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圓周運動
一、考綱要求
1.掌握描述圓周運動的物理量及它們之間的關系
2.理解向心力公式并能應用；了解物體做離心運動的條件．
二、知識梳理
1.描述圓周運動的物理量
（1）線速度：描述物體圓周運動快慢的物理量．
v＝＝.
（2）角速度：描述物體繞圓心轉動快慢的物理量．
ω＝＝.
（3）周期和頻率：描述物體繞圓心轉動快慢的物理量．
T＝，T＝.
（4）向心加速度：描述速度方向變化快慢的物理量．
an＝rω2＝＝ωv＝r.
2.向心力
（1）作用效果：產生向心加速度，只改變速度的方向，不改變速度的大小．
（2）大?。篎＝m＝mω2r＝m＝mωv＝4π2mf2r
（3）方向：總是沿半徑方向指向圓心，時刻在改變，即向心力是一個變力．
（4）來源：向心力可以由一個力提供，也可以由幾個力的合力提供，還可以由一個力的分力提供．
3.勻速圓周運動與非勻速圓周運動
（1）勻速圓周運動
①定義：線速度大小不變的圓周運動 .
②性質：向心加速度大小不變，方向總是指向圓心的變加速曲線運動．
③質點做勻速圓周運動的條件
合力大小不變，方向始終與速度方向垂直且指向圓心．
（2）非勻速圓周運動
①定義：線速度大小、方向均發(fā)生變化的圓周運動．
②合力的作用
a.合力沿速度方向的分量Ft產生切向加速度，F(xiàn)t＝mat，它只改變速度的方向．
b.合力沿半徑方向的分量Fn產生向心加速度，F(xiàn)n＝man，它只改變速度的大小.
4.離心運動
（1）本質：做圓周運動的物體，由于本身的慣性，總有沿著圓周切
線方向飛出去的傾向．
（2）受力特點（如圖所示）
①當F＝mrω2時，物體做勻速圓周運動；
②當F＝0時，物體沿切線方向飛出；
③當F
mrω2時，物體逐漸向圓心靠近，做向心運動．
三、要點精析
1.圓周運動各物理量間的關系
2.對公式v＝ωr和a＝＝ω2r的理解
（1）由v＝ωr知，r一定時，v與ω成正比；ω一定時，v與r成正比；v一定時，ω與r成反比．
（2）由a＝＝ω2r知，在v一定時，a與r成反比；在ω一定時，a與r成正比．
3.常見的三種傳動方式及特點
（1）皮帶傳動：如圖甲、乙所示，皮帶與兩輪之間無相對滑動時，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB.
（2）摩擦傳動：如圖甲所示，兩輪邊緣接觸，接觸點無打滑現(xiàn)象時，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB.
（3）同軸傳動：如圖乙所示，兩輪固定在一起繞同一轉軸轉動，兩輪轉動的角速度大小相等，即ωA＝ωB.
4.向心力的來源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、彈力、摩擦力等各種力，也可以是幾個力的合力或某個力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一個向心力．
5.向心力的確定
（1）先確定圓周運動的軌道所在的平面，確定圓心的位置．
（2）再分析物體的受力情況，找出所有的力沿半徑方向指向圓心的合力就是向心力．
6.圓周運動中的臨界問題
臨界問題廣泛地存在于中學物理中，解答臨界問題的關鍵是準確判斷臨界狀態(tài)，再選擇相應的規(guī)律靈活求解，其解題步驟為：
（1）判斷臨界狀態(tài)：有些題目中有“剛好”“恰好”“正好”等字眼，明顯表明題述的過程存在著臨界點；若題目中有“取值范圍”“多長時間”“多大距離”等詞語，表明題述的過程存在著“起止點”，而這些起止點往往就是臨界狀態(tài)；若題目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明題述的過程存在著極值，這個極值點也往往是臨界狀態(tài)．
（2）確定臨界條件：判斷題述的過程存在臨界狀態(tài)之后，要通過分析弄清臨界狀態(tài)出現(xiàn)的條件，并以數(shù)學形式表達出來．
（3）選擇物理規(guī)律：當確定了物體運動的臨界狀態(tài)和臨界條件后，對于不同的運動過程或現(xiàn)象，要分別選擇相對應的物理規(guī)律，然后再列方程求解．
7.豎直平面內圓周運動的“輕繩、輕桿”
[模型概述]
在豎直平面內做圓周運動的物體，運動至軌道最高點時的受力情況可分為兩類．一是無支撐（如球與繩連接，沿內軌道的“過山車”等），稱為“輕繩模型”；二是有支撐（如球與桿連接，小球在彎管內運動等），稱為“輕桿模型”．
[模型條件]
（1）物體在豎直平面內做變速圓周運動．
（2）“輕繩模型”在軌道最高點無支撐，“輕桿模型”在軌道最高點有支撐．
[模型特點]
該類問題常有臨界問題，并伴有“最大”“最小”“剛好”等詞語，現(xiàn)對兩種模型分析比較如下：
?
