題型五 二次函數與幾何圖形綜合題.doc
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目錄 題型五 二次函數與幾何圖形綜合題 2 類型一 與特殊三角形形狀有關 .2 類型二 與特殊四邊形形狀有關 .8 類型三 與三角形相似有關 .18 類型四 與圖形面積函數關系式、最值有關 .23 類型五 與線段、周長最值有關 .29 題型五 二次函數與幾何圖形綜合題 類型一 與特殊三角形形狀有關 針對演練 1. (16 原創(chuàng))如圖,已知拋物線 y=-x2+bx+c 的對稱軸為 x=1,與 y 軸的交點第 1 題 圖 C 為( 0,3) ,與 x 軸交于點 A、B,頂點為 D. (1)求拋物線的解析式; (2)求 A、B、D 的坐標,并確定四邊形 ABDC 的面積; (3)點 P 是 x 軸上的動點,連接 CP,若CBP 是等腰三角形,求點 P 的坐標. 2. (15 長沙模擬)如圖,拋物線 y=ax2+bx+c 的圖象過點 M(-2, ) ,頂點為3 N(-1, ) ,與 x 軸交于點 A、B (點 A 在點 B 的右側) ,與 y 軸交于點 C.43 (1)求拋物線解析式; (2)判斷ABC 的形狀,并說明理由; (3)若點 Q 是拋物線對稱軸上一點,當QBC 是直角三角形時,求點 Q 的坐 標. 3. (16 原創(chuàng))如圖,拋物線 y = - x2+mx+n 與 x 軸交于點 A、B 兩點,與 y 軸1 交于點 C,其對稱軸與 x 軸的交點為 D,已知 A(-1,0) ,C(0,2). (1)求拋物線的解析式; (2)判斷ACD 的形狀,并說明理由; (3)在拋物線對稱軸上是否存在一點 P,使得 PBC 是以 P 為直角頂點的直 角三角形,若存在,求點 P 的坐標;若不存在,說明理由 . 4. 如圖,已知二次函數 L1:y=x2-4x+3 與 x 軸交于 A、B 兩點(點 A 在點 B 的左 邊) ,與 y 軸交于點 C. (1)寫出 A、B 兩點的坐標; (2)二次函數 L2:y=kx2-4kx+3k(k0),頂點為 P. 直接寫出二次函數 L2 與二次函數 L1 有關圖象的兩條相同的性質; 是否存在實數 k,使 ABP 為等邊三角形?如果存在,請求出 k 的值;如不 存在,請說明理由; 若直線 y=8k 與拋物線 L2 交于 E、F 兩點,問線段 EF 的長度是否會發(fā)生變化? 如果不會,請求出 EF 的長度;如果會,請說明理由. 答案 1. 解:(1)拋物線 y =-x2+bx+c 的對稱軸為 ,12bx 解得 b=2, 拋物線過點 C(0,3) ,c=3 , 拋物線解析式為 y=-x2+2x+3; (2)由拋物線 y=-x2+2x+3,令 y =0 得,-x 2+2x+3=0, 解得 x1=-1,x2=3,點 A(-1,0 ) ,點 B(3,0) , 當 x=1 時,y=-1 2+2+3=4,點 D 的坐標為(1,4). 如解圖,過 D 作 DMAB 于 M,則 OM =1,DM =4, S 四邊形 ABDC =SAOC +S 四邊形 OMDC+SBMD = AOOC + (OC+ MD)OM + BMDM1212 = 13+ (3+4 )1+ 42 =9. (3)設點 P 的坐標為(t,0) ,則 PC 2=t 2+32,PB 2=(3-t)2, BC 2=32+32=18, 若PBC 是等腰三角形, 則有PC 2=PB 2,即 t 2+9=(3-t)2,解得 t =0,此時點 P 的坐標為(0,0) ; PC 2=BC 2,則 t 2+9=18,解得 t =3(舍)或 t =-3,此時點 P 的坐標為(-3,0) ; PB 2=BC 2 則(3-t) 2=18,解得 t =3+ 或 t =3- ,32 此時點 P 的坐標為(3+ ,0)或(3- ,0). 2. 