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第十三章 軸對稱 13.1《軸對稱（1）》導(dǎo)學(xué)案 一、學(xué)習(xí)目標： 1．理解軸對稱圖形及軸對稱的定義，認識軸對稱與全等的關(guān)系，了解軸對稱圖形與軸對稱的聯(lián)系與區(qū)別 。 2．通過獨立思考、小組合作、展示質(zhì)疑，發(fā)展學(xué)生的觀察、歸納、想象能力。 3．激情投入，快樂學(xué)習(xí)，感受對稱美。 二、重點難點 重點：對軸對稱圖形與軸對稱概念的理解 難點：軸對稱圖形與軸對稱的聯(lián)系與區(qū)別 三、課時：第1課時 四、導(dǎo)學(xué)過程： （一）合作探究（同學(xué)合作，教師引導(dǎo)） 1、在一張半透明的紙上畫△ABC，使AB＝AC,作BC上的高AD，沿直線AD折疊，直線兩旁的部分重合嗎？ 軸對稱圖形的定義： 叫做軸對稱圖形，這條直線叫做它的 2、在一張半透明的紙上建立一個平面直角坐標系，并描出點A（-1，3）、B（-2，-4）、C（-3，-1）、 A1（1，3）、B1(2，-4)、C1(3，-1)，畫出△ABC和△A1B1C1，沿y軸折疊，這兩個三角形重合嗎？ 軸對稱的定義： 那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做 ，折疊后重合的點是對應(yīng)點，叫做 。 3、第2中的△ABC和△A1B1C1全等嗎？把其中的△A1B1C1向下平移一個單位，得到△A2B2C2，△ABC和△A2B2C2全等嗎？折一折，△ABC和△A2B2C2成軸對稱嗎？ 軸對稱與全等的關(guān)系：兩個圖形成軸對稱，則它們一定 ；兩個圖形全等， 成軸對稱。 4、你能說說軸對稱圖形與軸對稱的區(qū)別和聯(lián)系嗎？ 區(qū)別： 聯(lián)系： （二）、精講精練 例1下列圖案中，不是軸對稱圖形的是( ) (A) (B))) (C) (D) 例2、下面四組圖形中，右邊與左邊成軸對稱的是（ ） A. B. C. D. 例3、仔細觀察下列圖案，并按規(guī)律在橫線上畫出合適的圖形 _________ 例4、在鏡中看到的一串數(shù)字是“”，則這串數(shù)字是 。 例5、下列圖形中對稱軸最多的是 ( ) A、圓 B、正方形 C、等腰三角形 D、線段 （三）課堂練習(xí) 1、在實際生活中，軸對稱無處不在，請你用給定的圖形“○○，△△，—— ——”（兩個圓，兩個三角形，兩條線段）為構(gòu)件，盡可能多地構(gòu)思獨特且有實際生活意義的成軸對稱的一對圖形，并寫出一兩句詼諧、貼切的解說詞。如： ○○ △△ ∣∣ 兩個棒棒糖 2、如圖，把一個正方形三次對折后沿虛線剪下， 則所得圖形大致是（ ） 3、 寫出10個“軸對稱”的漢字，如“十、中”。 5、 課堂小結(jié)：軸對稱圖形及軸對稱的定義 六、作業(yè)：P36 1、2 七、課后反思： 13.1《軸對稱（2）》導(dǎo)學(xué)案 一、學(xué)習(xí)目標： 1、 了解線段的垂直平分線的定義，了解軸對稱的性質(zhì)及軸對稱圖形的性質(zhì)，掌握垂直平分線的性質(zhì)，了解線段垂直平分線的畫法。 2、 發(fā)展學(xué)生觀察、歸納及推理能力。 3、 極度熱情，全力以赴，享受成功。 A1 B1 C1 圖1 二、重點難點 垂直平分線的性質(zhì) 三、課時：第2課時 四、導(dǎo)學(xué)過程 （一）合作探究（同學(xué)合作，教師引導(dǎo)） 1、如圖1，△ABC和△A1B1C1關(guān)于y軸對稱，點A的對應(yīng)點是 ，y軸經(jīng)過線段AA1的中點嗎？y軸垂直線段AA1嗎？ 線段的垂直平分線的定義： ，叫做這條線段的垂直平分線。 2、在圖1中，y軸是線段CC1和BB1的垂直平分線嗎？ 軸對稱的性質(zhì)：如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的 。 類似地，軸對稱圖形的性質(zhì)：軸對稱圖形的對稱軸，是 的垂直平分線。 3、1）在一張半透明的紙上畫線段AB，用量角器和刻度尺畫線段AB的垂直平分線CD，在CD上任取一點P，連結(jié)PA、PB,量一量PA、PB的長，你有什么發(fā)現(xiàn)？沿直線CD對折，線段PA、PB重合嗎？ 垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點與這條線段 的距離相等。 你能證明這個性質(zhì)嗎？ 2）、在一張紙上線段AB及點P1、P2，使P1A=P1B ,P2A=P2B,再畫線段AB的垂直平分線CD，你又有什么發(fā)現(xiàn)？ 垂直平分線的性質(zhì)：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。 