知識講解-指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)-基礎(chǔ).doc
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指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握指數(shù)函數(shù)的概念,了解對底數(shù)的限制條件的合理性,明確指數(shù)函數(shù)的定義域;2.掌握指數(shù)函數(shù)圖象:(1)能在基本性質(zhì)的指導(dǎo)下,用列表描點(diǎn)法畫出指數(shù)函數(shù)的圖象,能從數(shù)形兩方面認(rèn)識指數(shù)函數(shù)的性質(zhì);(2)掌握底數(shù)對指數(shù)函數(shù)圖象的影響;(3)從圖象上體會指數(shù)增長與直線上升的區(qū)別3.學(xué)會利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性來比較大小,包括較為復(fù)雜的含字母討論的類型;4.通過對指數(shù)函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)的學(xué)習(xí),培養(yǎng)觀察、分析歸納的能力,進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想方法;5.通過對指數(shù)函數(shù)的研究,要認(rèn)識到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值,更善于從現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)現(xiàn)問題,解決問題【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、指數(shù)函數(shù)的概念:函數(shù)y=ax(a0且a1)叫做指數(shù)函數(shù),其中x是自變量,a為常數(shù),函數(shù)定義域?yàn)镽.要點(diǎn)詮釋:(1)形式上的嚴(yán)格性:只有形如y=ax(a0且a1)的函數(shù)才是指數(shù)函數(shù)像,等函數(shù)都不是指數(shù)函數(shù)(2)為什么規(guī)定底數(shù)a大于零且不等于1:如果,則如果,則對于一些函數(shù),比如,當(dāng)時,在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)函數(shù)值不存在如果,則是個常量,就沒研究的必要了要點(diǎn)二、指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì):y=ax0a1時圖象圖象性質(zhì)定義域R,值域 (0,+)a0=1, 即x=0時,y=1,圖象都經(jīng)過(0,1)點(diǎn)ax=a,即x=1時,y等于底數(shù)a在定義域上是單調(diào)減函數(shù)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)x1x0時,0ax1x0時,0ax0時,ax1 既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)要點(diǎn)詮釋:(1)當(dāng)?shù)讛?shù)大小不定時,必須分“”和“”兩種情形討論。(2)當(dāng)時,;當(dāng)時。當(dāng)時,的值越大,圖象越靠近軸,遞增速度越快。當(dāng)時,的值越小,圖象越靠近軸,遞減的速度越快。(3)指數(shù)函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對稱。要點(diǎn)三、指數(shù)函數(shù)底數(shù)變化與圖像分布規(guī)律(1) 則:0ba1dc又即:x(0,+)時, (底大冪大) x(,0)時,(2)特殊函數(shù)的圖像:要點(diǎn)四、指數(shù)式大小比較方法(1)單調(diào)性法:化為同底數(shù)指數(shù)式,利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較.