解:(1)由拋物線的頂點為 N(-1, ) ,故設拋物線的頂點式為 y=a(x+1)43 2+ ,43 將點 M(-2, )代入解析式得, a(-2+1)2+ =3,43 解得 a = , 拋物線的解析式為 y = - (x+1)2+ .343 即 y= x2 x + .3 (2)對于拋物線 y= x2- x + ,令 y = 0,33 得 x2- x + =0,3 解得 x1=1,x2=-3, 點 A(1,0) ,點 B(-3,0) , 令拋物線 x=0,得 y= ,3 點 C 的坐標為(0, ). AB 2=42=16,AC 2=12+( )2=4,BC 2=32+( )2=12,3 AB 2=AC 2+BC 2, ABC 是直角三角形. (3)由拋物線頂點 N(-1, )知拋物線的對稱軸為 x =-1,43 設點 Q 的坐標為(-1,t) , 則 BQ 2=(-3+1)2+t 2=4+t 2,CQ 2=(-1)2+(t- )2=t 2- t+4,BC 2=12.3 要使BQC 是直角三角形, () 當BQC 90,則 BQ 2+QC 2=BC 2, 即 4+t 2+t 2- t+4=12,3 解得 t1= + ,t2= - ,此時點 Q 的坐標為(-1, + )或(-1,3321 - ) ;32 ()當QBC90 ,則 BQ 2+BC 2=QC 2, 即 4+t 2+12=t 2- t+4,解得 t=- ,此時點 Q 的坐標為(-1,- ) ;3323 ()當BCQ = 90時,則 QC 2+BC 2=BQ 2, 即 t 2- t+4+12=4+t 2,解得 t = ,此時點 Q 的坐標為(-1, ). 綜上,當QBC 是直角三角形時,點 Q 坐標為( -1, ) , (-312 1, )23 3. 解:(1)點 A(-1,0) ,C(0,2)在拋物線上, ,解得02mn 32n 拋物線解析式為 y=- x2+ x+2;1 (2)ACD 是等腰三角形. 理由:拋物線 y=- x2+ x+2 的對稱軸為直線 x = ,332 點 D( ,0) ,3 A(-1,0) , C(0,2) , AC = , AD =1+ = ,CD = ,5325235() AD=CD AC, ACD 是等腰三角形; (3)令拋物線 y=- x2+ x+2=0,得 x1=-1,x2=4,13 點 B 的坐標為(4,0) ,則 BC = ,5 取 BC 的中點為 S,則點 S 的坐標為(2,1) ; 設點 P( ,t) ,32 則 PS = BC = ,即(2- )2+(t-1)2=5,153 解得 t1=1+ ,t2=1- ,91 存在這樣的點 P,其坐標為( ,1+ )或( ,1- ).32193219 4. 解:(1)當 y=0 時,x 2-4x+3=0, x 1=1,x 2=3, 即:A(1,0),B(3,0); (2) 二次函數 L2 與 L1 有關圖象的兩條相同的性質: ()對稱軸都為直線 x=2 或頂點的橫坐標都為 2; ()都經過 A(1,0),B(3,0)兩點; 存在實數 k,使ABP 為等邊三角形. y=kx 2-4kx+3k=k(x -2) 2-k, 頂點 P(2,- k). A(1,0),B(3,0) ,AB = 2, 要使ABP 為等邊三角形,必滿足|-k|=3,k=3; 線段 EF 的長度不會發(fā)生變化. 直線 y=8k 與拋物線 L2 交于點 E、F 兩點, kx 2-4kx+3k=8k, k0, x 2-4x+3=8, x 1=-1,x 2=5, EF =x 2-x1=6, 線段 EF 的長度不會發(fā)生變化且 EF6. 類型二 與特殊四邊形形狀有關 針對演練 1. 拋物線 y=x2+bx+c 經過 A(0,2) ,B(3,2)兩點,點 D 在 x 軸的正半軸. (1)求拋物線與 x 軸的交點坐標; (2)若點 C 為拋物線與 x 軸的交點,是否存在點 D,使 A、B 、C、D 四點圍 成的四邊形是平行四邊形?若存在,求點 D 的坐標;若不存在,說明理由 . 2. 如圖,已知平面直角坐標系 xOy 中,O 是坐標原點,拋物線 y=- x2+bx+c(c0)的頂點 D 在第二象限,與 y 軸的交點為 C,過點 C 作 CAx 軸交拋物線于點 A,在 AC 延長線上取點 B,使 AC =2BC,連接 OA,OB ,BD 和 AD. (1)若點 A 的坐標為(-4,4) ,求拋物線的解析式; (2)在(1)的條件下,求直線 BD 的解析式; (3)是否存在 b、c 使得四邊形 AOBD 是矩形,若存在,直接寫出 b 與 c 的關 系式;若不存在,說明理由. 3. 