高考數(shù)學(xué)圓錐曲線專題復(fù)習(xí).doc
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圓錐曲線一、知識結(jié)構(gòu)1.方程的曲線在平面直角坐標系中,如果某曲線C(看作適合某種條件的點的集合或軌跡 )上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系:(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解;(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.那么這個方程叫做曲線的方程;這條曲線叫做方程的曲線.點與曲線的關(guān)系 若曲線C的方程是f(x,y)=0,則點P0(x0,y0)在曲線C上f(x0,y 0)=0;點P0(x0,y0)不在曲線C上f(x0,y0)0兩條曲線的交點 若曲線C1,C2的方程分別為f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,則 f1(x0,y0)=0點P0(x0,y0)是C1,C2的交點 f2(x0,y0) =0方程組有n個不同的實數(shù)解,兩條曲線就有n個不同的交點;方程組沒有實數(shù)解,曲線就沒有 交點.2.圓圓的定義:點集:MOM=r,其中定點O為圓心,定長r為半徑.圓的方程:(1)標準方程圓心在c(a,b),半徑為r的圓方程是(x-a)2+(y-b)2=r2圓心在坐標原點,半徑為r的圓方程是x2+y2=r2(2)一般方程當D2+E2-4F0時,一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程,圓心為(-,-),半徑是.配方,將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化為(x+)2+(y+)2=當D2+E2-4F=0時,方程表示一個點(-,-);當D2+E2-4F0時,方程不表示任何圖形.點與圓的位置關(guān)系 已知圓心C(a,b),半徑為r,點M的坐標為(x0,y0),則MCr點M在圓C內(nèi),MC=r點M在圓C上,MCr點M在圓C內(nèi),其中MC=.(3)直線和圓的位置關(guān)系直線和圓有相交、相切、相離三種位置關(guān)系直線與圓相交有兩個公共點直線與圓相切有一個公共點直線與圓相離沒有公共點直線和圓的位置關(guān)系的判定(i)判別式法(ii)利用圓心C(a,b)到直線Ax+By+C=0的距離d=與半徑r的大小關(guān)系來判定.3.橢圓、雙曲線和拋物線基本知識曲線性質(zhì)橢 圓雙曲線拋物線軌跡條件MMF1+MF2=2a,F1F22aMMF1-MF2.=2a,F2F22a.M MF=點M到直線l的距離.圓 形標準方程+=1(ab0)-=1(a0,b0)y2=2px(p0)頂 點A1(-a,0),A2(a,0);B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)O(0,0)軸對稱軸x=0,y=0長軸長:2a短軸長:2b對稱軸x=0,y=0實軸長:2a 虛軸長:2b對稱軸y=0焦 點F1(-c,0),F2(c,0)焦點在長軸上F1(-c,0),F2(c,0)焦點在實軸上F(,0)焦點對稱軸上焦 距F1F2=2c,c=F1F2=2c,c=準 線x=準線垂直于長軸,且在橢圓外.x=準線垂直于實軸,且在兩頂點的內(nèi)側(cè).x=-準線與焦點位于頂點兩側(cè),且到頂點的距離相等.離心率e=,0e1e=,e1e=1 4.圓錐曲線的統(tǒng)一定義平面內(nèi)的動點P(x,y)到一個定點F(c,0)的距離與到不通過這個定點的一條定直線l的距離之 比是一個常數(shù)e(e0),則動點的軌跡叫做圓錐曲線.其中定點F(c,0)稱為焦點,定直線l稱為準線,正常數(shù)e稱為離心率.當0e1時,軌跡為橢圓,當e=1時,軌跡為拋物線當e1時,軌跡為雙曲線5.坐標變換坐標變換 在解析幾何中,把坐標系的變換(如改變坐標系原點的位置或坐標軸的方向)叫做 坐標變換.實施坐標變換時,點的位置,曲線的形狀、大小、位置都不改變,僅僅只改變點 的坐標與曲線的方程.坐標軸的平移 坐標軸的方向和長度單位不改變,只改變原點的位置,這種坐標系的變換叫 做坐標軸的平移,簡稱移軸.坐標軸的平移公式 設(shè)平面內(nèi)任意一點M,它在原坐標系xOy中的坐標是9x,y),在新坐標系x Oy中的坐標是(x,y).