你能證明這個性質(zhì)嗎？ 4、 有一條線段AB，怎樣用直尺和圓規(guī)作出它的垂直平分線？你能說說其道理嗎？ （二）、精講精練 作出下列圖形的對稱軸。 例2、如圖，點P在∠AOB的內(nèi)部，點M、N分別是點P關(guān)于直線OA、OB的對稱點，線段MN交OA、OB于點E、F，若△PEF的周長是20cm ，求線段MN的長。 E D C B A 例3、 △ABC中，DE是AC的垂直平分線，垂足為E, 交AB于點D，AE=5cm，△CBD的周長為24cm， 求△ABC的周長。 （三）課堂精練： 某地有兩所大學(xué)和兩條相交叉的公路，如圖所示（點M，N表示大學(xué)，AO，BO表示公路）.現(xiàn)計劃修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學(xué)的距離相等，到兩條公路的距離也相等. （1）你能確定倉庫應(yīng)該建在什么位置嗎？在所給的圖形中畫出你的設(shè)計方案； N· M· B O A （2）闡述你設(shè)計的理由. 五、課堂小結(jié)： 垂直平分線的定義，軸對稱的性質(zhì)及軸對稱圖形的性質(zhì) 六、作業(yè) P34 2 P36 5 11 七、課后反思： 13.2．1《作軸對稱圖形》導(dǎo)學(xué)案 一、學(xué)習(xí)目標： 1、 能作軸對稱圖形，能應(yīng)用軸對稱進行簡單的圖案設(shè)計，能用軸對稱的知識解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題。 2、 通過獨立思考、交流討論、展示質(zhì)疑，發(fā)展學(xué)生的觀察、歸納、想象及推理能力。 3、 極度熱情、享受成功、感受數(shù)學(xué)就在身邊。 二、重點難點： 重點：作軸對稱圖形 難點：用軸對稱知識解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題。 三、課時：1課時 四、導(dǎo)學(xué)過程： （一）合作探究（同學(xué)合作，教師引導(dǎo)） 1、 復(fù)習(xí)回顧：線段公理；垂直平分線的性質(zhì)。 2、 自己動手在一張半透明的紙上畫一個圖案，將這張紙折疊，描圖，再打開紙，看看你得到了什么?改變折痕的位置并重復(fù)幾次，你又得到了什么? 歸納： (1) 由一個平面圖形可以得到它關(guān)于一條直線l成軸對稱的圖形，這個圖形與原圖形的　　　、________完全相同；　　 (2)新圖形上的任意一點，都是原圖形上某一點關(guān)于直線l的__________； (3)連接任意一對對應(yīng)點的線段被對稱軸__________。 3、把圖1補成關(guān)于直線l對稱的圖形 · · A B l 圖2 l 圖1 （二）、精講精練 例1、如圖2，如何在直線l上找一點P，使線段PA與PB的和最小？ 練習(xí)：1、把下列各圖補成以a為對稱軸的軸對稱圖形。 a a a 例2、要在河邊修建一個水泵站，分別向張村、李莊送水（如圖）。 修在河邊什么地方，可使所用水管最短？試在圖中確定水泵站的位置，并說明你的理由。 B C． 。. D.． 。. O A 練習(xí)1. 城北中學(xué)八⑵班舉行文藝晚會，桌子擺成兩直條(如圖中的AO，BO)，AO桌面上擺滿了桔子，OB桌面上擺滿了糖果，站在C處的學(xué)生小明先到AO桌面上拿桔子，再到OB桌面上拿糖果，然后回到D處座位上，請你幫助他設(shè)計一條行走路線，使其所走的總路程最短?！? 五、課堂小結(jié)： 歸納： 幾何圖形都可以看作由點組成，我們只要分別作出這些點關(guān)于對稱軸的對應(yīng)點，再連接這些對應(yīng)點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形；對于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要作出圖形中的一些特殊點（如線段端點）的對稱點，連接這些對稱點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形。 六、作業(yè)：P45 1 七、課后反思： 13.2.2《用坐標表示軸對稱》導(dǎo)學(xué)案 一、學(xué)習(xí)目標： 1、 掌握一個點關(guān)于x軸或y軸對稱的點的坐標變化規(guī)律，并能利用這種坐標的變化規(guī)律在平面直角坐標系中作出一個圖形關(guān)于x軸或y軸對稱的圖形。 2、 培養(yǎng)學(xué)生探索問題的能力, 發(fā)展學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思維意識。 3、 激情參與，陽光展示。 二、重點難點 重點：1．理解圖形上的點的坐標的變化與圖形的軸對稱變換之間的關(guān)系． 