如圖,已知直線 y = x+8 與 x 軸交于點 A,與 y 軸交于點 B,C 是線段 AB43 的中點,拋物線 y=ax2+bx+c(a0)過 O、A 兩點,且其頂點的縱坐標為 .43 (1)分別寫出 A、B、C 三點的坐標; (2)求拋物線的函數解析式; (3)在拋物線上是否存在點 P,使得以 O、P 、B、C 為頂點的四邊形是菱形?若 存在,求所有滿足條件的點 P 的坐標;若不存在,請說明理由 . 4. (15 畢節(jié) 16 分)如圖,拋物線 yx 2+bx+c 與 x 軸交于 A(-1,0) , B(3,0)兩點,頂點 M 關于 x 軸的對稱點是 M.第 4 題圖 (1)求拋物線的解析式; (2)若直線 AM與此拋物線的另一個交點為 C,求 CAB 的面積; (3)是否存在過 A、B 兩點的拋物線,其頂點 P 關于 x 軸的對稱點為 Q,使得 四邊形 APBQ 為正方形?若存在,求出此拋物線的解析式; 若不存在,請說明理 由. 5. (15 黃岡 14 分)如圖,在矩形 OABC 中,OA5,AB4,點 D 為邊 AB 上一 點,將BCD 沿直線 CD 折疊,使點 B 恰好落在 OA 邊上的點 E 處,分別以 OC,OA 所在的直線為 x 軸,y 軸建立平面直角坐標系. (1)求 OE 的長; (2)求經過 O,D,C 三點的拋物線的解析式; (3)一動點 P 從點 C 出發(fā),沿 CB 以每秒 2 個單位長的速度向點 B 運動,同 時動點 Q 從 E 點出發(fā),沿 EC 以每秒 1 個單位長的速度向點 C 運動,當點 P 到 達點 B 時,兩點同時停止運動.設運動時間為 t 秒,當 t 為何值時,DP =DQ; (4)若點 N 在(2)中的拋物線的對稱軸上,點 M 在拋物線上,是否存在這樣 的點 M 與點 N,使得以 M,N,C,E 為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在, 請求出 M 點的坐標;若不存在,請說明理由. 答案 1. 解:( 1)把 A(0,2),B(3,2)代入 y=x2+bx+c,得 ,解得 ,293cb3bc 拋物線的解析式為:y =x2-3x+2, 當 y =0 時,x 2-3x+2=0,解得 x1=1,x 2=2, 拋物線與 x 軸的交點坐標為 (1,0)、(2,0). (2)存在. 理由:A(0 ,2),B(3, 2), ABx 軸,且 AB =3, 要使 A、B 、C、D 四點為頂點的四邊形是平行四邊形, 則只要 CD =AB =3. 當 C 點坐標為(1,0)時,D 坐標為(4,0) ; 當 C 點坐標為(2,0)時,D 坐標為(5,0). 存在點 D,使以 A,B , C,D 四點為頂點的四邊形是平行四邊形,D 點的坐 標為(4,0)或(5,0). 2. 解:(1)CAx 軸,點 A 的坐標為(-4,4 ) , 點 C 的坐標為(0,4) , 將點 A 與點 C 代入 y=-x2+bx+c 得 ,解得 ,164bc4b 拋物線的解析式為 y=-x2-4x+4; (2)AC =2BC,BC =2, 點 B 的坐標為(2,4) , 由拋物線 y=-x2-4x+4 得頂點 D 的坐標為(-2,8) , 設直線 BD 的解析式為 y=kx+m, 則 ,解得 ,824km16k 直線 BD 的解析式為 y =-x+6. (3)存在,b 與 c 的關系式為 b=- c.2 【解法提示】點 C 的坐標為(0,c) ,拋物線的對稱軸為 x = 0,即2b b0,ACx 軸, 點 A 的坐標為(b,c ) , AC=2 BC, 點 B 的坐標為( - ,c) ,2b 則 AB 的中點坐標為( ,c) ,4 若四邊形 AOBD 是矩形, 則需OD 的中點坐標為( ,c) ;OD= AB,b 由得點 D 的坐標為( ,2c) ,4 由得( )2=( )2+(2c)2,整理得 2c2=b2,3b c0,b 0, b=- c.2 3. 