數(shù)學(xué)曲線方程及圓錐曲線典型例題解析.doc
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曲線方程及圓錐曲線典型例題解析一知識(shí)要點(diǎn)1曲線方程(1)求曲線(圖形)方程的方法及其具體步驟如下:步 驟含 義說 明1、“建”:建立坐標(biāo)系;“設(shè)”:設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)。建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,用(x,y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)。(1) 所研究的問題已給出坐標(biāo)系,即可直接設(shè)點(diǎn)。(2) 沒有給出坐標(biāo)系,首先要選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。2、現(xiàn)(限):由限制條件,列出幾何等式。寫出適合條件P的點(diǎn)M的集合P=M|P(M)這是求曲線方程的重要一步,應(yīng)仔細(xì)分析題意,使寫出的條件簡明正確。3、“代”:代換用坐標(biāo)法表示條件P(M),列出方程f(x,y)=0常常用到一些公式。4、“化”:化簡化方程f(x,y)=0為最簡形式。要注意同解變形。5、證明證明化簡以后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)。化簡的過程若是方程的同解變形,可以不要證明,變形過程中產(chǎn)生不增根或失根,應(yīng)在所得方程中刪去或補(bǔ)上(即要注意方程變量的取值范圍)。這五個(gè)步驟(不包括證明)可濃縮為五字“口訣”:建設(shè)現(xiàn)(限)代化”(2)求曲線方程的常見方法:直接法:也叫“五步法”,即按照求曲線方程的五個(gè)步驟來求解。這是求曲線方程的基本方法。轉(zhuǎn)移代入法:這個(gè)方法又叫相關(guān)點(diǎn)法或坐標(biāo)代換法。即利用動(dòng)點(diǎn)是定曲線上的動(dòng)點(diǎn),另一動(dòng)點(diǎn)依賴于它,那么可尋求它們坐標(biāo)之間的關(guān)系,然后代入定曲線的方程進(jìn)行求解。幾何法:就是根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)而得到軌跡方程的方法。參數(shù)法:根據(jù)題中給定的軌跡條件,用一個(gè)參數(shù)來分別動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo),間接地把坐標(biāo)x,y聯(lián)系起來,得到用參數(shù)表示的方程。如果消去參數(shù),就可以得到軌跡的普通方程。2圓錐曲線綜合問題(1)圓錐曲線中的最值問題、范圍問題通常有兩類:一類是有關(guān)長度和面積的最值問題;一類是圓錐曲線中有關(guān)的幾何元素的最值問題。這些問題往往通過定義,結(jié)合幾何知識(shí),建立目標(biāo)函數(shù),利用函數(shù)的性質(zhì)或不等式知識(shí),以及觀形、設(shè)參、轉(zhuǎn)化、替換等途徑來解決。解題時(shí)要注意函數(shù)思想的運(yùn)用,要注意觀察、分析圖形的特征,將形和數(shù)結(jié)合起來。圓錐曲線的弦長求法:設(shè)圓錐曲線Cf(x,y)=0與直線ly=kx+b相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點(diǎn),則弦長|AB|為:若弦AB過圓錐曲線的焦點(diǎn)F,則可用焦半徑求弦長,|AB|=|AF|+|BF|在解析幾何中求最值,關(guān)鍵是建立所求量關(guān)于自變量的函數(shù)關(guān)系,再利用代數(shù)方法求出相應(yīng)的最值注意點(diǎn)是要考慮曲線上點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)的取值范圍。(2)對(duì)稱、存在性問題,與圓錐曲線有關(guān)的證明問題它涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法,以及定點(diǎn)、定值問題的判斷方法。(3)實(shí)際應(yīng)用題數(shù)學(xué)應(yīng)用題是高考中必考的題型,隨著高考改革的深入,同時(shí)課本上也出現(xiàn)了許多與圓錐曲線相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題,如橋梁的設(shè)計(jì)、探照燈反光鏡的設(shè)計(jì)、聲音探測,以及行星、人造衛(wèi)星、彗星運(yùn)行軌道的計(jì)算等。 涉及與圓錐曲線有關(guān)的應(yīng)用問題的解決關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系,合理選擇曲線模型,然后轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題作出定量或定性分析與判斷,解題的一般思想是:(4)知識(shí)交匯題圓錐曲線經(jīng)常和數(shù)列、三角、平面向量、不等式、推理知識(shí)結(jié)合到一塊出現(xiàn)部分有較強(qiáng)區(qū)分度的綜合題。二典例解析題型1:求軌跡方程例1(1)一動(dòng)圓與圓外切,同時(shí)與圓內(nèi)切,求動(dòng)圓圓心的軌跡方程,并說明它是什么樣的曲線。(2)雙曲線有動(dòng)點(diǎn),是曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),求的重心的軌跡方程。解析:(1)(法一)設(shè)動(dòng)圓圓心為,半徑為,設(shè)已知圓的圓心分別為、,將圓方程分別配方得:,當(dāng)與相切時(shí),有 當(dāng)與相切時(shí),有 將兩式的兩邊分別相加,得,即 移項(xiàng)再兩邊分別平方得: 兩邊再平方得:,整理得,所以,動(dòng)圓圓心的軌跡方程是,軌跡是橢圓。(法二)由解法一可得方程,由以上方程知,動(dòng)圓圓心到點(diǎn)和的距離和是常數(shù),所以點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)為、,長軸長等于的橢圓,并且橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,圓心軌跡方程為。(2)如圖,設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)各為,在已知雙曲線方程中,已知雙曲線兩焦點(diǎn)為,存在,由三角形重心坐標(biāo)公式有,即 。,。