繩模型
桿模型
常見類型
均是沒有支撐的小球
均是有支撐的小球
過最高點的臨界條件
由mg＝m得v臨＝
由小球恰能做圓周運動得v臨＝0
討論分析
（1）過最高點時，v≥，F(xiàn)N＋mg＝m，繩、圓軌道對球產生彈力FN（2）不能過最高點時，v<，在到達最高點前小球已經(jīng)脫離了圓軌道
（1）當v＝0時，F(xiàn)N＝mg，F(xiàn)N為支持力，沿半徑背離圓心（2）當0時，F(xiàn)N＋mg＝m，F(xiàn)N指向圓心并隨v的增大而增大
四、典型例題
1.質量為m的小球由輕繩a、b分別系于一輕質木架上的A和C點，繩長分別為la、lb，如圖所示，當輕桿繞軸BC以角速度ω勻速轉動時，小球在水平面內做勻速圓周運動，繩a在豎直方向，繩b在水平方向，當小球運動到圖示位置時，繩b被燒斷的同時輕桿停止轉動，則（? ）
A．小球仍在水平面內做勻速圓周運動
B．在繩b被燒斷瞬間，繩a中張力突然增大
C．若角速度ω較小，小球在垂直于平面ABC的豎直平面內擺動
D．繩b未被燒斷時，繩a的拉力大于mg，繩b的拉力為mω2lb
【答案】BC
【解析】根據(jù)題意，在繩b被燒斷之前，小球繞BC軸做勻速圓周運動，豎直方向上受力平衡，繩a的拉力等于mg，D錯誤；繩b被燒斷的同時輕桿停止轉動，此時小球具有垂直平面ABC向外的速度，小球將在垂直于平面ABC的平面內運動，若ω較大，則在該平面內做圓周運動，若ω較小，則在該平面內來回擺動，C正確，A錯誤；繩b被燒斷瞬間，繩a的拉力與重力的合力提供向心力，所以拉力大于小球的重力，繩a中的張力突然變大了，B正確．
2.下列關于勻速圓周運動的說法，正確的是（? ）
A．勻速圓周運動的速度大小保持不變，所以做勻速圓周運動的物體沒有加速度
B．做勻速圓周運動的物體，雖然速度大小不變，但方向時刻都在改變，所以必有加速度
C．做勻速圓周運動的物體，加速度的大小保持不變，所以是勻變速曲線運動
D．勻速圓周運動加速度的方向時刻都在改變，所以勻速圓周運動一定是變加速曲線運動
【答案】BD
【解析】速度和加速度都是矢量，做勻速圓周運動的物體，雖然速度大小不變，但方向時刻在改變，速度時刻發(fā)生變化，必然具有加速度．加速度大小雖然不變，但方向時刻在改變，所以勻速圓周運動是變加速曲線運動．故本題選B、D.
3.雨天野外騎車時，在自行車的后輪輪胎上常會粘附一些泥巴，行駛時感覺很“沉重”．如果將自行車后輪撐起，使后輪離開地面而懸空，然后用手勻速搖腳踏板，使后輪飛速轉動，泥巴就被甩下來．如圖所示，圖中a、b、c、d為后輪輪胎邊緣上的四個特殊位置，則（? ）
A．泥巴在圖中a、c位置的向心加速度大于b、d位置的向心加速度
B．泥巴在圖中的b、d位置時最容易被甩下來
C．泥巴在圖中的c位置時最容易被甩下來
D．泥巴在圖中的a位置時最容易被甩下來
【答案】C
【解析】當后輪勻速轉動時，由a＝Rω2知a、b、c、d四個位置的向心加速度大小相等，A錯誤．在角速度ω相同的情況下，泥巴在a點有Fa＋mg＝mω2R，在b、d兩點有Fb＝Fd＝mω2R，在c點有Fc－mg＝mω2R.所以泥巴與輪胎在c位置的相互作用力最大，最容易被甩下來，故B、D錯誤，C正確．
4.如圖所示，在雙人花樣滑冰運動中，有時會看到被男運動員拉著的女運動員離開地面在空中做圓錐擺運動的精彩場面，目測體重為G的女運動員做圓錐擺運動時和水平冰面的夾角約為30°，重力加速度為g，估算該女運動員（? ）
A．受到的拉力為G
B．受到的拉力為2G
C．向心加速度為g
D．向心加速度為2g
【答案】B
【解析】對女運動員受力分析，由牛頓第二定律得，水平方向FTcos 30°＝ma，豎直方向FTsin 30°－G＝0，解得FT＝2G，a＝g，A、C、D錯誤，B正確．