解:(1)令 y=0,即- x+8=0,得 x=6,A 點坐標為(6,0) ,43 令 x=0,則 y=8,B 點坐標為(0,8) , C 點坐標為(3,4). (2)點 C 在拋物線的對稱軸上, 拋物線頂點坐標為(3,- ).43 依題意有 ,解得 , 036493cab27890abc 拋物線的函數解析式為 ;2879yx (3)存在. AOB90,A(6,0) 、B(0,8) , ,2261BO C 是 AB 的中點, OC = AB=BC=5,12 OB=8, OB OC,且 OBBC, 當以 O、P、B 、C 為頂點的四邊形是菱形時,OB 是菱形的對角線, 連接 PC,則 OB 是 PC 的垂直平分線, 點 P 與點 C 關于 y 軸對稱, C( 3,4) , P(-3,4) , 把點 P(-3 , 4)代入拋物線解析式 得:24879yx 當 x-3 時,y (-3) 2- (-3)4,789 點 P(-3 , 4)在拋物線上 . 故在拋物線上存在點 P,使以 O、P、B、C 為頂點的四邊形是菱形,且點 P 的 坐標是(-3 ,4). 4. 解:(1)拋物線與 x 軸交于點 A(-1,0 ) ,B(3,0), 拋物線的解析式為 y( x+1)(x-3) x 2-2x-3;(4 分) (2)拋物線 yx 2-2x-3=(x-1)2-4, 點 M 的坐標為(1,-4 ). 點 M 與點 M關于 x 軸對稱, 點 M的坐標為(1,4) ,(6 分) 設直線 AM的解析式為 y=kx+m, 將點 A(-1,0 ) ,點 M(1,4)代入得, ,解得 ,04km2k 直線 AM的解析式為 y 2x+2,(8 分) 將直線 AM與拋物線 yx 2-2x-3 聯立得 ,解得 ,23yx10251y 點 C 的坐標為(5,12) ,(10 分) 又AB =3-( -1)4, S CAB = 41224. (12 分)12 (3)四邊形 APBQ 是正方形, PQ 垂直且平分 AB,且 PQ=AB, 設 PQ 與 x 軸交點為 N,則 PN = AB2,12 拋物線的對稱軸為 x 1, 點 P 的坐標為(1,2)或(1,-2). (13 分) 設過 A、B 兩點的拋物線的解析式為 y=a(x+1)(x-3), 將點(1,2)代入得 a =- ,12 此時拋物線解析式為 y =- (x+1)(x-3)=- x2+x + ;(15 分)13 將點(1,-2 )代入得 a = , 此時拋物線解析式為 .(16 分)21()32yxx 5. 解:(1)四邊形 OABC 為矩形, BCOA5,OCAB4,COA90, 又CED 是BCD 沿直線 CD 折疊得到的,點 B 的對應點為 點 E, CEBC5, 在 Rt COE 中,OE 2CE 2-OC 2, OE ,24 OE 3. (2 分) (2)設 AD =m, 則 DE=BD=4-m.OE 3, AEOA- OE5-3 2. 在 Rt ADE 中,AD 2+AE 2=DE 2,即 m 2+22=(4-m)2, m ,32 D(- ,-5). (4 分) 又C (-4,0) ,O(0,0) , 設過 O,D,C 三點的拋物線的解析式為 y=ax(x+4), -5 - a(- +4) ,32 a ,4 經過 O,D,C 三點的拋物線的解析式為 y= x2+ x. (6 分)4316 (3)由于運動時間為 t 秒,則 EQt,CP2t, 如解圖,BCD 沿直線 CD 折疊得到ECD, BD DE, 若 DP DQ, 則 Rt PBD RtQED(HL), PBQE,即 CB-CPEQ. 5-2tt, 解得 t .(8 分)53 (4) ()如解圖,當 M 點在對稱軸右側,即為 M1 點, M1NCE 且 M1N =CE 時,四邊形 ECNM 1 為平行四邊形, 過 M 1 作 M 1F 垂直對稱軸于點 F,則M 1FN COE, FM 1OC ,對稱軸為直線 x-2 , 此時,點 M 1 的橫坐標為 2, 對于 y = x2+ x,當 x2 時,y=16,436 點 M 1 的坐標為(2,16). (10 分) ()如解圖 ,當 M 點在對稱軸左側,即為 M 2, M 2NCE 且 M 2N =CE 時, 四邊形 ECM 2N 為平行四邊形,過 M 2 作 M 2F 垂直對稱軸于點 F,則M 2FN COE, FM 2OC , 對稱軸直線 x-2, 此時,點 M 2 的橫坐標為-6. 