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高考數(shù)學(xué)壓軸大題-解析幾何 1. 設(shè)雙曲線C：相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B. （I）求雙曲線C的離心率e的取值范圍： （II）設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為P，且求a的值. 解：（I）由C與t相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，故知方程組 有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.消去y并整理得 （1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ① 雙曲線的離心率 （II）設(shè) 由于x1+x2都是方程①的根，且1－a2≠0， 2. 已知為橢圓C的兩焦點(diǎn)，P為C上任意一點(diǎn)，且向量的夾角余弦的最小值為. (Ⅰ)求橢圓C的方程； (Ⅱ)過(guò) 的直線與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，求（O為原點(diǎn)）的面積的最大值及相應(yīng)的直線的方程. 解：(Ⅰ)設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸為2a, ∴ = = 又 ∴ 即 ∴ ∴橢圓方程為 (Ⅱ) 由題意可知NM不可能過(guò)原點(diǎn),則可設(shè)直線NM的方程為: 設(shè) = 即 . 由韋達(dá)定理得: ∴ = = 令 , 則 ∴=. 又令, 易知在[1,+∞）上是增函數(shù), 所以當(dāng),即 時(shí)有最小值5. ∴有最大值 ∴ 的面積有最大值. 直線的方程為. 3. 橢圓E的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率=，過(guò)點(diǎn)C(-1，0)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且滿足：= ()． (Ⅰ)若為常數(shù)，試用直線的斜率k(k≠0)表示三角形OAB的面積． (Ⅱ)若為常數(shù)，當(dāng)三角形OAB的面積取得最大值時(shí)，求橢圓E的方程． (Ⅲ)若變化，且= k2＋1，試問(wèn)：實(shí)數(shù)和直線的斜率分別為何值時(shí)，橢圓E的短半軸長(zhǎng)取得最大值？并求出此時(shí)的橢圓方程． 解：設(shè)橢圓方程為(a＞b＞0)， 由==及a2= b2+c2得a2=3 b2， 故橢圓方程為x2＋3y2= 3b2． ① (Ⅰ)∵直線：y = k(x＋1)交橢圓于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，并且= (≥2)， ∴(x1+1，y1) =(-1-x2，-y2)， 即 ② 把y = k(x+1)代入橢圓方程，得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-3b2= 0， 且 k2 (3b2-1)+b2＞0 （*）， ∴x1+x2= -， ③ x1x2=， ④ ∴=|y1-y2| =|+1|·| y2| =·| k |·| x2+1|． 聯(lián)立②、③得x2+1=， ∴=· (k≠0)． (Ⅱ)=· =· ≤· (≥2)． 當(dāng)且僅當(dāng)3| k | =，即k =時(shí)，取得最大值，此時(shí)x1+x2= -1． 又∵x1+1= -( x2+1)， ∴x1=，x2= -，代入④得3b2=．此時(shí)3b25，的值符合(*) 故此時(shí)橢圓的方程為x2＋3y2=(≥2)． (Ⅲ)由②、③聯(lián)立得： x1=-1， x2=-1， 將x1，x2代入④，得=+1． 由k2=-1得=+1 =＋1． 易知，當(dāng)時(shí)，3b2是的減函數(shù)， 故當(dāng)時(shí)，取得最大值3． 所以，當(dāng)，k =±1(符合(*))時(shí)，橢圓短半軸長(zhǎng)取得最大值， 此時(shí)橢圓方程為x2 + 3y2 = 3． 4. 已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，與共線. （I）求橢圓的離心率； （II）設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且，證明為定值. 解：（I）設(shè)橢圓方程為 則直線AB的方程為. 化簡(jiǎn)得. 令 則 共線，得 （II）證明：由（I）知，所以橢圓可化為. 在橢圓上， 即 ① 由（I）知 又又，代入①得 故為定值，定值為1. 5. 已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn). （I）求過(guò)點(diǎn)O、F，并且與橢圓的左準(zhǔn)線相切的圓的方程； （II）設(shè)過(guò)點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍. 解：（I） 圓過(guò)點(diǎn)O、F， 圓心M在直線上。 設(shè)則圓半徑 由得 解得 所求圓的方程為 （II）設(shè)直線AB的方程為 代入整理得 直線AB過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F，方程有兩個(gè)不等實(shí)根。 記中點(diǎn) 則 的垂直平分線NG的方程為 令得 點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為 6. 已知點(diǎn),是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),向量,滿足.