5.如圖所示，光滑水平面上，小球m在拉力F作用下做勻速圓周運動．若小球運動到P點時，拉力F發(fā)生變化，下列關于小球運動情況的說法正確的是（? ）
A．若拉力突然消失，小球將沿軌道Pa做離心運動
B．若拉力突然變小，小球將沿軌跡Pa做離心運動
C．若拉力突然變大，小球將沿軌跡Pb做離心運動
D．若拉力突然變小，小球將沿軌跡Pc運動
【答案】A
【解析】在水平面上，細繩的拉力提供m所需的向心力，當拉力消失，物體受力合為零，將沿切線方向做勻速直線運動，故A正確．當拉力減小時，將沿pb軌道做離心運動，故BD錯誤當拉力增大時，將沿pc軌道做近心運動，故C錯誤．故選：A．
6.（多選）如圖（a）所示，小球的初速度為v0，沿光滑斜面上滑，能上滑的最大高度為h.在圖（b）中，四個小球的初速度均為v0，在A中，小球沿一光滑軌道內側向上運動，軌道半徑大于h；在B中，小球沿一光滑軌道內側向上運動，軌道半徑小于h；在C中，小球沿一光滑軌道內側向上運動，軌道直徑等于h；在D中，小球固定在輕桿的下端，輕桿的長度為h的一半，小球隨輕桿繞O點向上轉動．則小球上升的高度能達到h的有???????????? （? ）
【答案】AD
【解析】A中，RA＞h，小球在軌道內側運動，當v＝0時，上升高度h＜RA，故不存在脫軌現(xiàn)象，A滿足題意；D中輕桿連著小球在豎直平面內運動，在最高點時有v＝0，此時小球恰好可到達最高點，D滿足題意；而B、C都存在脫軌現(xiàn)象，脫軌后最高點速度不為零，因此上升高度h′＜h，故應選A、D.
7.如圖所示，長為L的細繩一端固定，另一端系一質量為m的小球．給小球一個合適的初速度，小球便可在水平面內做勻速圓周運動，這樣就構成了一個圓錐擺，設細繩與豎直方向的夾角為θ.下列說法中正確的是?????????? （? ）
A．小球受重力、繩的拉力和向心力作用
B．小球做圓周運動的半徑為L
C．θ越大，小球運動的速度越大
D．θ越大，小球運動的周期越大
【答案】C
【解析】小球只受重力和繩的拉力作用，合力大小為F＝mgtan θ，半徑為R＝Lsin θ，A、B錯誤；小球做圓周運動的向心力是由重力和繩的拉力的合力提供的，則mgtan θ＝m，得到v＝sin θ，θ越大，小球運動的速度越大，C正確；周期T＝＝2π，θ越大，小球運動的周期越小，D錯誤．
8.如圖所示，足夠長的斜面上有a、b、c、d、e五個點，ab＝bc＝cd＝de，從a點水平拋出一個小球，初速度為v時，小球落在斜面上的b點，落在斜面上時的速度方向與斜面夾角為θ；不計空氣阻力，初速度為2v時（? ）
A．小球可能落在斜面上的c點與d點之間
B．小球一定落在斜面上的e點
C．小球落在斜面時的速度方向與斜面夾角大于θ
D．小球落在斜面時的速度方向與斜面夾角也為θ
【答案】BD
【解析】設ab＝bc＝cd＝de＝L0，斜面傾角為α，初速度為v時，小球落在斜面上的b點，則有L0cos α＝vt1，L0sin α＝.初速度為2v時，則有Lcos α＝2vt2，Lsin α＝，聯(lián)立解得L＝4L0，即小球一定落在斜面上的e點，選項B正確，A錯誤；由平拋運動規(guī)律可知，小球落在斜面時的速度方向與斜面夾角也為θ，選項C錯誤，D正確．
9.物體做圓周運動時所需的向心力F需由物體運動情況決定，合力提供的向心力F供由物體受力情況決定．若某時刻F需＝F供，則物體能做圓周運動；若F需>F供，物體將做離心運動；若F需v0，故繩中有張力．根據(jù)牛頓第二定律有FT＋mg＝m，代入數(shù)據(jù)得繩中張力FT＝3 N.
（3）因為v2
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