對于 y = x2+ x,當 x-6 時,y=16 ,4316 點 M 2 的坐標為(-6 ,16). (12 分) ()如解圖,當 M 點在拋物線的頂點上,即為 點 M 3,CN M 3E 且 CN = M 3E 時,四邊形 EM 3CN 為平行四邊形,CE 與 NM 3 相 交于點 O,則 O為線段 CE 的中點, 又點 M 3 在對稱軸上,則 M 3 的橫坐標為-2, 對于 y = x2+ x,當 x-2 時,y=- ,41616 點 M 3 的坐標為(-2 ,- ). 綜上所述,當點 M 的坐標為(2,16) 、 (-6,16) 、 (-2,- )時,以163 M,N,C,E 為頂點的四邊形為平行四邊形. (14 分) 類型三 與三角形相似有關 針對演練 1. (15 黔南州 12 分)如圖,在平面直角坐標系 xOy 中,拋物線 y=- x2+bx+c16 過點 A(0,4)和 C(8,0),P(t,0)是 x 軸正半軸上的一個動點,M 是線段 AP 的中點, 將線段 MP 繞點 P 順時針旋轉 90得線段 PB.過點 B 作 x 軸的垂線,過點 A 作 y 軸的垂線,兩直線相交于點 D. (1)求 b、c 的值; (2)當 t 為何值時,點 D 落在拋物線上; (3)是否存在 t,使得以 A、B 、D 為頂點的三角形與 AOP 相似?若存在,求此 時 t 的值;若不存在,請說明理由. 2. (15 常德模擬)已知拋物線 y =ax2-2x+c 與 x 軸交于 A(-1,0) 、B 兩點, 與 y 軸交于點 C,對稱軸為 x =1,頂點為 E,直線 y =- x+1 交 y 軸于點 D.13 (1)求拋物線的解析式; (2)求證:BCEBOD; (3)點 P 是拋物線上的一動點,當點 P 運動到什么位置時,BDP 的面積等 于BOE 的面積? 答案 解:(1)由拋物線 y =- x2+bx+c 過點 A(0,4)和 C(8,0)可得,16 ,解得 4680cbc5bc 故 b 的值為 ,c 的值為 4;(3 分)5 (2)AOP PEB90 ,OAP EPB90-APO, AOP PEB,則 ,2OAPEB AO =4,P(t,0), PE =2,OE =OP +PE = t+2, 又DE =OA =4, 點 D 的坐標為(t+2,4), 點 D 落在拋物線上時,有- (t+2)2+ (t+2)+4=4,165 解得 t=3 或 t=-2, t0, t=3. 故當 t 為 3 時,點 D 落在拋物線上;(6 分) (3)存在,理由: 由(2)知AOP PEB, 則 ,2OPABE P(t,0),即 OPt. BE .2 當 0t8 時, 若POA ADB,則 ,OPADB 即 ,412tt 整理得 t 2+16=0, t 無解; 若POA BDA,則 ,即 ,POABD412t 解得 t1= -2+ 或 t2= -2- (舍去);55 當 t8 時,如解圖. 若POA ADB,則 ,POADB 即 ,412t 解得 t1= 8+ 或 t2= 8- (負值舍去);55 若POA BDA,同理可得 t 無解. 綜上可知,當 t =-2+ 或 8+ 時,以 A、B 、D 為頂點的三角形與AOP4 相似. (12 分) 2. 解:(1)由拋物線 y=ax2-2x+c 得,對稱軸 ,a =1,21bx 將點 A(-1 , 0)及 a1,代入 y=ax2-2x+c 中,得 1+2+c=0,c =-3, 拋物線的解析式:y =x2-2x-3; (2)由拋物線的解析式 y =x2-2x-3=(x-1)2-4 =(x+1)(x-3),得點 C(0,-3) 、 B(3,0) 、E(1,-4 ). 易知點 D(0,1) ,則有: OD 1,OB 3,BD ,CE ,BC ,BE ,102325 ,ODBCE BCEBOD ; (3)S BOE = BO|yE|= 346,12 S BDP BDh=SBOE 6,即 h = ,120 在 y 軸上取點 M,過點 M 作 MN 1BD 于 N 1,使得 MN 1=h= ,20 在 Rt MN 1D 中,sin MDN 1sinBDO ,3OBD 且 MN 1 ;20 則 MD =4;1sinMND 點 M(0,-3 )或(0,5). 