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圓錐曲線的方程與性質(zhì) 1．橢圓 （1）橢圓概念 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)、的距離的和等于常數(shù)2（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離2c叫橢圓的焦距。若為橢圓上任意一點(diǎn)，則有。 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（）（焦點(diǎn)在x軸上）或（）（焦點(diǎn)在y軸上）。 注：①以上方程中的大小，其中； ②在和兩個(gè)方程中都有的條件，要分清焦點(diǎn)的位置，只要看和的分母的大小。例如橢圓（，，）當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓。 （2）橢圓的性質(zhì) ①范圍：由標(biāo)準(zhǔn)方程知，，說明橢圓位于直線，所圍成的矩形里； ②對稱性：在曲線方程里，若以代替方程不變，所以若點(diǎn)在曲線上時(shí)，點(diǎn)也在曲線上，所以曲線關(guān)于軸對稱，同理，以代替方程不變，則曲線關(guān)于軸對稱。若同時(shí)以代替，代替方程也不變，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱。 所以，橢圓關(guān)于軸、軸和原點(diǎn)對稱。這時(shí)，坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點(diǎn)是對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心； ③頂點(diǎn)：確定曲線在坐標(biāo)系中的位置，常需要求出曲線與軸、軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令，得，則，是橢圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)。同理令得，即，是橢圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)。 所以，橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有四個(gè)，這四個(gè)交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)。 同時(shí)，線段、分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為和，和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。 由橢圓的對稱性知：橢圓的短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為；在中，，，，且，即； ④離心率：橢圓的焦距與長軸的比叫橢圓的離心率?！?，∴，且越接近，就越接近，從而就越小，對應(yīng)的橢圓越扁；反之，越接近于，就越接近于，從而越接近于，這時(shí)橢圓越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，兩焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。 2．雙曲線 （1）雙曲線的概念 平面上與兩點(diǎn)距離的差的絕對值為非零常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線（）。 注意：①式中是差的絕對值，在條件下；時(shí)為雙曲線的一支；時(shí)為雙曲線的另一支（含的一支）；②當(dāng)時(shí)，表示兩條射線；③當(dāng)時(shí)，不表示任何圖形；④兩定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，叫做焦距。 （2）雙曲線的性質(zhì) ①范圍：從標(biāo)準(zhǔn)方程，看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍：雙曲線在兩條直線的外側(cè)。即，即雙曲線在兩條直線的外側(cè)。 ②對稱性：雙曲線關(guān)于每個(gè)坐標(biāo)軸和原點(diǎn)都是對稱的，這時(shí)，坐標(biāo)軸是雙曲線的對稱軸，原點(diǎn)是雙曲線的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。 ③頂點(diǎn)：雙曲線和對稱軸的交點(diǎn)叫做雙曲線的頂點(diǎn)。在雙曲線的方程里，對稱軸是軸，所以令得，因此雙曲線和軸有兩個(gè)交點(diǎn)，他們是雙曲線的頂點(diǎn)。 令，沒有實(shí)根，因此雙曲線和y軸沒有交點(diǎn)。 1）注意：雙曲線的頂點(diǎn)只有兩個(gè)，這是與橢圓不同的（橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)），雙曲線的頂點(diǎn)分別是實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)。 2）實(shí)軸：線段叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長等于叫做雙曲線的實(shí)半軸長。虛軸：線段叫做雙曲線的虛軸，它的長等于叫做雙曲線的虛半軸長。 ④漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從圖上看，雙曲線的各支向外延伸時(shí)，與這兩條直線逐漸接近。 ⑤等軸雙曲線： 1）定義：實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：； 2）等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸近線方程為： ；（2）漸近線互相垂直。 注意以上幾個(gè)性質(zhì)與定義式彼此等價(jià)。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時(shí)其他幾個(gè)亦成立。 3）注意到等軸雙曲線的特征，則等軸雙曲線可以設(shè)為： ，當(dāng)時(shí)交點(diǎn)在軸，當(dāng)時(shí)焦點(diǎn)在軸上。 ⑥注意與的區(qū)別：三個(gè)量中不同（互換）相同，還有焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸也變了。 3．拋物線 （1）拋物線的概念 平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(定點(diǎn)F不在定直線l上)。