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2015-2016學(xué)年黑龍江省哈爾濱市香坊區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷 　 一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分） 1． （2015秋?香坊區(qū)期末）拋物線y=x2+2的圖象與y軸的交點坐標(biāo)是（　?。? A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（0，﹣2） D．（0，2） 　 2． （2015?黑龍江）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　　） A． B． C． D． 　 3． （2015?松北區(qū)一模）反比例函數(shù)y=的圖象，當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是（　　） A．m＜3 B．m≤3 C．m＞3 D．m≥3 　 4． （2015?永嘉縣二模）將二次函數(shù)y=x2的圖象向右平移1個單位，再向上平移2個單位后，所得圖象的函數(shù)表達式是（　?。? A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=（x﹣1）2﹣2 D．y=（x+1）2﹣2 　 5． （2015秋?香坊區(qū)期末）如圖，將一長為6米的梯子CD斜靠在墻面上，梯子與地面所成的角∠BCD=55°，此時梯子的頂端與地面的距離BD的長為（　?。┟祝? A．6cos55° B． C．6sin55° D． 　 6． （2015秋?香坊區(qū)期末）如圖，利用標(biāo)桿BE測量建筑物的高度，標(biāo)桿BE高1.5m，測得AB=2m，BC=14m，則棱高CD為（　?。? A．10.5m B．9.5m C．12m D．14m 　 7． （2015秋?香坊區(qū)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，若OA=2，∠B=60°，則CD的長（　　） A． B．2 C．2 D．4 　 8． （2015秋?香坊區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AC=BC，BD⊥AC于點D，以點C為旋轉(zhuǎn)中心，將△BCD順時針旋轉(zhuǎn)，得到△ACD′．若∠ABD=35°，則∠BCD′的大小為（　　） A．140° B．145° C．150° D．155° 　 9． （2015秋?香坊區(qū)期末）如圖，在?ABCD中，E是AD上一點，且EM∥AD，EN∥CD，則下列式子中錯誤的是（　　） A． B． C． D． 　 10． （2015秋?香坊區(qū)期末）甲、乙兩車分別從相距480km的A、B兩地相向而行，乙車比甲車先出發(fā)1小時，并以各自的速度勻速行駛，途徑C地，甲車到達C地停留1小時，因有事按原路原速返回A地，乙車從B地直達A地，兩車同時到達A地．甲、乙兩車距各自出發(fā)地的路程y（千米）與甲車出發(fā)所用的時間x（小時）的關(guān)系如圖，下列說法： ①乙車的速度是60千米/時； ②甲車從C返回A的速度為120千米/時； ③t=3； ④當(dāng)兩車相距120千米/時，乙車行駛的時間是4小時， 其中正確的有（　　） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 　 　 二、填空題（共10小題，每小題3分，滿分30分） 11． （2015?郴州）函數(shù)y=中，自變量x的取值范圍是　　　　　?。? 　 12． （2015秋?香坊區(qū)期末）一個扇形面積是36πcm2，半徑是12cm，則這個扇形的弧長是　　　　　　cm． 　 13． （2015秋?香坊區(qū)期末）如圖，A、B兩點在雙曲線y=上，經(jīng)過A、B兩點分別向坐標(biāo)軸作垂線段，已知S陰影=1，則S1+S2=　　　　　　． 　 14． （2015秋?香坊區(qū)期末）二次函數(shù)y=2x2﹣3x+k的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是　　　　　?。? 　 15． （2015?福建）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，則∠CAD=　　　　　　度． 　 16． （2015秋?香坊區(qū)期末）在?ABCD中，M是AB延長線上一點，E是BC的中點，連接ME并延長，交CD于F，交AD延長線于點N，若，BC=4，則AN=　　　　　　． 　 17． （2015秋?香坊區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，O是AB上一點，⊙O與BC相切于點E，交AB于點F，連接AE，若AF=2BF，則∠CAE的度數(shù)是　　　　　　． 　 18． （2015秋?香坊區(qū)期末）在△ABC中，tan∠B=，AB=，AC=，則線段BC的長為　　　　　?。? 　 19． （2015秋?香坊區(qū)期末）如圖，直線y=2x+2與y軸交于A點，與反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象交于點B，過點B作BC⊥x軸于點C，連接AC，若tan∠ACO=2，則此反比函數(shù)解析式為　　　　　?。? 　 20． （2015秋?香坊區(qū)期末）如圖，在△ABC中，D是BC上一點，且AB=BD=3CD，若cos∠DAC=，AD=6，則AC=　　　　　　． 　 　 三、解答題（共7小題，滿分60分） 21．