2．在用坐標表示軸對稱時發(fā)展形象思維能力和數(shù)形結(jié)合的意識． 難點：用坐標表示軸對稱． 三、課時：1課時 四、導(dǎo)學(xué)過程： 圖一 （一）、合作探究（同學(xué)合作，教師引導(dǎo)） 1．如圖一 （1）觀察上圖中兩個圓臉有什么關(guān)系？ （2）已知右邊圓臉右眼B的坐標為（4，3），左眼A的坐標為（2，3），嘴角兩個端點，右端點C的坐標為（4，1），左端點D的坐標為（2，1）． 請根據(jù)圖形寫出左邊圓臉上左眼，右眼及嘴角兩端點的坐標 A1____________; B1______________; C1_____________; D1_____________ （3）A與A1、B與B1、C與C1、D與D1分別關(guān)于_________對稱。 （二）、精講精練 例1、將一個點的縱坐標不變，橫坐標乘以-1，得到的點與原來的點的位置關(guān)系是 ； 將一個點的橫坐標不變，縱坐標乘以-1，得到的點與原來的點的位置關(guān)系是 。 例2、已知點A（m+2，3）、B（-5，n+6）關(guān)于y軸對稱，則m= ，n= 例3、若點P（a，3）和P1（2，b）關(guān)于x軸對稱，則方程ax+b=0的解為 。 例4、已知點A(2m+1，m-3)關(guān)于y軸的對稱點在第四象限，則m的取值范圍是 。 例5、若∣3a-2∣+(b+3)2=0,點A（a，b）關(guān)于x軸對稱的點為B，點B關(guān)于y軸對稱的點為C，則點C的坐標是 。 y 1 2 O 1 -1 A B C 例6、（1）請畫出關(guān)于軸對稱的 （其中分別是的對應(yīng)點，不寫畫法）； （2）直接寫出三點的坐標． （3）△ABC的面積為 （三）課堂練習(xí)： o x y R Q P n m 1、 如圖，每個小正方形的邊長都是1，分別作 出△PQR關(guān)于直線x=1(記為m)和直線y= –1 (記為n)對稱的圖形。它們的對應(yīng)點的坐標之間 分別有什么關(guān)系？ 2、若點P(a，b)、Q(c，d)兩點關(guān)于直線x=2對稱，則a、c間的關(guān)系是 ，b、d間的關(guān)系是 ； 若點P(a，b)、Q(c，d)兩點關(guān)于直線y= –2對稱，則a、c間的關(guān)系是 ， b、d間的關(guān)系是 。 五、課堂小結(jié)： 1、點（x，y）關(guān)于x軸對稱的點的坐標是（x，-y）；點（x，y）關(guān)于y軸對稱的點的坐標是（-x，y） 2、對于這類問題，只要先求出已知圖形中的一些特殊點（如多邊形的頂點）的對稱點的坐標，描出并連接這些點，就可以得到這個圖形的軸對稱圖形。 六、作業(yè) P45 3 P46 8 七、課后反思： 13.3.1《等腰三角形（1）》導(dǎo)學(xué)案 一、學(xué)習(xí)目標： 1、 鞏固等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性質(zhì)，并能靈活應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)解決一些實際問題。 2、 通過獨立思考，交流合作，體會探索數(shù)學(xué)結(jié)論的過程，發(fā)展推理能力。 3、 激情投入，收獲成功。 二、重點難點： 學(xué)習(xí)重點：等腰三角形性質(zhì)的探索及應(yīng)用 學(xué)習(xí)難點：等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用 三、課時：第1課時 四、導(dǎo)學(xué)過程： （一）合作探究（同學(xué)合作，教師引導(dǎo)） 1、復(fù)習(xí)回顧：.三角形全等的判定方法 .有兩條邊相等的三角形，叫叫做等腰三角形,相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角 2、用剪刀按照49頁介紹的方法，剪出一個等腰三角形，想一想，它是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？ 3、將2中的等腰三角形沿對稱軸對折，找出重合的線段和角，由此你發(fā)現(xiàn)了等腰三角形的哪些性質(zhì)？ 性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）； A C B D 圖1 性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。 你能證明這兩個性質(zhì)嗎？ 4、填空：如圖1，在△ABC中 ∵AB=AC，∠BAD=∠CAD ∴BD = ， ⊥ 。 ∵AB=AC，BD=CD ∴∠BAD= ， ⊥ . ∵AB=AC，AD⊥BC ∴∠BAD= ， BD= . 