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第九章 求曲線（或直線）方程 解析幾何 求曲線（或直線）的方程 一、基礎知識： 1、求曲線（或直線）方程的思考方向大體有兩種，一個方向是題目中含幾何意義的條件較多（例如斜率，焦距，半軸長，半徑等），那么可以考慮利用幾何意義求出曲線方程中的要素的值，從而按定義確定方程；另一個方向是若題目中沒有明顯的幾何條件，主要依靠代數(shù)運算，那么就考慮先用待定系數(shù)法設出方程（未知的部分用字母代替），從而該方程便可參與題目中的運算，再利用題目條件求出參數(shù)的值，即可確定方程?？梢哉f兩個方向各有側重，一個傾向于幾何意義，另一個傾向于代數(shù)運算，下面將對兩個方向涉及到的知識進行詳細梳理 2、所學方程中字母的幾何意義 （1）直線：：斜率；：直線所過的定點 （2）圓：:圓心的坐標； 圓的半徑 （3）橢圓：：長軸長，焦半徑的和； 短軸長；：焦距 （4）雙曲線：：實軸長，焦半徑差的絕對值； 虛軸長；：焦距 注：在橢圓和雙曲線中，很多幾何性質(zhì)也圍繞著展開，通過這些條件也可以求出的值，從而確定曲線方程。例如（橢圓與雙曲線共有的）： 離心率：；通徑（焦點弦長的最小值）：等 （5）拋物線： 焦準距 3、待定系數(shù)法中方程的形式： （1）直線與曲線方程通式： ① 直線：， ② 圓： ③ 橢圓： 標準方程：（或，視焦點所在軸來決定） 橢圓方程通式： ④ 雙曲線： 標準方程：（或，視焦點所在軸決定） 雙曲線方程通式： ⑤ 拋物線： 標準方程：等 拋物線方程通式：， （2）曲線系方程：具有一類特征的曲線的集合，通常曲線方程中含有參數(shù)。曲線系方程的一大好處在于若根據(jù)題目條件設出合適的曲線系方程，則將問題轉化為利用條件求解參數(shù)，讓解題目標更為明確，曲線系方程也是待定系數(shù)法求方程的一種方法。常見的曲線系方程如下： ① 過相交直線的交點的直線系方程為： 即（其中為參數(shù)） ② 與直線平行的直線系方程為：（其中為參數(shù)） ③ 與直線垂直的直線系方程為：（其中為參數(shù)） ④ 過相交兩圓交點的圓系方程為： 即 ⑤ 若直線與圓有公共點，則過公共點的圓系方程為： 即 ⑥ 相同漸進線的雙曲線系方程：與雙曲線漸近線相同的雙曲線系方程為： 二、典型例題： 例1：已知橢圓的長軸長為4，若點是橢圓上任意一點，過原點的直線與橢圓相交于兩點，記直線的斜率分別為，且，則橢圓的方程為（ ） A. B. C. D. 思路：由已知可得，所以只需利用條件求出的值即可，設，，則。則，從而，由分子分母平方差的特點及在橢圓上聯(lián)想到點差法，得：，所以 即，所以橢圓方程為 答案：D 例2：橢圓的右焦點為，右頂點，上頂點分別為，且 （1）求橢圓的離心率 （2）若斜率為的直線過點，且交橢圓于兩點，，求直線的方程及橢圓的方程 解：（1）由橢圓方程可得： （2）由（1）可得橢圓方程為： ， 由已知可得，直線的方程為 聯(lián)立方程：，消去可得：，即： ，解得： 經(jīng)檢驗：當，滿足直線與橢圓有兩個交點，所以符合條件 橢圓方程為 例3：已知直線，橢圓， （1）若無論為何值，直線與橢圓均有公共點，試求的取值范圍及橢圓離心率關于的函數(shù)關系式 （2）當時，直線與橢圓相交于兩點，與軸交于點，若，求橢圓的方程 解：（1）由可知直線過定點 與恒有公共點 在橢圓上或橢圓內(nèi) 的范圍為 若，則 若，則 綜上所述： （2）由已知可得：， 設 聯(lián)立直線與橢圓方程可得： ，消去可得：，整理后可得： 可得： ，即，解得： 或（舍） 橢圓方程為 例4：過點，向橢圓引兩條切線，切點分別為，且為正三角形，則最大時橢圓的方程為（ ） A. B. C. D. 