（7分）（2015秋?香坊區(qū)期末）先化簡，再求值：，其中a=6sin30°+cos45°，b=tan60°． 　 22．（7分）（2015秋?香坊區(qū)期末）如圖，在每個小正方形的邊長均為1的方格紙中，有線段AB，點A、B均在小正方形的頂點上． （1）在方格紙中將線段AB繞A點旋轉(zhuǎn)，得到線段AC，點C落在校正方形的頂點上，連接BC，且△ABC的面積為10； （2）在方格紙中畫，以AC所在直線為對稱軸，作△ACB的軸對稱圖形△ACD，連接BD．直接寫出∠BDC的正弦值． 　 23．（8分）（2015秋?香坊區(qū)期末）如圖，AB、CD為⊙O的弦，且AB∥CD，連接CO并延長交AB于F，連接DO并延長交AB于E兩點，求證：AE=BF． 　 24．（8分）（2015秋?香坊區(qū)期末）在△ABC中，AB=AC，以點B為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC順時針旋轉(zhuǎn)得到△DBE．（點A的對應(yīng)點是點D，點C的對應(yīng)點是點E）． （1）如圖1，若BD∥AC，連接CD，求證：四邊形ABDC是菱形； （2）如圖2，當(dāng)點D落在BC上時，若tan∠C=，AB=5，連接CE，求CE的長． 　 25．（10分）（2015秋?香坊區(qū)期末）如圖（1）是某河上一座古拱橋的截面圖，拱橋橋洞上沿是拋物線形狀．拋物線兩端點與水面的距離都是1m，拱橋的跨度為10cm．橋洞與水面的最大距離是5m．橋洞兩側(cè)壁上各有一盞距離水面4m的景觀燈．現(xiàn)把拱橋的截面圖放在平面直角坐標(biāo)系中，如圖（2）．求： （1）拋物線的解析式； （2）兩盞景觀燈P1、P2之間的水平距離． 　 26．（10分）（2015秋?香坊區(qū)期末）如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O，交BC于點D，且BD=CD，交直線AC于點E，連接BE． （1）如圖1，求證：∠CAB=2∠CBE； （2）如圖2，過D作DF⊥AB于F，求證：BE=2DF； （3）如圖3，在（2）的條件下，在∠BDF的內(nèi)部作∠BDM，使∠BDM=∠ABE，DM分別交AB、BE于點N、G，交⊙O于點M，若DF=BN=2，求MG的長． 　 27．（10分）（2015秋?香坊區(qū)期末）已知拋物線y=﹣x2+2kx+3k與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且OA=OC． （1）求此拋物線的解析式； （2）若點P為拋物線上第一象限內(nèi)一點，連接BP，將線段BP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到BQ，連接PQ，過A作直線PQ的垂線，垂足為E，過B作直線PQ的垂線，垂足為F，作線段EF的垂直平分線交x軸于點H，過點H作HD∥y軸，交拋物線于點D，求點D的坐標(biāo)； （3）在（2）的條件下，延長BP交HD延長線于點M，連接AP交HD于點N，當(dāng)MD=NH時，求∠QPA的正切值． 　 　  2015-2016學(xué)年黑龍江省哈爾濱市香坊區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分） 1． （2015秋?香坊區(qū)期末）拋物線y=x2+2的圖象與y軸的交點坐標(biāo)是（　　） A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（0，﹣2） D．（0，2） 【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征． 【分析】根據(jù)y軸上點的坐標(biāo)特征，計算自變量為0時的函數(shù)值即可． 【解答】解：當(dāng)x=0時，y=x2+2=2， 所以拋物線y=x2+2的圖象與y軸的交點坐標(biāo)是（0，2）． 故選D． 【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)滿足其解析式，即已知橫坐標(biāo)可求對應(yīng)的縱坐標(biāo)．本題的關(guān)鍵是確定y軸上點的坐標(biāo)特征． 　 2． （2015?黑龍江）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　　） A． B． C． D． 【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解． 【解答】解：A、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意； B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意； C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意； D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意． 故選：A． 【點評】本題考查了中心對稱及軸對稱的知識，解題時掌握好中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合． 　 3． （2015?松北區(qū)一模）反比例函數(shù)y=的圖象，當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是（　?。? A．m＜3 B．m≤3 C．m＞3 D．m≥3 【考點】反比例函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可得m﹣3＜0，再解不等式即可． 