定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。 方程叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 注意：它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（,0），它的準(zhǔn)線方程是 ； （2）拋物線的性質(zhì) 一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其他幾種形式：，，.這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如下表： 標(biāo)準(zhǔn)方程 圖形 焦點(diǎn)坐標(biāo) 準(zhǔn)線方程 范圍 對稱性 軸 軸 軸 軸 頂點(diǎn) 離心率 說明：（1）通徑：過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦稱為通徑；（2）拋物線的幾何性質(zhì)的特點(diǎn)：有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線，一條對稱軸，無對稱中心，沒有漸近線；（3）注意強(qiáng)調(diào)的幾何意義：是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。 4. 高考數(shù)學(xué)圓錐曲線部分知識點(diǎn)梳理 1、 方程的曲線： 在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡 )上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)，那么這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線。 點(diǎn)與曲線的關(guān)系：若曲線C的方程是f(x,y)=0，則點(diǎn)P0(x0,y0)在曲線C上f(x0,y 0)=0；點(diǎn)P0(x0,y0)不在曲線C上f(x0,y0)≠0。 兩條曲線的交點(diǎn)：若曲線C1，C2的方程分別為f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,則點(diǎn)P0(x0,y0)是C1，C2的交點(diǎn){方程組有n個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，兩條曲線就有n個(gè)不同的交點(diǎn)；方程組沒有實(shí)數(shù)解，曲線就沒有交點(diǎn)。 二、圓： 1、定義：點(diǎn)集｛M｜｜OM｜=r｝，其中定點(diǎn)O為圓心，定長r為半徑. 2、方程：(1)標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心在c(a,b)，半徑為r的圓方程是(x-a)2+(y-b)2=r2 圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓方程是x2+y2=r2 (2)一般方程：①當(dāng)D2+E2-4F＞0時(shí)，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程，圓心為半徑是。配方，將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化為(x+)2+(y+)2= ②當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)(-,-); ③當(dāng)D2+E2-4F＜0時(shí)，方程不表示任何圖形. （3） 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 已知圓心C(a,b),半徑為r,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0)，則｜MC｜＜r點(diǎn)M在圓C內(nèi)，｜MC｜=r點(diǎn)M在圓C上，｜MC｜＞r點(diǎn)M在圓C內(nèi)，其中｜MC｜=。 （4） 直線和圓的位置關(guān)系：①直線和圓有相交、相切、相離三種位置關(guān)系：直線與圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn)；直線與圓相切有一個(gè)公共點(diǎn)；直線與圓相離沒有公共點(diǎn)。 ②直線和圓的位置關(guān)系的判定：(i)判別式法；(ii)利用圓心C(a,b)到直線Ax+By+C=0的距離與半徑r的大小關(guān)系來判定。 三、圓錐曲線的統(tǒng)一定義： 平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到一個(gè)定點(diǎn)F(c,0)的距離與到不通過這個(gè)定點(diǎn)的一條定直線l的距離之 比是一個(gè)常數(shù)e(e＞0),則動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線。其中定點(diǎn)F(c,0)稱為焦點(diǎn)，定直線l稱為準(zhǔn)線，正常數(shù)e稱為離心率。當(dāng)0＜e＜1時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)e=1時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)e＞1時(shí)，軌跡為雙曲線。 四、橢圓、雙曲線、拋物線： 橢圓 雙曲線 拋物線 定義 1．到兩定點(diǎn)F1,F2的距離之和為定值2a(2a>|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡 2．與定點(diǎn)和直線的距離之比為定值e的點(diǎn)的軌跡.（01） 與定點(diǎn)和直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡. 軌跡條件 點(diǎn)集：({M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F 1F2｜＜2a}. 點(diǎn)集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜. =±2a,｜F2F2｜＞2a}. 點(diǎn)集{M｜ ｜MF｜=點(diǎn)M到直線l的距離}. 