知,設(shè)直線,聯(lián)立方程可得: ,整理后可得: 當(dāng)時(shí),,即位于雙曲線右支,符合題意 當(dāng)時(shí), 直線與雙曲線必有兩個(gè)交點(diǎn),設(shè)為 因?yàn)橹本€與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn) ,即 綜上所述: 例3:已知拋物線的方程為,過點(diǎn)和點(diǎn)的直線與拋物線沒有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 思路:由兩點(diǎn)可確定直線的方程(含),再通過與拋物線方程聯(lián)立,利用即可得到關(guān)于的不等式,從而解得的范圍 解:若,則直線與拋物線有公共點(diǎn),不符題意 若,則 ,與橢圓聯(lián)立方程: 直線與拋物線無公共點(diǎn) 或 答案:D 例4:過雙曲線的右焦點(diǎn)作直線交雙曲線于兩點(diǎn),若實(shí)數(shù)使得的直線恰有3條,則_______ 思路:由雙曲線方程可知,當(dāng)斜率不存在時(shí),可知為通徑,計(jì)算可得:,當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)直線,與橢圓方程聯(lián)立,利用弦長(zhǎng)公式可得為關(guān)于的表達(dá)式,即??山獾茫夯颉H艋?,即時(shí),可得,僅有一解,不符題意。若且,則每個(gè)方程只能無解或兩解。所以可知當(dāng)時(shí),方程有兩解,再結(jié)合斜率不存在的情況,共有3解。符合題意,所以 解:由雙曲線可得 , 當(dāng)斜率不存在時(shí),的方程為 為通徑,即 若直線斜率存在,不妨設(shè)為 則設(shè), 聯(lián)立直線與橢圓方程:消去可得:,整理可得: 可得:或 ① 當(dāng)時(shí),即,則方程①的解為,只有一解,不符題意 同理,當(dāng),即,則方程①的解為,只有一解,不符題意 當(dāng)且時(shí),則每個(gè)方程的解為0個(gè)或兩個(gè),總和無法達(dá)到3個(gè),不符題意 所以若的直線恰有3條,只能,方程①解得: 滿足條件的直線的方程為:,, 答案: 例5:已知橢圓,則當(dāng)在此橢圓上存在不同兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,則的取值范圍是( ) A. B. C. D. 思路:設(shè)橢圓上兩點(diǎn),中點(diǎn)坐標(biāo)為,則有,由中點(diǎn)問題想到點(diǎn)差法,則有,變形可得: ①由對(duì)稱關(guān)系和對(duì)稱軸方程可得,直線的斜率,所以方程①轉(zhuǎn)化為: ,由對(duì)稱性可知中點(diǎn)在對(duì)稱軸上,所以有,所以解得:,依題意可得:點(diǎn)必在橢圓內(nèi),所以有,代入可得: ,解得: 答案:D 例6:過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,設(shè)直線的斜率為,直線的斜率為,則的值為( ) A. B. C. D. 思路一:已知與橢圓交于兩個(gè)基本點(diǎn),從而設(shè),可知,即,從結(jié)構(gòu)上可聯(lián)想到韋達(dá)定理,設(shè),聯(lián)立橢圓方程:,可得:,所以,則,即 思路二:線段為橢圓的弦,且問題圍繞著弦中點(diǎn)展開,在圓錐曲線中處理弦中點(diǎn)問題可用“點(diǎn)差法”,設(shè),則有,兩式作差,可得:,發(fā)現(xiàn)等式中出現(xiàn)與中點(diǎn)和斜率相關(guān)的要素,其中,所以,且,所以等式化為即,所以 答案:D 小煉有話說:兩類問題適用于點(diǎn)差法,都是圍繞著點(diǎn)差后式子出現(xiàn)平方差的特點(diǎn)。 (1)涉及弦中點(diǎn)的問題,此時(shí)點(diǎn)差之后利用平方差進(jìn)行因式分解可得到中點(diǎn)坐標(biāo)與直線斜率的聯(lián)系 (2)涉及到運(yùn)用兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)平方差的條件,也可使用點(diǎn)差法 例7:已知點(diǎn)在拋物線上,過點(diǎn)作兩條直線分別交拋物線于點(diǎn),直線的斜率分別為,若直線過點(diǎn),則( ) A. B. C. D. 