【解答】解：∵當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而增大， ∴m﹣3＜0， 解得m＜3， 故選：A． 【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握對于反比例函數(shù)（k≠0），（1）k＞0，反比例函數(shù)圖象在一、三象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小；（2）k＜0，反比例函數(shù)圖象在第二、四象限內(nèi)，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大． 　 4． （2015?永嘉縣二模）將二次函數(shù)y=x2的圖象向右平移1個單位，再向上平移2個單位后，所得圖象的函數(shù)表達式是（　?。? A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=（x﹣1）2﹣2 D．y=（x+1）2﹣2 【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換． 【分析】根據(jù)函數(shù)圖象右移減、左移加，上移加、下移減，可得答案． 【解答】解：將二次函數(shù)y=x2的圖象向右平移1個單位，再向上平移2個單位后，所得圖象的函數(shù)表達式是 y=（x﹣1）2+2， 故選：A． 【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，函數(shù)圖象右移減、左移加，上移加、下移減是解題關(guān)鍵． 　 5． （2015秋?香坊區(qū)期末）如圖，將一長為6米的梯子CD斜靠在墻面上，梯子與地面所成的角∠BCD=55°，此時梯子的頂端與地面的距離BD的長為（　?。┟祝? A．6cos55° B． C．6sin55° D． 【考點】解直角三角形的應(yīng)用． 【分析】在Rt△BCD中，根據(jù)∠BCD=55°，CD=6米，解直角三角形求出BD的長度即可． 【解答】解：在Rt△BCD中， ∵∠DBC=90°，∠BCD=55°，CD=6米， ∴BD=CD×sin∠BCD=6sin55°． 故選C． 【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用的知識，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件構(gòu)造直角三角形并利用解直角三角形的知識求解，難度適中． 　 6． （2015秋?香坊區(qū)期末）如圖，利用標(biāo)桿BE測量建筑物的高度，標(biāo)桿BE高1.5m，測得AB=2m，BC=14m，則棱高CD為（　　） A．10.5m B．9.5m C．12m D．14m 【考點】相似三角形的應(yīng)用． 【分析】先根據(jù)題意得出△ABE∽△ACD，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求出CD的值． 【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC， ∴EB∥DC， ∴△ABE∽△ACD， ∴=， ∵BE=1.5，AB=2，BC=14， ∴AC=16， ∴=， ∴CD=12． 故選C． 【點評】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，熟知相似三角形的對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵． 　 7． （2015秋?香坊區(qū)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，若OA=2，∠B=60°，則CD的長（　　） A． B．2 C．2 D．4 【考點】垂徑定理；勾股定理． 【分析】根據(jù)弦CD⊥AB于E，OA=2，∠B=60°可知CE=DE=CD，設(shè)BE=x，則CE=DE=BE?tan60°=x，OE=2﹣x，在Rt△ODE中，根據(jù)勾股定理求出x的值，進而可得出結(jié)論． 【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，OA=2，∠B=60°， ∴CE=DE=CD，設(shè)BE=x，則CE=DE=BE?tan60°=x，OE=2﹣x， 在Rt△ODE中，OE=2﹣x，DE=x，OD=2， ∵OE2+DE2=OD2，即（2﹣x）2+（x）2=22，解得x=1， ∴DE=， ∴CD=2DE=2． 故選B． 【點評】本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意得出OE與DE之間的關(guān)系，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵． 　 8． （2015秋?香坊區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AC=BC，BD⊥AC于點D，以點C為旋轉(zhuǎn)中心，將△BCD順時針旋轉(zhuǎn)，得到△ACD′．若∠ABD=35°，則∠BCD′的大小為（　?。? A．140° B．145° C．150° D．155° 【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 【分析】直角△ABD中利用三角形內(nèi)角和定理求得∠BAC的度數(shù)，然后根據(jù)等邊對等角求得∠ABC的度數(shù)，則在△ABC中利用三角形內(nèi)角和定理求得∠BCA的度數(shù)，則∠BCD′即可求得． 