已知點(diǎn)在雙曲線上,將上面結(jié)果代入已知曲線方程,有即所求重心的軌跡方程為:。點(diǎn)評(píng):定義法求軌跡方程的一般方法、步驟;“轉(zhuǎn)移法”求軌跡方程的方法。例2(2001上海,3)設(shè)P為雙曲線y21上一動(dòng)點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),M為線段OP的中點(diǎn),則點(diǎn)M的軌跡方程是 。解析:(1)答案:x24y21設(shè)P(x0,y0) M(x,y) 2xx0,2yy04y21x24y21 點(diǎn)評(píng):利用中間變量法(轉(zhuǎn)移法)是求軌跡問題的重要方法之一。題型2:圓錐曲線中最值和范圍問題例3(1)設(shè)AB是過橢圓中心的弦,橢圓的左焦點(diǎn)為,則F1AB的面積最大為( ) A. B. C. D. (2)已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P在雙曲線的右支上,且,則此雙曲線的離心率的最大值是( ) A. B. C. 2D. (3)已知A(3,2)、B(4,0),P是橢圓上一點(diǎn),則|PA|PB|的最大值為( ) A. 10B. C. D. 解析:(1)如圖,由橢圓對(duì)稱性知道O為AB的中點(diǎn),則F1OB的面積為F1AB面積的一半。又,F(xiàn)1OB邊OF1上的高為,而的最大值是b,所以F1OB的面積最大值為。所以F1AB的面積最大值為cb。點(diǎn)評(píng):抓住F1AB中為定值,以及橢圓是中心對(duì)稱圖形。(2)解析:由雙曲線的定義,得:, 又,所以,從而 由雙曲線的第二定義可得, 所以。又,從而。故選B。點(diǎn)評(píng):“點(diǎn)P在雙曲線的右支上”是銜接兩個(gè)定義的關(guān)鍵,也是不等關(guān)系成立的條件。利用這個(gè)結(jié)論得出關(guān)于a、c的不等式,從而得出e的取值范圍。(3)解析:易知A(3,2)在橢圓內(nèi),B(4,0)是橢圓的左焦點(diǎn)(如圖),則右焦點(diǎn)為F(4,0)。連PB,PF。由橢圓的定義知: , 所以。 由平面幾何知識(shí),即,而, 所以。點(diǎn)評(píng):由PAF成立的條件,再延伸到特殊情形P、A、F共線,從而得出這一關(guān)鍵結(jié)論。例4(1)(06全國1文,21)設(shè)P是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn),為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求的最大值。(2)(06上海文,21)已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)橢圓,它的中心在原點(diǎn),左焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,設(shè)點(diǎn).求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;若是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),求線段中點(diǎn)的軌跡方程;過原點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn),求面積的最大值。(3)(06山東文,21)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形,兩準(zhǔn)線間的距離為l。()求橢圓的方程;()直線過點(diǎn)P(0,2)且與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)AOB面積取得最大值時(shí),求直線l的方程。解析:(1)依題意可設(shè)P(0,1),Q(x,y),則 |PQ|=,又因?yàn)镼在橢圓上,所以,x2=a2(1y2), |PQ|2= a2(1y2)+y22y+1=(1a2)y22y+1+a2, =(1a2)(y )2+1+a2 。因?yàn)閨y|1,a1, 若a, 則|1, 當(dāng)y=時(shí), |PQ|取最大值,若1a,則當(dāng)y=1時(shí), |PQ|取最大值2。(2)由已知得橢圓的半長軸a=2,半焦距c=,則半短軸b=1, 又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上, 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。設(shè)線段PA的中點(diǎn)為M(x,y) ,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x0,y0),由x=得x0=2x1y=y0=2y由,點(diǎn)P在橢圓上,得,線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程是。當(dāng)直線BC垂直于x軸時(shí),BC=2,因此ABC的面積SABC=1。當(dāng)直線BC不垂直于x軸時(shí),說該直線方程為y=kx,代入,解得B(,),C(,),則,又點(diǎn)A到直線BC的距離d=,ABC的面積SABC=。于是SABC=。由1,得SABC,其中,當(dāng)k=時(shí),等號(hào)成立。SABC的最大值是。(3)解:設(shè)橢圓方程為()由已知得所求橢圓方程為。()解法一:由題意知直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為由,消去y得關(guān)于x的方程:,由直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),解得。又由韋達(dá)定理得,。原點(diǎn)到直線的距離。.解法1:對(duì)兩邊平方整理得:(*),整理得:。又, ,從而的最大值為,此時(shí)代入方程(*)得,。所以,所求直線方程為:。解法2:令,則。當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),此時(shí)。所以,所求直線方程為解法二:由題意知直線l的斜率存在且不為零。設(shè)直線l的方程為,則直線l與x軸的交點(diǎn),由解法一知且,解法1: =.下同解法一.解法2:。下同解法一。點(diǎn)評(píng):文科06年高考主要考察了圓錐曲線的最值問題,主要是三角形的面積、弦長問題。處理韋達(dá)定理以及判別式問題啊是解題的關(guān)鍵。題型3:證明問題和對(duì)稱問題例5(1)(06浙江理,19)如圖,橢圓1(ab0)與過點(diǎn)A(2,0)B(0,1)的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T,且橢圓的離心率e=.