(2)中間量法(3)分類討論法(4)比較法比較法有作差比較與作商比較兩種,其原理分別為:若;當(dāng)兩個式子均為正值的情況下,可用作商法,判斷,或即可【典型例題】類型一、指數(shù)函數(shù)的概念例1函數(shù)是指數(shù)函數(shù),求的值【答案】2【解析】由是指數(shù)函數(shù),可得解得,所以【總結(jié)升華】判斷一個函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù):(1)切入點(diǎn):利用指數(shù)函數(shù)的定義來判斷;(2)關(guān)鍵點(diǎn):一個函數(shù)是指數(shù)函數(shù)要求系數(shù)為1,底數(shù)是大于0且不等于1的常數(shù),指數(shù)必須是自變量舉一反三:【變式1】指出下列函數(shù)哪些是指數(shù)函數(shù)?(1);(2);(3);(4);(5);(6)【答案】(1)(5)(6)【解析】(1)(5)(6)為指數(shù)函數(shù)其中(6)=,符合指數(shù)函數(shù)的定義,而(2)中底數(shù)不是常數(shù),而4不是變數(shù);(3)是-1與指數(shù)函數(shù)的乘積;(4)中底數(shù),所以不是指數(shù)函數(shù)類型二、函數(shù)的定義域、值域例2求下列函數(shù)的定義域、值域.(1);(2)y=4x-2x+1;(3);(4)(a為大于1的常數(shù))【答案】(1)R,(0,1);(2)R );(3) ;(4)(-,-1)1,+) 1,a)(a,+)【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽 (對一切xR,3x-1). ,又 3x0, 1+3x1, , , , 值域?yàn)?0,1).(2)定義域?yàn)镽, 2x0, 即 x=-1時,y取最小值,同時y可以取一切大于的實(shí)數(shù), 值域?yàn)?.(3)要使函數(shù)有意義可得到不等式,即,又函數(shù)是增函數(shù),所以,即,即,值域是.(4) 定義域?yàn)?-,-1)1,+),又 , , 值域?yàn)?,a)(a,+).【總結(jié)升華】求值域時有時要用到函數(shù)單調(diào)性;第(3)小題中值域切記不要漏掉y0的條件,第(4)小題中不能遺漏.舉一反三:【變式1】求下列函數(shù)的定義域:(1) (2)(3) (4)【答案】(1)R;(2);(3);(4)a1時,;0a1時,;0a1時,外層函數(shù)y=au在上為增函數(shù),內(nèi)函數(shù)u=x2-2x在區(qū)間上為減函數(shù),在區(qū)間上為增函數(shù),故函數(shù)上為減函數(shù),在區(qū)間上為增函數(shù);當(dāng)0a1時,外層函數(shù)y=au在上為減函數(shù),內(nèi)函數(shù)u=x2-2x在區(qū)間上為減函數(shù),在區(qū)間上為增函數(shù),故函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),在區(qū)間上為減函數(shù).例4證明函數(shù)在定義域上為增函數(shù).【思路點(diǎn)撥】利用函數(shù)的單調(diào)性定義去證明?!窘馕觥慷x域?yàn)閤R,任取x11, x1x2, , , f(x1)1且x2-x10, .【總結(jié)升華】指數(shù)函數(shù)是學(xué)習(xí)了函數(shù)的一般性質(zhì)后,所學(xué)的第一個具體函數(shù).因此,在學(xué)習(xí)中,盡量體會從一般到特殊的過程.例5判斷下列各數(shù)的大小關(guān)系:(1)1.8a與1.8a+1; (2) (3)22.5,(2.5)0, (4)【思路點(diǎn)撥】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)去比較大小?!敬鸢浮浚?)1.8a1時,當(dāng)0a1,所以函數(shù)y=1.8x為單調(diào)增函數(shù),又因?yàn)閍a+1,所以1.8a1時,當(dāng)0a1時,【總結(jié)升華】(1)注意利用單調(diào)性解題的規(guī)范書寫;(2)不是同底的盡量化為同底數(shù)冪進(jìn)行比較(因?yàn)橥撞拍苡脝握{(diào)性);(3)不能化為同底的,借助一個中間量來比較大小(常用的中間量是“0”和“1”).舉一反三:【變式1】比較大?。?1)22.1與22.3 (2)3.53與3.23 (3)0.9-0.3與1.1-0.1 (4)0.90.3與0.70.4 (5).【解析】(1)22.122.3(2)3.533.23.觀察兩函數(shù)值,底數(shù)不同,而指數(shù)不變不是指數(shù)函數(shù),而是y=x3,它為增函數(shù).(3)由0.9-0.3,00.91, -0.31, 1.11, -0.1001.1-0.11.1-0.1;(4)由指數(shù)函數(shù)圖象相對位置關(guān)系數(shù)形結(jié)合,0.90.30.70.4.(5),又函數(shù)為減函數(shù), ,為增函數(shù),時,y1,.另解:冪函數(shù)為增函數(shù),則有,(下略).