圖2 D C B A （二）、精講精練 例1、如圖2，在△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD. 求△ABC各角的度數(shù)。 . 圖3 E D C B A 例2、已知一個等腰三角形兩個內(nèi)角的度數(shù)之比為1：4，則這個等腰三角形頂角的度數(shù)為 。 例3、如圖3，在△ABC中，AB=AC，點D、E在BC上， 且AD=AE. 求證：BD=CE 圖4 E D C B A M 練習(xí)：1、如圖4，AB=AE，BC=DE,∠B=∠E,AM⊥CD，垂足為點M 求證：CM=DM 圖5 B F D A E C 2、等腰三角形一腰上的高和另一腰的夾角為40o，則底角為 。 3、如圖5，在△ABC中，AB=AC，∠A=30o，BF=CE，BD=CF， 求∠DFE的度數(shù)。 五、課堂小結(jié)：腰三角形的哪些性質(zhì)？ 性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）； 性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。 六、作業(yè)：P51 1、3 七、課后反思： 13.3.1《等腰三角形（2）》導(dǎo)學(xué)案 一、學(xué)習(xí)目標： 1、 掌握等腰三角形的判定方法，并能靈活運用解決實際問題； 2、 通過獨立思考，交流討論，發(fā)展推理能力和運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力； 3、 極度熱情，高度責任，享受學(xué)習(xí)的快樂； 二、重點難點： 學(xué)習(xí)重點：等腰三角形的判定方法 學(xué)習(xí)難點：等腰三角形的判定和性質(zhì)的區(qū)別，等腰三角形的判定的應(yīng)用。 使用說明：先由學(xué)生自學(xué)課本51頁練習(xí)以后至53頁練習(xí)，經(jīng)歷自主探索總結(jié)的過程，然后獨立認真完成學(xué)案，用紅筆標記出疑點與盲點，以備上課時展示和質(zhì)疑。 三、課時：第2課時 四、導(dǎo)學(xué)過程： （一）合作探究（同學(xué)合作，教師引導(dǎo)） 1、復(fù)習(xí)回顧：等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定 2、用直尺和量角器畫△ABC，使∠B=∠C，再用刻度尺量一量線段AB、AC的長，你有什么發(fā)現(xiàn)？ C B A 猜想：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也想等。 你能驗證2中的猜想嗎？ 3、已知：如圖 在△ABC中，∠B=∠C 求證：AB=AC 等腰三角形的判定方法：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也想等（簡寫成：等角對等邊”）。 4、 等腰三角形的性質(zhì)與判定有什么區(qū)別和聯(lián)系？ 區(qū)別： 聯(lián)系：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （二）、精講精練 A B C D O 例1.如圖，AC和BD相交于點O，且AB∥DC，OC=OD， 求證：OA=OB 例2.求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形。 D C B A E D C B A （三）精練： 1.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=36O，D、E是BC上的兩點， 且∠ADE=∠AED=2∠BAD，則圖中的等腰三角形共有（ ）個。 A.3個 B.4個 C.5個 D.6個 A C B F E O 2.如圖，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點O，過點O作EF∥BC，交AB于點E，交AC于點F 求證：EF=EB+FC. 五、 課堂小結(jié)： 等腰三角形的判定方法：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也想等（簡寫成：等角對等邊） 六、作業(yè) P53 1 3 B F D E C A 補充如圖：E在△ABC的AC邊的延長線上，D點在AB邊上，DE交BC于點F，DF=EF，BD=CE。求證：△ABC是等腰三角形(提示：過點D作AE的平行線)。 