設(shè)新坐標系的原點O在原坐標系xOy中的坐標是(h,k),則 x=x+h x=x-h(1) 或(2) y=y+k y=y-k公式(1)或(2)叫做平移(或移軸)公式.中心或頂點在(h,k)的圓錐曲線方程見下表.方 程焦 點焦 線對稱軸橢圓+=1(c+h,k)x=+hx=hy=k+ =1(h,c+k)y=+kx=hy=k雙曲線-=1(c+h,k)=+kx=hy=k-=1(h,c+h)y=+kx=hy=k拋物線(y-k)2=2p(x-h)(+h,k)x=-+hy=k(y-k)2=-2p(x-h)(-+h,k)x=+hy=k(x-h)2=2p(y-k)(h, +k)y=-+kx=h(x-h)2=-2p(y-k)(h,- +k)y=+kx=h二、知識點、能力點提示(一)曲線和方程,由已知條件列出曲線的方程,曲線的交點說明 在求曲線方程之前必須建立坐標系,然后根據(jù)條件列出等式進行化簡 .特別是在求出方程后要考慮化簡的過程是否是同解變形,是否滿足已知條件,只有這樣求 出的曲線方程才能準確無誤.另外,要求會判斷 曲線間有無交點,會求曲線的交點坐標.三、 考綱中對圓錐曲線的要求:考試內(nèi)容:. 橢圓及其標準方程.橢圓的簡單幾何性質(zhì).橢圓的參數(shù)方程;. 雙曲線及其標準方程.雙曲線的簡單幾何性質(zhì);. 拋物線及其標準方程.拋物線的簡單幾何性質(zhì);考試要求:. (1)掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì),理解橢圓的參數(shù)方程;. (2)掌握雙曲線的定義、標準方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì);. (3)掌握拋物線的定義、標準方程和拋物線的簡單幾何性質(zhì);. (4)了解圓錐曲線的初步應(yīng)用。四對考試大綱的理解高考圓錐曲線試題一般有3題(1個選擇題, 1個填空題, 1個解答題), 共計22分左右, 考查的知識點約為20個左右. 其命題一般緊扣課本, 突出重點, 全面考查. 選擇題和填空題考查以圓錐曲線的基本概念和性質(zhì)為主, 難度在中等以下,一般較容易得分,解答題常作為數(shù)學(xué)高考中的壓軸題,綜合考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)換、分類討論、邏輯推理等諸方面的能力,重點考查圓錐曲線中的重要知識點, 通過知識的重組與鏈接, 使知識形成網(wǎng)絡(luò), 著重考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系, 往往結(jié)合平面向量進行求解,在復(fù)習(xí)應(yīng)充分重視。求圓錐曲線的方程【復(fù)習(xí)要點】求指定的圓錐曲線的方程是高考命題的重點,主要考查識圖、畫圖、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、分類討論、邏輯推理、合理運算及創(chuàng)新思維能力,解決好這類問題,除要求熟練掌握好圓錐曲線的定義、性質(zhì)外,命題人還常常將它與對稱問題、弦長問題、最值問題等綜合在一起命制難度較大的題,解決這類問題常用定義法和待定系數(shù)法.一般求已知曲線類型的曲線方程問題,可采用“先定形,后定式,再定量”的步驟.定形指的是二次曲線的焦點位置與對稱軸的位置.定式根據(jù)“形”設(shè)方程的形式,注意曲線系方程的應(yīng)用,如當橢圓的焦點不確定在哪個坐標軸上時,可設(shè)方程為mx2+ny2=1(m0,n0).定量由題設(shè)中的條件找到“式”中特定系數(shù)的等量關(guān)系,通過解方程得到量的大小.【例題】【例1】 雙曲線=1(bN)的兩個焦點F1、F2,P為雙曲線上一點,|OP|5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比數(shù)列,則b2=_.解:設(shè)F1(c,0)、F2(c,0)、P(x,y),則|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)2(52+c2),即|PF1|2+|PF2|250+2c2,又|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|PF2|)2+2|PF1|PF2|,依雙曲線定義,有|PF1|PF2|=4,依已知條件有|PF1|PF2|=|F1F2|2=4c216+8c250+2c2,c2,又c2=4+b2,b2,b2=1.