【高清課堂:指數(shù)函數(shù) 369066 例1】【變式2】利用函數(shù)的性質(zhì)比較,【答案】【解析】= 作出的圖象知 所以【變式3】 比較1.5-0.2, 1.30.7, 的大小.【答案】【解析】先比較的大小.由于底數(shù)(0,1), 在R上是減函數(shù), , ,再考慮指數(shù)函數(shù)y=1.3x, 由于1.31, 所以y=1.3x在R上為增函數(shù)1.30.71.30=1, .【總結(jié)升華】在進(jìn)行數(shù)的大小比較時,若底數(shù)相同,則可根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果,若底數(shù)不相同,則首先考慮能否化成同底數(shù),然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果;不能化成同底數(shù)的,要考慮引進(jìn)第三個數(shù)(如0,1等)分別與之比較,從而得出結(jié)果.總之比較時要盡量轉(zhuǎn)化成底的形式,根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判斷.例6. (分類討論指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性)化簡:【思路點(diǎn)撥】先把被開方數(shù)變形成完全平方式的形式,然后對進(jìn)行分類討論,去掉絕對值?!窘馕觥颗e一反三:【變式1】如果(,且),求的取值范圍【答案】當(dāng)時,;當(dāng)時,【解析】(1)當(dāng)時,由于,解得(2)當(dāng)時,由于,解得綜上所述,的取值范圍是:當(dāng)時,;當(dāng)時,類型四、判斷函數(shù)的奇偶性例7判斷下列函數(shù)的奇偶性: (為奇函數(shù))【答案】偶函數(shù)【解析】f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱(定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,且f(x)的定義域是定義域除掉0這個元素),令,則 g(x)為奇函數(shù), 又 為奇函數(shù), f(x)為偶函數(shù).【總結(jié)升華】求的奇偶性,可以先判斷與的奇偶性,然后在根據(jù)奇奇=偶,偶偶=偶,奇偶=奇,得出的奇偶性舉一反三:【變式1】判斷函數(shù)的奇偶性:.【答案】偶函數(shù)【解析】定義域x|xR且x0,又 , f(-x)=f(x),則f(x)偶函數(shù).類型五、指數(shù)函數(shù)的圖象問題例8如圖的曲線C1、C2、C3、C4是指數(shù)函數(shù)的圖象,而,則圖象C1、C2、C3、C4對應(yīng)的函數(shù)的底數(shù)依次是_、_、_、_【答案】 【解析】由底數(shù)變化引起指數(shù)函數(shù)圖象的變化規(guī)律可知,C2的底數(shù)C1的底數(shù)C4的底數(shù)C3的底數(shù)【總結(jié)升華】利用底數(shù)與指數(shù)函數(shù)圖象之間的關(guān)系可以快速地解答像本題這樣的有關(guān)問題,同時還可以解決有關(guān)不同底的冪的大小比較的問題,因此我們必須熟練掌握這一性質(zhì),這一性質(zhì)可簡單地記作:在y軸的右邊“底大圖高”,在y軸的左邊“底大圖低”舉一反三:【變式1】 設(shè),cba且,則下列關(guān)系式中一定成立的是( )A B C D 【答案】D【變式2】為了得到函數(shù)的圖象,可以把函數(shù)的圖象()A向左平移9個單位長度,再向上平移5個單位長度B向右平移9個單位長度,再向下平移5個單位長度C向左平移2個單位長度,再向上平移5個單位長度D向右平移2個單位長度,再向下平移5個單位長度【答案】C【解析】注意先將函數(shù)轉(zhuǎn)化為,再利用圖象的平移規(guī)律進(jìn)行判斷,把函數(shù)的圖象向左平移2個單位長度,再向上平移5個單位長度,可得到函數(shù)的圖象,故選C【總結(jié)升華】用函數(shù)圖象解決問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要方法,利用其直觀性實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合解題,所以要熟悉基本函數(shù)的圖象,并掌握圖象的變化規(guī)律,比如:平移、伸縮、對稱等- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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