過點 M 作直線 lMN 2,如解圖, 則直線 l:y =- x-3 或 y=- x+5.13 聯立拋物線的解析式有: 或 ,2 13yx2153yx 解得: , 或 ,103xy 25935681y468531xy 當點 P 的坐標為( 0,-3) , ( , ) , ( , ) , (3296 , )時,BDP 的面積等于BOE 的面積.53168531 類型四 與圖形面積函數關系式、最值有關 針對演練 1.(15 安順 26 題 14 分)如圖,拋物線 y=ax2+bx+ 與直線 AB 交于點 A(-1,0),52 B(4,52).點 D 是拋物線 A,B 兩點間部分上的一個動點(不與點 A,B 重合) ,直線 CD 與 y 軸平行,交直線 AB 于點 C,連接 AD,BD. (1)求拋物線的解析式; (2)設點 D 的橫坐標為 m,ADB 的面積為 S,求 S 關于 m 的函數關系式, 并求出當 S 取最大值時的點 C 的坐標. 2. (15 岳陽模擬)如圖,拋物線 y=-x2+bx+c 與 x 軸交于 A(1,0) ,B(- 3,0)兩點 (1)求該拋物線的解析式; (2)設(1)中的拋物線交 y 軸于 C 點,在該拋物線的對稱軸上是否存在點 Q,使得QAC 的周長最?。咳舸嬖?,求出 Q 點的坐標;若不存在,請說明理 由; (3)在(1)中的拋物線上的第二象限上是否存在一點 P,使PBC 的面積最 大?若存在,求出點 P 的坐標及PBC 的面積最大值;若沒有,請說明理由 3. (15 永州模擬)如圖,已知平面直角坐標系 xOy 中,拋物線 y=ax2+bx+c 的 對稱軸為 x=0,點 A(m ,6) ,B(n,1)為兩動點,其中 0m3,連接 OA,OB,OAOB (1)求證:mn=-6; (2)當 SAOB =10 時,拋物線經過 A,B 兩點且以 y 軸為對稱軸,求拋物線對 應的二次函數的關系式; (3)在(2)的條件下,設直線 AB 交 y 軸于點 F,過點 F 作直線 l 交拋物線于 P,Q 兩點,問是否存在直線 l,使 SPOF S QOF =13?若存在,求出直線 l 對應的函數關系式;若不存在,請說明理由. 答案 1.解:(1)由題意得 ,(2 分) 502164ab 解得 ,(4 分) 12ab .(6 分)215yx (2)設直線 AB 為 ,則有 ,ykxb0542kb 解得 ,(7 12kb 分) 直線 AB 的解析式為 .(8 分)12yx 則 ,(9 分)215(,),()DmCm 2151()()2CDm .(10 分)3 (1)(4)ACDBSCDm 2153()m . (11 分)2154 0,5 拋物線開口向下 故當 m 時,S 有最大值. (12 分)32 當 m 時, ,131524 點 C( , ).54 當 S 取最大值時的點 C 坐標為( , ).(14 分) 2. 解:(1)將 A(1,0) ,B(-3,0)代入 y=-x2+bx+c 中, 得 , ,93bc23b 拋物線解析式為:y=-x 2-2x+3; (2)存在. 理由如下:由題意知 A、B 兩點關于拋物線的對稱軸 x=-1 對稱, 直線 BC 與 x=-1 的交點即為 Q 點,此時AQC 的周長最 小, y-x 2-2x+3, C 的坐標為(0,3) , 直線 BC 的解析式為 y=x+3. 將 x=-1 代入 y=x+3 中,解得 y=2, Q(-1,2). (3)存在. 理由如下: B(-3,0),C(0,3) , 水平寬 a =xC-xB =0-(-3)=3. 