思路:設(shè),進(jìn)而所求,所以可從直線入手,設(shè)直線,與拋物線方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理即可化簡(jiǎn) 解:設(shè) ① 設(shè),則 聯(lián)立方程:,消去可得: 代入①可得: 答案:C 例8:已知拋物線的焦點(diǎn)為,過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn),且,則直線的斜率為( ) A. B. C. D. 思路一:從點(diǎn)的坐標(biāo)出發(fā),因?yàn)槿c(diǎn)共線,從而可轉(zhuǎn)化為,考慮將向量坐標(biāo)化,,設(shè),有,所以,設(shè)直線,聯(lián)立拋物線方程消元后可得:,利用韋達(dá)定理可得:,再結(jié)合,消去即可得,直線,即可得到斜率為 思路二:從所給線段關(guān)系恰好為焦半徑出發(fā),聯(lián)系拋物線的定義,可考慮向準(zhǔn)線引垂線,垂足分別為,便可得到直角梯形,由拋物線定義可知:,將所求斜率轉(zhuǎn)化為直線的傾斜角,即為。不妨設(shè)在第一象限??紤]將角放入直角三角形,從而可過作于,則,因?yàn)槎?,且,利用勾股定理可得:,從而,即,?dāng)在第四象限時(shí),同理,可得 綜上所述: 答案:B 例9:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,設(shè)是橢圓上位于軸上方的兩點(diǎn),且直線與直線平行,與交于點(diǎn),,則直線的斜率是( ) A. B. C. D. 思路:先設(shè)出直線,只需一個(gè)等量條件即可求出,進(jìn)而求出斜率??紤]與橢圓聯(lián)立方程,分別解出的縱坐標(biāo),然后利用弦長(zhǎng)公式即可用表示:,可將已知等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程,從而解出,所以斜率為 解:由橢圓方程可得:, 設(shè),,依圖可知: 聯(lián)立與橢圓方程可得: ,整理可得: 同理可得: 即,解得: 直線的斜率 答案:D 小煉有話說:(1)在運(yùn)用弦長(zhǎng)公式計(jì)算時(shí),抓住焦點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0的特點(diǎn),使用縱坐標(biāo)計(jì)算線段長(zhǎng)度更為簡(jiǎn)便,因此在直線的選擇上,本題采用的形式以便于消去得到關(guān)于的方程 (2)直線方程,當(dāng)時(shí),可知斜率與的關(guān)系為: 例10:過橢圓的右焦點(diǎn)作兩條相互垂直的直線分別交橢圓于四點(diǎn),則的值為( ) A. B. C. D. 思路:首先先考慮特殊情況,即斜率不存在。則為通徑,;為長(zhǎng)軸,所以,從而。再考慮一般情況,所求為焦點(diǎn)弦,所以考慮拆成兩個(gè)焦半徑的和,如設(shè),則,從而想到聯(lián)立直線與橢圓方程并使用韋達(dá)定理整體代入,同理也為焦半徑。設(shè)的斜率為,則的斜率為,所以均可用進(jìn)行表示,再求出的值即可 解:若分別與坐標(biāo)軸平行,不妨設(shè)軸, 則為橢圓的通徑, 由可得: 因?yàn)? 為長(zhǎng)軸長(zhǎng),即 當(dāng)斜率均存在時(shí),設(shè)斜率為,由可得斜率為 由橢圓方程可得: 設(shè), 聯(lián)立方程可得: 消去可得:,整理后為: 設(shè),,與橢圓聯(lián)立方程: ,則同理,求只需用替換中的即可 綜上所述: 答案:D 小煉有話說:(1)本題的亮點(diǎn)在于處理,因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)與的直線方程結(jié)構(gòu)基本相同(只有斜率不同),并且用的是相同的步驟(聯(lián)立方程,消元,韋達(dá)定理,代入焦半徑公式),所以在解決的問題時(shí)就可參照的結(jié)果,進(jìn)行對(duì)應(yīng)字母的替換,即可得到答案。所以在處理兩條直線與同一曲線的問題時(shí),可觀察兩直線處理過程的異同,進(jìn)而簡(jiǎn)化運(yùn)算步驟 (2)本題是選擇題,通過題意可發(fā)現(xiàn)盡管過焦點(diǎn)相互垂直的直線有無數(shù)多對(duì),但從選項(xiàng)中暗示結(jié)果是個(gè)常數(shù),所以就可以利用特殊情況(通徑與長(zhǎng)軸長(zhǎng))求出結(jié)果,從而選擇正確的選項(xiàng)- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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