()求橢圓方程;()設(shè)F、F分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),M為線段AF的中點(diǎn),求證:ATM=AFT。(2)(06湖北理,20)設(shè)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),橢圓長半軸的長等于焦距,且為它的右準(zhǔn)線。()、求橢圓的方程;()、設(shè)為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)(4,0)的任意一點(diǎn),若直線分別與橢圓相交于異于的點(diǎn),證明點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)。(3)(06上海理,20)在平面直角坐標(biāo)系O中,直線與拋物線2相交于A、B兩點(diǎn)。求證:“如果直線過點(diǎn)T(3,0),那么3”是真命題;寫出(1)中命題的逆命題,判斷它是真命題還是假命題,并說明理由解析:(1)(I)過點(diǎn)、的直線方程為因?yàn)橛深}意得有惟一解,即有惟一解,所以 (),故又因?yàn)?即 所以 從而得 故所求的橢圓方程為(II)由(I)得 故從而由,解得所以 因?yàn)橛值靡虼它c(diǎn)評(píng):本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的幾何性質(zhì),同時(shí)考察解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。(2)()依題意得 a2c,4,解得a2,c1,從而b.故橢圓的方程為 .()解法1:由()得A(2,0),B(2,0).設(shè)M(x0,y0).M點(diǎn)在橢圓上,y0(4x02). 又點(diǎn)M異于頂點(diǎn)A、B,2x00,0,則MBP為銳角,從而MBN為鈍角,故點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。解法2:由()得A(2,0),B(2,0).設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則2x12,2x2b0),其半焦距c=6,b2=a2-c2=9。所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為點(diǎn)P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)P,(2,5)、F1,(0,-6)、F2,(0,6)。設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。由題意知,半焦距c1=6,。,b12=c12-a12=36-20=16. 所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。點(diǎn)評(píng):本小題主要考查橢圓與雙曲線的基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算能力。題型4:知識(shí)交匯題例7(06遼寧,20)已知點(diǎn),是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),向量,滿足.設(shè)圓的方程為(I) 證明線段是圓的直徑;(II)當(dāng)圓C的圓心到直線X-2Y=0的距離的最小值為時(shí),求p的值。解析:(I)證明1: 整理得: 設(shè)M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn),則即整理得:故線段是圓的直徑證明2: 整理得: .(1)設(shè)(x,y)是以線段AB為直徑的圓上則即去分母得: 點(diǎn)滿足上方程,展開并將(1)代入得:故線段是圓的直徑證明3: 整理得: (1)以線段AB為直徑的圓的方程為展開并將(1)代入得:故線段是圓的直徑(II)解法1:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則又因所以圓心的軌跡方程為設(shè)圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則當(dāng)y=p時(shí),d有最小值,由題設(shè)得.解法2: 設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則又因所以圓心的軌跡方程為設(shè)直線x-2y+m=0到直線x-2y=0的距離為,則因?yàn)閤-2y+2=0與無公共點(diǎn),所以當(dāng)x-2y-2=0與僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),該點(diǎn)到直線x-2y=0的距離最小值為將(2)代入(3)得解法3: 設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則又因當(dāng)時(shí),d有最小值,由題設(shè)得.點(diǎn)評(píng):本小題考查了平面向量的基本運(yùn)算,圓與拋物線的方程.點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí),以及綜合運(yùn)用解析幾何知識(shí)解決問題的能力。例8(06重慶文,22)如圖,對(duì)每個(gè)正整數(shù),是拋物線上的點(diǎn),過焦點(diǎn)的直線角拋物線于另一點(diǎn)。()試證:;()取,并記為拋物線上分別以與為切點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)。試證:;證明:()對(duì)任意固定的因?yàn)榻裹c(diǎn)F(0,1),所以可設(shè)直線的方程為將它與拋物線方程聯(lián)立得: ,由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得()對(duì)任意固定的利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)易得拋物線在處的切線的斜率故在處的切線的方程為:,類似地,可求得在處的切線的方程為:,由得:,將代入并注意得交點(diǎn)的坐標(biāo)為由兩點(diǎn)間的距離公式得:現(xiàn)在,利用上述已證結(jié)論并由等比數(shù)列求和公式得:點(diǎn)評(píng):該題是圓錐曲線與數(shù)列知識(shí)交匯的題目。www.ks5u.com19- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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