設點 P(x ,-x2-2x+3)(-3x0), 過 P 點作 PEx 軸交 x 軸于點 E,交 BC 于點 F,則 F 點坐標為(x,x +3) , 鉛垂高 h=yP-yF-x 2-2x+3-(x+3)=-x2-3x, S = ah= (-x2-3x)=- (x2+3x+ - )1394 =- (x+ ) 2+ ,78 當 x=- 時,BPC 的面積最大,最大為 ,278 當 x=- 時,-x 2-2x+3 = ,3154 點 P 的坐標為(- , ).3 3. (1)證明:作 BCx 軸于點 C,ADx 軸于點 D, A,B 點坐標分別為(m,6),(n,1), BC=1, OC=-n,OD=m,AD=6, 又 OA OB, 易證CBODOA, ,CBODA ,16nm mn=-6. (2)解:由(1)知,CBODOA, ,即 OAmBO,1OBCAD 又S AOB 10, OBOA10,即 OBOA20,32 mBO 2=20, 又 OB 2=BC 2+OC 2=n2+1, m(n 2+1)=20, 又mn=-6, m=2,n=-3, A 坐標為(2,6) ,B 坐標為(-3,1) , 易得拋物線解析式為 y=-x2+10. (3)解:存在. 理由如下: 直線 AB 的解析式為 y=x+4,且與 y 軸交于點 F(0,4) , OF 4, 假設存在直線 l 交拋物線于 P,Q 兩點,使 SPOF SQOF =13,如解圖所示, 則有 PFFQ =13,作 PMy 軸于點 M,QN y 軸 于點 N, 設 P 坐標為(x ,-x2+10) ,PM - x,OM -x 2+10, 則 FM =OM-OF=(-x2+10)-4=-x2+6, 易證PMF QNF, ,13MFQN QN 3PM =-3x,NF =3MF =-3 x2+18, ON =NF OF =-3x 2+18-4=-3x2+14, Q 點坐標為(-3x ,3x2-14), Q 點在拋物線 y=-x2+10 上, 3x 2-14=-9x2+10, 解得:x 1= ,x2=- , P 1( ,8),Q 1(-3 ,-8), P 2(- ,8),Q 2(3 ,-8) 易得直線 PQ 的函數關系式為 y=2 x+4 或 y=-2 x+4.22 類型五 與線段、周長最值有關 針對演練 1. 如圖 ,已知拋物線 y=ax2+bx+c 與 x 軸交于 O、B 兩點,其中 O 為原點,且 OB=6, 拋物線的頂點為 A,若點 M(1, )是拋物線上一點 09 (1)求拋物線的解析式; (2)若 N 為拋物線對稱軸上一個動點,當 NO +NM 的值最小時 ,求點 N 的坐標. 2. (15 棗莊 10 分)如圖,直線 yx+2 與拋物線 yax 2+bx+6(a0)相交于 A( , )和 B(4,m)兩點,點 P 是線段 AB 上異于 A,B 的動點,過點 P125 作 PCx 軸于點 D,交拋物線于點 C. (1)求拋物線的解析式; (2)是否存在這樣的點 P,使線段 PC 的長有最大值?若存在,求出這個最大 值;若不存在,請說明理由; (3)當PAC 為直角三角形時,求點 P 的坐標. 3. (15 沈陽 14 分)如圖,在平面直角坐標系中,拋物線 與243yx x 軸交于 B、C 兩點( 點 B 在點 C 的左側) ,與 y 軸交于點 A,拋物線的頂點為 D. (1)填空:點 A 的坐標為(_,_),點 B 的坐標為 (_,_), 點 C 的坐標為 (_, _),點 D 的坐標為 (_,_); (2)點 P 是線段 BC 上的動點( 點 P 不與點 B、C 重合 ). 過點 P 作 x 軸的垂線交拋物線于點 E,若 PE=PC,求點 E 的坐標; 在的條件下,點 F 是坐標軸上的點,且點 F 到 EA 和 ED 的距離相等,請 直接寫出線段 EF 的長; 若點 Q 是線段 AB 上的動點 (點 Q 不與點 A、B 重合),點 R 是線段 AC 上的動 點(點 R 不與點 A、C 重合),請直接寫出PQR 周長的最小值. 溫馨提示:可以根據題意,在備用圖中補充圖形,以便作答. 答案 解:(1)由對稱性得拋物線與 x 軸的交點為 O(0,0) ,B(6,0), 設拋物線的解析式為 y=a(x-0)(x-6), M(1, )是拋物線上一點,209 =a1(-5),a=- ,49 拋物線的解析式為 y=- x2+ x.83 (2)拋物線對稱軸為:x =3,點 O、B 關于對稱軸對稱, 連接 MB 交對稱軸于 N,如解圖,這時 NO +NM 的值最小. 