思路：由題意可知本題確定值的關鍵在于達到最大值時，的取值，那么需要得到關于的關系（等式或不等式），作出圖形可知，若為正三角形，則的斜率為，進而能夠得到的方程。以為例：，與橢圓方程聯(lián)立并消元可得到：，所以，則考慮利用均值不等式得到，等號成立條件為，再結合即可求出的值，從而確定橢圓方程 解：依圖可知： 的方程為： ，聯(lián)立方程： ，消去：，整理后可得： 與橢圓相切 即 由均值不等式可得： （等號成立條件為：） 的最大值為，此時 橢圓方程為： 答案：D 例5：已知點是橢圓的右焦點，是橢圓短軸的兩個端點，且是正三角形 （1）求橢圓的離心率 （2）直線與以為直徑的圓相切，并且被橢圓截得的弦長的最大值為，求橢圓的標準方程 解：（1）設橢圓標準方程為，焦距為，由是正三角形 可得：，因為 解得： （2）由（1）可得橢圓的方程為：， 設與橢圓的交點為 若斜率不存在，可得弦長 若斜率存在，設，聯(lián)立方程： ，整理可得： 與圓相切 ， 代入到上式可得： （等號成立條件：） 橢圓方程為： 例6：設橢圓的方程為，點為坐標原點，點的坐標為，點的坐標為，點在線段上，滿足，直線的斜率為 （1）求的離心率 （2）設點的坐標為，為線段的中點，點關于直線的對稱點的縱坐標為，求的方程 解（1）由在線段上和可得： （2）由（1）中，可設 由可得：，設的對稱點 依題意可得： 可解得： 橢圓方程為 例7：已知橢圓 的半焦距為，原點到經(jīng)過兩點的直線的距離為 （1）求橢圓的離心率 （2）如圖，是圓的一條直徑，若橢圓 經(jīng)過兩點，求橢圓的方程 解：（1）過的直線的方程為： ，由可得： （2）由（1）可得： 橢圓方程為： 由圓方程可得： 設 設，聯(lián)立方程： 消去可得：，整理后可得： 橢圓方程為： 例8：已知雙曲線的兩個焦點為，其中一條漸近線方程為，為雙曲線上一點，且滿足，若成等比數(shù)列，則雙曲線的方程為__________ 解：成等比數(shù)列 由漸近線方程可知：，不妨設在右支上 即 由中線定理可知： 即 由可知 雙曲線方程為： 答案： 小煉有話說： 中線定理：已知為中底邊的中線，則有，證明如下：在中，由余弦定理可知： ① 同理，在中，有： ② 且由是中點可知： 可得： ，即 例9：（2014，福建）已知雙曲線的兩條漸近線分別為， （1）求雙曲線的離心率 （2）如圖，為坐標原點，動直線分別交直線于兩點（分別在第一、四象限），且的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線有且只有一個公共點的雙曲線？若存在，求出雙曲線的方程；若不存在請說明理由 解：（1）由雙曲線方程可知，漸近線方程為 （2）若直線不與軸垂直，設 聯(lián)立方程： ，同理可得 設直線與軸交于 即 由直線與漸近線的交點分別在第一、四象限可知： 由（1）可得雙曲線方程為： 聯(lián)立與雙曲線方程： 因為與雙曲線相切 整理可得： 所以 雙曲線方程為： 存在一個總與相切的雙曲線，其方程為 例10：已知分別為曲線與軸的左，右兩個交點，直線過點且與軸垂直，為上異于點的點，且在第一象限，連結與曲線交于點 （1）若曲線為圓，且，求弦的長 （2）設是以為直徑的圓與線段的交點，若三點共線，求曲線的方程 解：（1）若曲線為圓，則可知 的方程： （2）由已知可得：，設直線 聯(lián)立直線與橢圓方程可得：，整理后可得： 可知該方程的兩根為：，由韋達定理可得： ，即 共線，且為圓的直徑 ，即解得： 曲線的方程：