七、課后反思： 13.3.2《等邊三角形（1）》導(dǎo)學(xué)案 1、 學(xué)習(xí)目標： 1、理解并掌握等邊三角形的定義，探索等邊三角形的性質(zhì)和判定方法 2、能夠用等邊三角形的知識解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題 二、重點難點 學(xué)習(xí)重點：等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明 學(xué)習(xí)難點：等邊三角形性質(zhì)和判定的應(yīng)用 學(xué)習(xí)方法：探索、歸納、交流、練習(xí) 三、課時：第1課時 四、導(dǎo)學(xué)過程： （一）合作探究（同學(xué)合作，教師引導(dǎo)） 1、等腰三角形的性質(zhì)： （1）等腰三角形的 相等 （2）等腰三角形 、 、 互相重合 2、等腰三角形中有一種特殊的等腰三角形是 三角形，即 叫等邊三角形。 3、思考： （1）把等腰三角形的性質(zhì)（等腰三角形的兩個底角相等）用到等邊三角形，能得到什么結(jié)論？ （2）一個三角形滿足什么條件就是等邊三角形？ （3）你認為有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形嗎？ 歸納： （1）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的 （2）等邊三角形的判定： （二）、精講精練 精講: 例1、如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，交AB， AC于D，E。求證△ADE是等邊三角形。 例2、探究：等邊三角形三條中線相交于一點。畫出 圖形，找出圖中所有的全等三角形，并證明它們?nèi)取? 精練： 教材P54練習(xí)第1、2題（完成于書上） 五、課堂小結(jié)：等邊三角形的性質(zhì)、判定 六、作業(yè) 1、如圖，△ABD，△AEC都是等邊三角形， 求證BE＝DC 2、如圖，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分線MN交AC于D，求∠DBC的度數(shù)。 七、課后反思： 13.3.2《等邊三角形（2）》導(dǎo)學(xué)案 一、學(xué)習(xí)目標： 1. 掌握含30o角的直角三角形的性質(zhì)，并能靈活運用這一性質(zhì)解決實際問題。 2. 培養(yǎng)學(xué)生的推理能力和數(shù)學(xué)語言表達能力． 3. 感受數(shù)學(xué)的嚴謹性，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲。 二、重點難點： 重點：含30°角的直角三角形的性質(zhì)定理的證明與運用． 難點：含30°角的直角三角形的性質(zhì)定理的證明。 三、課時：第2課時 四、導(dǎo)學(xué)過程： （一）合作探究 1. 復(fù)習(xí)回顧：等邊三角形的性質(zhì)與判定 2. 問題：用兩個全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一個怎樣的三角形？能拼出一個等邊三角形嗎？說說你的理由． 3. 由2你能想到，在直角三角形中，30°角所對的直角邊與斜邊有怎樣的大小關(guān)系？你能用不同于課本上的方法證明你的結(jié)論嗎？ 4. 由3，我們得到下面的性質(zhì)定理： C B A 在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。 5. 填空：如右圖，在△ABC中， ∵∠C=90o，∠A=30o ∴BC= （ ） （二）、精講精練 例1、如圖是屋架設(shè)計圖的一部分，點D是斜梁AB的中點，立柱BC、DE垂直于橫梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BC、DE要多長？ 例2、等腰三角形的底角為15°，腰長為2a，則腰上的高為 。 （三）課堂精練： 1. 已知：如圖，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高， ∠A=30°． 求證：BD=AB． P F E D C B A 2. 如圖，　△ABC為等邊三角形，D、E分別是AC、BC上的點， 且AD=CE，AE與BD相交于點P，BF⊥AE于點F 求證:BP=2PF 五、課堂小結(jié) 直角三角形中，30度叫所對直角邊等于斜邊的一半 六、作業(yè) P D C B A E F 1、如圖：等邊三角形ABC的邊長為4cm，點D從點C出發(fā)沿CA向A運動，點E從B出發(fā)沿AB的延長線BF向右運動，已知點D、E都以每秒0.5cm的速度同時開始運動，運動過程中DE與BC相交于點P (1). 運動幾秒后，△ADE為直角三角形？ （2）.求證：在運動過程中，點P始終為線段DE的 中點。 (提示：過點D作AF的平行線) 2、 P58 14 3、 P56 6 七、課后反思：