設 MB 的解析式為: y=k1x+b1, 將 B(6,0) ,M (1, )代入 MB 的解析式中,209 得 ,解得 , 1062=9kb14-983k 易得直線 MB 的解析式為 ,4-9yx 當 x=3 時,y = ,43 N(3, ). 2.解:(1)B(4, m)在直線 y=x+2 上, m=4+2=6, B(4,6), 點 A( , ),B(4,6)在拋物線 y=ax2+bx+6 上,125 ,解得 ,2)64ba 8ab 拋物線的解析式為 y=2x2-8x+6. (3 分) (2)設動點 P 的坐標為( n,n+2) ,則點 C 的坐標為 (n,2n 2-8n+6), PC =(n+2)-(2 n2-8n+6) =-2n2+9n-4 =-2(n- )2+ .948 當 n= 時,線段 PC 取得最大值 .498 存在這樣的點 P,使線段 PC 的長有最大值,PC 最大值為 .(6498 分) (3)如解圖,顯然, APC 90, 當PAC=90時,直線 AB 的解析式為 y=x+2, 設直線 AC 的解析式為 y=-x+b, 把 A( , )代入得 - +b,解得 b=3.12521 直線 AC 的解析式為 y=-x+3. 由-x+3=2 x2-8x+6, 解得 x = 3 或 x = (舍去) ,1 當 x=3 時,x+2=3+2=5,此時,點 P 坐標為 P 1(3,5);(8 分) 當PCA=90時,如解圖 ,由 A( , )知,點 C 的縱坐標25 為 y= .52 由 2x2-8x+6= ,得 x1 (舍去) ,x 2= ,27 當 x= 時,x+2= +2= .7 此時,點 P 坐標為 P 2( , ).7 綜上所述,滿足條件的點 P 有兩個,分別為 P 1(3,5),P 2( , ). (10 分)71 3. 解:(1)A(0,2),B(-3,0),C(1,0) ,D(-1, )83 【解法提示】拋物線 與 x 軸交于 B、C 兩點,243yx ,解得 x1=-3,x2 =1,點 B 在點 C 的左側,B(-3,0),C(1,0),2403x 又拋物線與 y 軸交于點 A,當 x=0 時,y=2 ,A (0,2). ,且當 x=-1 時, .頂點 D 的12()3ba 248(1)()33 坐標為(-1 , ).8 (2)設點 P 的坐標為(n,0) ,-3n1. EPx 軸,點 E 在拋物線上, 點 E 的坐標為(n, ) ,243 又PE =PC, ,2413nn n 1=- ,n2=1(不符合題意,舍去), 當 n=- 時, ,32245()()23 E(- , ),(7 分)5 或 . (10 分)32 【解法提示】如解圖,設直線 DE 與 x 軸交于 M,與 y 軸交于 N,直線 EA 與 x 軸交于點 K,根據 E、D 的坐標求得直線 ED 的解析式為 y= x+3,根據13 E、A 的坐標求得直線 EA 的解析式為 y=- x+2,MEK 是以 MK 為底邊的等13 腰三角形, AEN 是以 AN 為底邊的等腰三角形,到 EA 和 ED 的距離相等的點 F 在頂角 的平分線上,根據等腰三角形的性質可知,EF 的長是 E 點到坐標軸的距離, EF = 或 .325 . (14 分)3265 【解法提示】根據題意得:當 P 與 O 重合時,周長最小,如解圖,作 O 關于 AB 的對稱點 E,作 O 關于 AC 的對稱點 F,連接 EF 交 AB 于點 Q,交 AC 于點 R,此時PQR 的周長PQ +QR +PR =EF,A (0,2),B(-3,0),C(1,0), AB = ,AC = ,S AOB = OEAB 23121512 = OAOB,OE = ,易得OEM ABO, ,即12123OMEAB ,OM = ,EM = ,E(- , ),同理可求 F( ,13OME41362413685 ), PQR 周長的最小值為 .45 228()()536F- 配套講稿:
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- 題型五 二次函數與幾何圖形綜合題 題型 二次 函數 幾何圖形 綜合
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