圖形 方 程 標(biāo)準(zhǔn)方程 (>0) (a>0,b>0) 參數(shù)方程 (t為參數(shù)) 范圍 ─a￡x￡a，─b￡y￡b |x| 3 a，y?R x30 中心 原點(diǎn)O（0，0） 原點(diǎn)O（0，0） 頂點(diǎn) (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) (a,0), (─a,0) (0,0) 對稱軸 x軸，y軸； 長軸長2a,短軸長2b x軸，y軸; 實(shí)軸長2a, 虛軸長2b. x軸 焦點(diǎn) F1(c,0), F2(─c,0) F1(c,0), F2(─c,0) 準(zhǔn) 線 x=± 準(zhǔn)線垂直于長軸，且在橢圓外. x=± 準(zhǔn)線垂直于實(shí)軸，且在兩頂點(diǎn)的內(nèi)側(cè). x=- 準(zhǔn)線與焦點(diǎn)位于頂點(diǎn)兩側(cè)，且到頂點(diǎn)的距離相等. 焦距 2c （c=） 2c （c=） 離心率 e=1 【備注1】雙曲線：⑶等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心率. ⑷共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：. ⑸共漸近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為如果雙曲線的漸近線為時(shí)，它的雙曲線方程可設(shè)為. 【備注2】拋物線：（1）拋物線=2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(,0)，準(zhǔn)線方程x=- ，開口向右；拋物線=-2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(-,0)，準(zhǔn)線方程x=，開口向左；拋物線=2py(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,)，準(zhǔn)線方程y=-　，開口向上； 拋物線=-2py（p>0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0,-），準(zhǔn)線方程y=，開口向下. （2）拋物線=2px(p>0)上的點(diǎn)M(x0,y0)與焦點(diǎn)F的距離；拋物線=-2px(p>0)上的點(diǎn)M(x0,y0)與焦點(diǎn)F的距離 （3）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為=2px(p>0)，則拋物線的焦點(diǎn)到其頂點(diǎn)的距離為，頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p. （4）已知過拋物線=2px(p>0)焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則線段AB稱為焦點(diǎn)弦，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則弦長=+p或(α為直線AB的傾斜角)，，(叫做焦半徑). 五、坐標(biāo)的變換： （1）坐標(biāo)變換：在解析幾何中，把坐標(biāo)系的變換(如改變坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置或坐標(biāo)軸的方向)叫做坐標(biāo)變換.實(shí)施坐標(biāo)變換時(shí)，點(diǎn)的位置，曲線的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改變點(diǎn)的坐標(biāo)與曲線的方程. （2）坐標(biāo)軸的平移：坐標(biāo)軸的方向和長度單位不改變，只改變原點(diǎn)的位置，這種坐標(biāo)系的變換叫做坐標(biāo)軸的平移，簡稱移軸。 （3）坐標(biāo)軸的平移公式：設(shè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)M，它在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是（x,y)，在新坐標(biāo)系x ′O′y′中的坐標(biāo)是.設(shè)新坐標(biāo)系的原點(diǎn)O′在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是(h,k)，則 或 叫做平移(或移軸)公式. （4） 中心或頂點(diǎn)在(h,k)的圓錐曲線方程見下表： 方 程 焦 點(diǎn) 焦 線 對稱軸 橢圓 +=1 (±c+h,k) x=±+h x=h y=k + =1 (h,±c+k) y=±+k x=h y=k 雙曲線 -=1 (±c+h,k) x=±+k x=h y=k -=1 (h,±c+h) y=±+k x=h y=k 拋物線 (y-k)2=2p(x-h) (+h,k) x=-+h y=k (y-k)2=-2p(x-h) (-+h,k) x=+h y=k (x-h)2=2p(y-k) (h, +k) y=-+k x=h (x-h)2=-2p(y-k) (h,- +k) y=+k x=h 六、橢圓的常用結(jié)論： 1. 點(diǎn)P處的切線PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的外角. 2. PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個(gè)端點(diǎn). 3. 以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相離. 4. 以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切. 5. 若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是. 6. 若在橢圓外，則過作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是. 7. 橢圓 (a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn) 2，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為. 8. 橢圓（a＞b＞0）的焦半徑公式,( ,). 9. 設(shè)過橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交 P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP 和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的橢圓準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MF⊥NF. 10. 過橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q, A1、A2為橢圓長軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M，A2P和A1Q交于點(diǎn)N，則MF⊥NF. 11. AB是橢圓的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，則，即。 