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太原志成學校 藝術(shù)類理科數(shù)學講義 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 第一講 數(shù)列定義及其性質(zhì) 一、基本概念： 1、通項公式：； 2、前項和： 3、關(guān)系： 二、性質(zhì)： 1、單調(diào)性：增數(shù)列：；減數(shù)列：；常數(shù)列： 2、最值： 3、前項積有最大值： 三、幾種常見數(shù)列： 1、 2、 3、 4、 5、 ★隨堂訓練： 1、已知數(shù)列通項公式是，那么這個數(shù)列是（ ） A.遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列 C.擺動數(shù)列 D.常數(shù)列 2、已知數(shù)列滿足，，那么這個數(shù)列是（ ） A.遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列 C.擺動數(shù)列 D.常數(shù)列 3、已知數(shù)列通項公式是，若對任意，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ） 4、已知數(shù)列通項公式是是數(shù)列的前項積，即，當取到最大值是，n的值為（ ） 5、設數(shù)列的前項和，則的值是（ ） 11 等差數(shù)列專題 一、等差數(shù)列知識點回顧與技巧點撥 1．等差數(shù)列的定義 一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示． 2．等差數(shù)列的通項公式 若等差數(shù)列{an}的首項是a1，公差是d，則其通項公式為an＝a1＋(n－1)d＝(n－m)d＝p. 3．等差中項 如果三個數(shù)x，A，y組成等差數(shù)列，那么A叫做x和y的等差中項，如果A是x和y的等差中項，則A＝. 4．等差數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}為等差數(shù)列，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)． (3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列． (4)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列． (5)S2n－1＝(2n－1)an. (6)若n為偶數(shù)，則S偶－S奇＝； 若n為奇數(shù)，則S奇－S偶＝a中(中間項)． 5．等差數(shù)列的前n項和公式 若已知首項a1和末項an，則Sn＝，或等差數(shù)列{an}的首項是a1，公差是d，則其前n項和公式為Sn＝na1＋d. 6．等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系 Sn＝n2＋n，數(shù)列{an}是等差數(shù)列的充要條件是Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))． 7．最值問題 在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值，若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值． 一個推導 利用倒序相加法推導等差數(shù)列的前n項和公式： Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，① Sn＝an＋an－1＋…＋a1，② ①＋②得：Sn＝. 兩個技巧 已知三個或四個數(shù)組成等差數(shù)列的一類問題，要善于設元． (1)若奇數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時，可設為…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…. (2)若偶數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時，可設為…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各項再依據(jù)等差數(shù)列的定義進行對稱設元 ． 四種方法 等差數(shù)列的判斷方法 (1)定義法：對于n≥2的任意自然數(shù)，驗證an－an－1為同一常數(shù)； (2)等差中項法：驗證2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立； (3)通項公式法：驗證an＝pn＋q； (4)前n項和公式法：驗證Sn＝An2＋Bn. 注：　后兩種方法只能用來判斷是否為等差數(shù)列，而不能用來證明等差數(shù)列． 基礎訓練：（公式的運用，定義的把握） 1．已知等差數(shù)列{an}中，a3=9，a9=3，則公差d的值為（　?。? 　 A． B． 1 C． D． ﹣1 2．已知數(shù)列{an}的通項公式是an=2n+5，則此數(shù)列是（　?。? 　 A． 以7為首項，公差為2的等差數(shù)列 B． 以7為首項，公差為5的等差數(shù)列 　 C． 以5為首項，公差為2的等差數(shù)列 D． 不是等差數(shù)列 3．在等差數(shù)列{an}中，a1=13，a3=12，若an=2，則n等于（　?。? 　 A． 23 B． 24 C． 25 D． 26 4．兩個數(shù)1與5的等差中項是（　　） 　 A． 1 B． 3 C． 2 D． 5．（2005?黑龍江）如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則（　?。? 　 A． a1+a8＞a4+a5 B． a1+a8=a4+a5 C． a1+a8＜a4+a5 D． a1a8=a4a5 考點1:等差數(shù)列的通項與前n項和 題型1：已知等差數(shù)列的某些項，求某項 【解題思路】給項求項問題，先考慮利用等差數(shù)列的性質(zhì)，再考慮基本量法 【例1】已知為等差數(shù)列，，則 對應練習： 1、已知為等差數(shù)列，（互不相等），求. 2、已知個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為，平方和為，求這個數(shù). 題型2：已知前項和及其某項，求項數(shù). 【解題思路】 ⑴利用等差數(shù)列的通項公式求出及，代入可求項數(shù)； ⑵利用等差數(shù)列的前4項和及后4項和求出，代入可求項數(shù). 【例2】已知為等差數(shù)列的前項和，，求 對應練習： 3、若一個等差數(shù)列的前4項和為36，后4項和為124，且所有項的和為780，求這個數(shù)列的項數(shù). 4、已知為等差數(shù)列的前項和，，則 . 題型3：求等差數(shù)列的前n項和 【解題思路】（1）利用求出，把絕對值符號去掉轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的求和問題. （2）含絕對值符號的數(shù)列求和問題，要注意分類討論. 【例3】已知為等差數(shù)列的前項和，. （1） ； ⑵求；⑶求. 練習： 對應練習：5、已知為等差數(shù)列的前項和，，求. 考點2 ：證明數(shù)列是等差數(shù)列 【名師指引】判斷或證明數(shù)列是等差數(shù)列的方法有： 1、 定義法：（，是常數(shù)）是等差數(shù)列； 2、中項法：()是等差數(shù)列； 3、通項公式法：（是常數(shù)）是等差數(shù)列； 4、項和公式法：（是常數(shù)，）是等差數(shù)列. 【例4】已知為等差數(shù)列的前項和，.求證：數(shù)列是等差數(shù)列. 對應練習：6、設為數(shù)列的前項和，， （1） 常數(shù)的值； （2） 證：數(shù)列是等差數(shù)列. 考點3 :等差數(shù)列的性質(zhì) 【解題思路】利用等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)求解. 【例5】1、已知為等差數(shù)列的前項和，，則 ； 2、知為等差數(shù)列的前項和，，則 . 對應練習：7、含個項的等差數(shù)列其奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和之比為（ ） 8.設、分別是等差數(shù)列、的前項和，，則 . 考點4： 等差數(shù)列與其它知識的綜合 【解題思路】1、利用與的關(guān)系式及等差數(shù)列的通項公式可求； 2、求出后，判斷的單調(diào)性. 【例6】已知為數(shù)列的前項和，；數(shù)列滿足：， ，其前項和為 1 數(shù)列、的通項公式； ⑵設為數(shù)列的前項和，，求使不等式對都成立的最大正整數(shù)的值. 課后練習： 1.(2010廣雅中學)設數(shù)列是等差數(shù)列，且，，是數(shù)列的前項和，則 A． B． C． D． 2.在等差數(shù)列中，，則 . 3. 數(shù)列中，，當數(shù)列的前項和取得最小值時， . 4. 已知等差數(shù)列共有項，其奇數(shù)項之和為，偶數(shù)項之和為，則其公差是 . 5.設數(shù)列中，，則通項 . 對應練習：9.已知為數(shù)列的前項和，，. 1 數(shù)列的通項公式； ⑵ 數(shù)列中是否存在正整數(shù)，使得不等式對任意不小于的正整數(shù)都成立？若存在，求最小的正整數(shù)，若不存在，說明理由