【例2】 已知圓C1的方程為,橢圓C2的方程為,C2的離心率為,如果C1與C2相交于A、B兩點,且線段AB恰為圓C1的直徑,求直線AB的方程和橢圓C2的方程。解:由設(shè)橢圓方程為設(shè) 又 兩式相減,得 又即將由得解得 故所有橢圓方程【例3】 過點(1,0)的直線l與中心在原點,焦點在x軸上且離心率為的橢圓C相交于A、B兩點,直線y=x過線段AB的中點,同時橢圓C上存在一點與右焦點關(guān)于直線l對稱,試求直線l與橢圓C的方程.解法一:由e=,得,從而a2=2b2,c=b.設(shè)橢圓方程為x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓上.則x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,兩式相減得,(x12x22)+2(y12y22)=0,設(shè)AB中點為(x0,y0),則kAB=,又(x0,y0)在直線y=x上,y0=x0,于是=1,kAB=1,設(shè)l的方程為y=x+1.右焦點(b,0)關(guān)于l的對稱點設(shè)為(x,y),由點(1,1b)在橢圓上,得1+2(1b)2=2b2,b2=.所求橢圓C的方程為 =1,l的方程為y=x+1.解法二:由e=,從而a2=2b2,c=b.設(shè)橢圓C的方程為x2+2y2=2b2,l的方程為y=k(x1),將l的方程代入C的方程,得(1+2k2)x24k2x+2k22b2=0,則x1+x2=,y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k=.直線l:y=x過AB的中點(),則,解得k=0,或k=1.若k=0,則l的方程為y=0,焦點F(c,0)關(guān)于直線l的對稱點就是F點本身,不能在橢圓C上,所以k=0舍去,從而k=1,直線l的方程為y=(x1),即y=x+1,以下同解法一.解法3:設(shè)橢圓方程為直線不平行于y軸,否則AB中點在x軸上與直線中點矛盾。故可設(shè)直線,則, 所以所求的橢圓方程為:【例4】 如圖,已知P1OP2的面積為,P為線段P1P2的一個三等分點,求以直線OP1、OP2為漸近線且過點P的離心率為的雙曲線方程.解:以O(shè)為原點,P1OP2的角平分線為x軸建立如圖所示的直角坐標系.設(shè)雙曲線方程為=1(a0,b0)由e2=,得.兩漸近線OP1、OP2方程分別為y=x和y=x設(shè)點P1(x1, x1),P2(x2,x2)(x10,x20),則由點P分所成的比=2,得P點坐標為(),又點P在雙曲線=1上,所以=1,即(x1+2x2)2(x12x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 即x1x2= 由、得a2=4,b2=9故雙曲線方程為=1.【例5】 過橢圓C:上一動點P引圓O:x2 +y2 =b2的兩條切線PA、PB,A、B為切點,直線AB與x軸,y軸分別交于M、N兩點。(1) 已知P點坐標為(x0,y0 )并且x0y00,試求直線AB方程;(2) 若橢圓的短軸長為8,并且,求橢圓C的方程;(3) 橢圓C上是否存在點P,由P向圓O所引兩條切線互相垂直?若存在,請求出存在的條件;若不存在,請說明理由。解:(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2, y2)切線PA:,PB:P點在切線PA、PB上,直線AB的方程為(2)在直線AB方程中,令y=0,則M(,0);令x=0,則N(0,) 2b=8 b=4 代入得a2 =25, b2 =16橢圓C方程: (注:不剔除xy0,可不扣分)(3) 假設(shè)存在點P(x0,y0)滿足PAPB,連接OA、OB由|PA|=|PB|知,四邊形PAOB為正方形,|OP|=|OA| 又P點在橢圓C上 由知xab0 a2 b20(1)當a22b20,即ab時,橢圓C上存在點,由P點向圓所引兩切線互相垂直;(2)當a22b20,即ba0設(shè)x1,x2為方程*的兩根,則 故AB中點M的坐標為(,)線段AB的垂直平分線方程為:將D(0,1)坐標代入,化簡得:4m=3k21故m、k滿足,消去k2得:m24m0解得:m4又4m=3k211 m故m.