12. 若在橢圓內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是； 【推論】： 1、若在橢圓內(nèi)，則過Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是。橢圓（a＞b＞o）的兩個(gè)頂點(diǎn)為,，與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是. 2、過橢圓 (a＞0, b＞0)上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且（常數(shù)）. 3、若P為橢圓（a＞b＞0）上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1, F 2是焦點(diǎn), , ，則. 4、設(shè)橢圓（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長軸端點(diǎn)）為橢圓上任意一點(diǎn)，在△PF1F2中，記, ,，則有. 5、若橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為L，則當(dāng)0＜e≤時(shí)，可在橢圓上求一點(diǎn)P，使得PF1是P到對應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項(xiàng). 6、P為橢圓（a＞b＞0）上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號成立. 7、橢圓與直線有公共點(diǎn)的充要條件是. 8、已知橢圓（a＞b＞0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值為;（3）的最小值是. 9、過橢圓（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F作直線交該橢圓右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則. 10、已知橢圓（ a＞b＞0） ,A、B、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn), 則. 11、設(shè)P點(diǎn)是橢圓（ a＞b＞0）上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記，則(1).(2) . 12、設(shè)A、B是橢圓（ a＞b＞0）的長軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，, ,，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1).(2) .(3) . 13、已知橢圓（ a＞b＞0）的右準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)，過橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線上，且軸，則直線AC經(jīng)過線段EF 的中點(diǎn). 14、過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直. 15、過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直. 16、橢圓焦三角形中,內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率). （注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn).） 17、橢圓焦三角形中,內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e. 18、橢圓焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng). 七、雙曲線的常用結(jié)論： 1、點(diǎn)P處的切線PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角. 2、PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個(gè)端點(diǎn). 3、以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相交. 4、以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切.（內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支） 5、若在雙曲線（a＞0,b＞0）上，則過的雙曲線的切線方程是. 6、若在雙曲線（a＞0,b＞0）外 ，則過Po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是. 7、雙曲線（a＞0,b＞o）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn) 2，點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn)，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為. 8、雙曲線（a＞0,b＞o）的焦半徑公式：( , ）當(dāng)在右支上時(shí)，,；當(dāng)在左支上時(shí)，,。 9、設(shè)過雙曲線焦點(diǎn)F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線長軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP 和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的雙曲線準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MF⊥NF. 10、過雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P、Q, A1、A2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M，A2P和A1Q交于點(diǎn)N，則MF⊥NF. 11、AB是雙曲線（a＞0,b＞0）的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，則，即。 12、若在雙曲線（a＞0,b＞0）內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是. 13、若在雙曲線（a＞0,b＞0）內(nèi)，則過Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是. 