設(shè)圓的方程為 (I) 證明線段是圓的直徑; (II)當(dāng)圓C的圓心到直線X-2Y=0的距離的最小值為時(shí)，求p的值。 (I)證明1: 整理得: 設(shè)M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn),則 即 整理得: 故線段是圓的直徑 證明2: 整理得: ……..(1) 設(shè)(x,y)是以線段AB為直徑的圓上則 即 去分母得: 點(diǎn)滿足上方程,展開(kāi)并將(1)代入得: 故線段是圓的直徑 證明3: 整理得: ……(1) 以線段AB為直徑的圓的方程為 展開(kāi)并將(1)代入得: 故線段是圓的直徑 (II)解法1:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則 又因 所以圓心的軌跡方程為 設(shè)圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則 當(dāng)y=p時(shí),d有最小值,由題設(shè)得 . 解法2: 設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則 又因 所以圓心的軌跡方程為 設(shè)直線x-2y+m=0到直線x-2y=0的距離為,則 因?yàn)閤-2y+2=0與無(wú)公共點(diǎn), 所以當(dāng)x-2y-2=0與僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),該點(diǎn)到直線x-2y=0的距離最小值為 將(2)代入(3)得 解法3: 設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則 圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則 又因 當(dāng)時(shí),d有最小值,由題設(shè)得 . 11、（如圖）設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線 與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E、F兩點(diǎn)． D F B y x A O E （1）若，求的值； （2）求四邊形面積的最大值． 11．（Ⅰ）解：依題設(shè)得橢圓的方程為， 直線的方程分別為，． 2分 D F B y x A O E 如圖，設(shè)，其中， 且滿足方程， 故．① 由知，得； 由在上知，得． 所以， 化簡(jiǎn)得， 解得或． 6分 （Ⅱ）解法一：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和①式知，點(diǎn)到的距離分別為 ， ． 9分 又，所以四邊形的面積為 ， 當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)．所以的最大值為． 12分 解法二：由題設(shè)，，． 設(shè)，，由①得，， 故四邊形的面積為 9分 ， 當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)．所以的最大值為． 12分 12、已知橢圓的離心率. 直線（）與曲線交于不同的兩點(diǎn),以線段為直徑作圓,圓心為． (1) 求橢圓的方程； (2) 若圓與軸相交于不同的兩點(diǎn)，求的面積的最大值. 12、（1）解：∵橢圓的離心率, ∴. …… 2分 解得. ∴ 橢圓的方程為． …… 4分 （2）解法1：依題意，圓心為． 由 得. ∴ 圓的半徑為． …… 6分 ∵ 圓與軸相交于不同的兩點(diǎn)，且圓心到軸的距離， ∴ ，即． ∴ 弦長(zhǎng)． …… 8分 ∴的面積 …… 9分 . …… 12分 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立. ∴ 的面積的最大值為． …… 14分 解法2：依題意，圓心為． 由 得.∴ 圓的半徑為． …… 6分 ∴ 圓的方程為． ∵ 圓與軸相交于不同的兩點(diǎn)，且圓心到軸的距離， ∴ ，即． 在圓的方程中，令，得， ∴ 弦長(zhǎng)． （資料來(lái)源：數(shù)學(xué)驛站 www.maths168.com） …… 8分 ∴的面積 …… 9分 . ……12分 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立. ∴ 的面積的最大值為． 15、已知橢圓：（）的上頂點(diǎn)為，過(guò)的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為．若有一菱形的頂點(diǎn)、在橢圓上，該菱形對(duì)角線所在直線的斜率為． ⑴求橢圓的方程； ⑵當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，求直線的方程； ⑶（本問(wèn)只作參考，不計(jì)入總分）當(dāng)時(shí)，求菱形面積的最大值． 15、解：⑴依題意，……1分，解……2分，得……3分，所以，……4分，橢圓的方程為……5分。 ⑵直線：……7分，設(shè)：……8分，由方程組得……9分，當(dāng)時(shí)……10分，、的中點(diǎn)坐標(biāo)為，……12分，是菱形，所以的中點(diǎn)在上，所以……13分，解得，滿足，所以的方程為……14分。 ⑶（本小問(wèn)不計(jì)入總分，僅供部分有余力的學(xué)生發(fā)揮和教學(xué)拓廣之用）因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，且，所以，所以菱形的面積，由⑵可得 ，因?yàn)?，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，菱形的面積取得最大值，最大值為。 12