【直線與圓錐曲線練習(xí)】一、選擇題1斜率為1的直線l與橢圓+y2=1相交于A、B兩點,則|AB|的最大值為( )A.2B. C.D. 2拋物線y=ax2與直線y=kx+b(k0)交于A、B兩點,且此兩點的橫坐標分別為x1,x2,直線與x軸交點的橫坐標是x3,則恒有( )A.x3=x1+x2B.x1x2=x1x3+x2x3C.x1+x2+x3=0D.x1x2+x2x3+x3x1=0二、填空題3已知兩點M(1,)、N(4,),給出下列曲線方程:4x+2y1=0,x2+y2=3,+y2=1,y2=1,在曲線上存在點P滿足|MP|=|NP|的所有曲線方程是_.4正方形ABCD的邊AB在直線y=x+4上,C、D兩點在拋物線y2=x上,則正方形ABCD的面積為_.5在拋物線y2=16x內(nèi),通過點(2,1)且在此點被平分的弦所在直線的方程是_.三、解答題6已知拋物線y2=2px(p0),過動點M(a,0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B,且|AB|2p.(1)求a的取值范圍.(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點N,求NAB面積的最大值.7已知中心在原點,頂點A1、A2在x軸上,離心率e=的雙曲線過點P(6,6).(1)求雙曲線方程.(2)動直線l經(jīng)過A1PA2的重心G,與雙曲線交于不同的兩點M、N,問:是否存在直線l,使G平分線段MN,證明你的結(jié)論.8已知雙曲線C的兩條漸近線都過原點,且都以點A(,0)為圓心,1為半徑的圓相切,雙曲線的一個頂點A1與A點關(guān)于直線y=x對稱.(1)求雙曲線C的方程.(2)設(shè)直線l過點A,斜率為k,當0k1時,雙曲線C的上支上有且僅有一點B到直線l的距離為,試求k的值及此時B點的坐標.直線與圓錐曲線參考答案一、1.解析:弦長|AB|=.答案:C2.解析:解方程組,得ax2kxb=0,可知x1+x2=,x1x2=,x3=,代入驗證即可.答案:B二、3.解析:點P在線段MN的垂直平分線上,判斷MN的垂直平分線于所給曲線是否存在交點.答案:4.解析:設(shè)C、D所在直線方程為y=x+b,代入y2=x,利用弦長公式可求出|CD|的長,利用|CD|的長等于兩平行直線y=x+4與y=x+b間的距離,求出b的值,再代入求出|CD|的長.答案:18或505.解析:設(shè)所求直線與y2=16x相交于點A、B,且A(x1,y1),B(x2,y2),代入拋物線方程得y12=16x1,y22=16x2,兩式相減得,(y1+y2)(y1y2)=16(x1x2).即kAB=8.故所求直線方程為y=8x15.答案:8xy15=0三、6.解:(1)設(shè)直線l的方程為:y=xa,代入拋物線方程得(xa)2=2px,即x22(a+p)x+a2=0|AB|=2p.4ap+2p2p2,即4app2又p0,a.(2)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中點 C(x,y),由(1)知,y1=x1a,y2=x2a,x1+x2=2a+2p,則有x=p.線段AB的垂直平分線的方程為yp=(xap),從而N點坐標為(a+2p,0)點N到AB的距離為從而SNAB=當a有最大值時,S有最大值為p2.7.解:(1)如圖,設(shè)雙曲線方程為=1.由已知得,解得a2=9,b2=12.所以所求雙曲線方程為=1.(2)P、A1、A2的坐標依次為(6,6)、(3,0)、(3,0),其重心G的坐標為(2,2)假設(shè)存在直線l,使G(2,2)平分線段MN,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).則有,kl=l的方程為y= (x2)+2,由,消去y,整理得x24x+28=0.=164280,所求直線l不存在.8.解:(1)設(shè)雙曲線的漸近線為y=kx,由d=1,解得k=1.即漸近線為y=x,又點A關(guān)于y=x對稱點的坐標為(0,).a=b,所求雙曲線C的方程為x2y2=2.(2)設(shè)直線l:y=k(x)(0k1,依題意B點在平行的直線l上,且l與l間的距離為.設(shè)直線l:y=kx+m,應(yīng)有,化簡得m2+2km=2.把l代入雙曲線方程得(k21)x2+2mkx+m22=0,由=4m2k24(k21)(m22)=0.可得m2+2k2=2、兩式相減得k=m,代入得m2=,解設(shè)m=,k=,此時x=,y=.故B(2,).- 31 -- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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