【推論】：1、雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個(gè)頂點(diǎn)為,，與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是. 2、過雙曲線（a＞0,b＞o）上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲線于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且（常數(shù)）. 3、若P為雙曲線（a＞0,b＞0）右（或左）支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),F1, F 2是焦點(diǎn), , ，則（或）. 4、設(shè)雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長軸端點(diǎn)）為雙曲線上任意一點(diǎn)，在△PF1F2中，記, ,，則有. 5、若雙曲線（a＞0,b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為L，則當(dāng)1＜e≤時(shí)，可在雙曲線上求一點(diǎn)P，使得PF1是P到對應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項(xiàng). 6、P為雙曲線（a＞0,b＞0）上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且和在y軸同側(cè)時(shí)，等號成立. 7、雙曲線（a＞0,b＞0）與直線有公共點(diǎn)的充要條件是. 8、已知雙曲線（b＞a ＞0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)，且. （1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值為;（3）的最小值是. 9、過雙曲線（a＞0,b＞0）的右焦點(diǎn)F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則. 10、已知雙曲線（a＞0,b＞0）,A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn), 則或. 11、設(shè)P點(diǎn)是雙曲線（a＞0,b＞0）上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記，則(1).(2) . 12、設(shè)A、B是雙曲線（a＞0,b＞0）的長軸兩端點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，, ,，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1). (2) .(3) . 13、已知雙曲線（a＞0,b＞0）的右準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)，過雙曲線右焦點(diǎn)的直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線上，且軸，則直線AC經(jīng)過線段EF 的中點(diǎn). 14、過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直. 15、過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直. 16、雙曲線焦三角形中,外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率). (注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn)). 17、雙曲線焦三角形中,其焦點(diǎn)所對的旁心將外點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e. 18雙曲線焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到雙曲線中心的比例中項(xiàng). 拋物線的常用結(jié)論： ①頂點(diǎn). ②則焦點(diǎn)半徑;則焦點(diǎn)半徑為. ③通徑為2p，這是過焦點(diǎn)的所有弦中最短的. ④（或）的參數(shù)方程為（或）（為參數(shù)）. 圖形 焦點(diǎn) 準(zhǔn)線 范圍 對稱軸 軸 軸 頂點(diǎn) （0,0） 離心率 焦點(diǎn) 圓錐曲線的性質(zhì)對比 圓錐曲線 橢圓 雙曲線 拋物線 標(biāo)準(zhǔn)方程 (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 a>b>0 (x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 a>0,b>0 y^2=2px p>0 范圍 x∈[-a,a] 　　y∈[-b,b] x∈(-∞,-a]∪[a,+∞) 　y∈R x∈[0,+∞) y∈R 對稱性 關(guān)于x軸,y軸,原點(diǎn)對稱 關(guān)于x軸,y軸,原點(diǎn)對稱 關(guān)于x軸對稱 頂點(diǎn) (a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (a,0),(-a,0) (0,0) 焦點(diǎn) (c,0),(-c,0) 　　【其中c^2=a^2-b^2】 (c,0),(-c,0) 　　【其中c^2=a^2+b^2】 (p/2,0) 準(zhǔn)線 x=±(a^2)/c x=±(a^2)/c x=-p/2 漸近線 —————————— y=±(b/a)x ————— 離心率 e=c/a,e∈(0,1) e=c/a,e∈(1,+∞) e=1 焦半徑 ∣PF1∣=a+ex ∣PF2∣=a-ex ∣PF1∣=∣ex+a∣∣PF2∣=∣ex-a∣ ∣PF∣=x+p/2 焦準(zhǔn)距 p=(b^2)/c p=(b^2)/c p 通徑 (2b^2)/a (2b^2)/a 2p 參數(shù)方程 x=a·cosθ 　y=b·sinθ，θ為參數(shù) x=a·secθ 　　y=b·tanθ,θ為參數(shù) x=2pt^2 y=2pt,t為參數(shù) 過圓錐曲線上一點(diǎn) (x0·x/a^2)+(y0·y/b^2)=1 　(x0,y0)的切線方程 (x0x/a^2)-(y0·y/b^2)=1 y0·y=p(x+x0) 斜率為k的切線方程 y=kx±√[(a^2)·(k^2)+b^2] y=kx±√[(a^2)·(k^2)-b^2] y=kx+p/2k 內(nèi)部資料，請勿外傳 星海中學(xué)：勤奮、自律、和諧、創(chuàng)新 17