【解答】解：∵BD⊥AC， ∴直角△ABD中，∠BAC=90°﹣∠ABD=90°﹣35°=55°， 又∵AC=BC， ∴∠ABC=∠BAC=55°， ∴∠BCA=180°﹣55°﹣55°=70°， 又∵∠BCA=∠ACD'， ∴∠BCD'=70°+70°=140°． 故選A． 【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)：等邊對等角，正確求得∠BCA的度數(shù)是關(guān)鍵． 　 9． （2015秋?香坊區(qū)期末）如圖，在?ABCD中，E是AD上一點，且EM∥AD，EN∥CD，則下列式子中錯誤的是（　　） A． B． C． D． 【考點】平行線分線段成比例． 【分析】由EM∥AD，EN∥CD，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得證得， ==，，，又由四邊形ABCD是平行四邊形，易得，則可求得答案． 【解答】解：A、∵EM∥AD， ∴，故正確； B、∵EM∥AD，EN∥CD， ∴=， =， ∴=，故正確； C、∵EM∥AD，EN∥CD， ∴，， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD=BC，AB=CD， ∴，故正確； D、∵EN∥CD， ∴，故錯誤． 故選D． 【點評】此題考查了平行線分線段成比例定理．注意掌握線段的對應(yīng)關(guān)系． 　 10． （2015秋?香坊區(qū)期末）甲、乙兩車分別從相距480km的A、B兩地相向而行，乙車比甲車先出發(fā)1小時，并以各自的速度勻速行駛，途徑C地，甲車到達C地停留1小時，因有事按原路原速返回A地，乙車從B地直達A地，兩車同時到達A地．甲、乙兩車距各自出發(fā)地的路程y（千米）與甲車出發(fā)所用的時間x（小時）的關(guān)系如圖，下列說法： ①乙車的速度是60千米/時； ②甲車從C返回A的速度為120千米/時； ③t=3； ④當(dāng)兩車相距120千米/時，乙車行駛的時間是4小時， 其中正確的有（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【考點】一次函數(shù)的應(yīng)用． 【專題】行程問題． 【分析】根據(jù)函數(shù)圖象和已知條件，可以判斷①②③④是否正確，從而可以解答本題． 【解答】解：由圖象可得，乙車的速度為：60÷1=60千米/時，故①正確； 甲車從開始最后回到A地用的時間為：（480﹣60）÷60=7（小時） 則甲從C返回A地的速度為：360÷=120千米/時，故②正確； 由圖可得：t==3（小時），故③正確； 由圖象可知，兩車相距120千米時有三種情況，相遇前一種，相遇后兩種，故④錯誤； 故①②③正確． 故選C． 【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想找出所求問題需要的條件． 　 二、填空題（共10小題，每小題3分，滿分30分） 11． （2015?郴州）函數(shù)y=中，自變量x的取值范圍是　x≠2　． 【考點】函數(shù)自變量的取值范圍；分式有意義的條件． 【專題】計算題． 【分析】求函數(shù)自變量的取值范圍，就是求函數(shù)解析式有意義的條件，分式有意義的條件是：分母不為0． 【解答】解：要使分式有意義，即：x﹣2≠0， 解得：x≠2． 故答案為：x≠2． 【點評】本題主要考查函數(shù)自變量的取值范圍，考查的知識點為：分式有意義，分母不為0． 　 12． （2015秋?香坊區(qū)期末）一個扇形面積是36πcm2，半徑是12cm，則這個扇形的弧長是　6π　cm． 【考點】扇形面積的計算；弧長的計算． 【分析】直接根據(jù)扇形的面積公式計算即可． 【解答】解：設(shè)弧長為l， ∵扇形的面積為36πcm2，半徑為12cm， ∴×4?l=36π， ∴l(xiāng)=6π． 故答案為：6π． 【點評】本題考查了扇形的面積公式：S=?l?R（l為扇形的弧長，R為半徑），熟記扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵． 　 13． （2015秋?香坊區(qū)期末）如圖，A、B兩點在雙曲線y=上，經(jīng)過A、B兩點分別向坐標(biāo)軸作垂線段，已知S陰影=1，則S1+S2=　10?。? 【考點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義． 【分析】根據(jù)反比例系數(shù)k的幾何意義得到S1+S陰影=S2+S陰影=6，由S陰影=1得S1=S2=5，然后計算S1+S2． 【解答】解：根據(jù)題意得S1+S陰影=S2+S陰影=6， 而S陰影=1， 所以S1=S2=5， 所以S1+S2=10． 故答案為10． 【點評】本題考查了反比例系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)y=圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|．在反比例函數(shù)的圖象上任意一點象坐標(biāo)軸作垂線，這一點和垂足以及坐標(biāo)原點所構(gòu)成的三角形的面積是|k|，且保持不變． 　 14． （2015秋?香坊區(qū)期末）二次函數(shù)y=2x2﹣3x+k的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是　k≤?。? 【考點】拋物線與x軸的交點． 【專題】計算題． 【分析】利用△=b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)得到△=（﹣3）2﹣4×2×k≥0，然后解不等式即可． 【解答】解：∵二次函數(shù)y=2x2﹣3x+k的圖象與x軸有交點， ∴△=（﹣3）2﹣4×2×k≥0， ∴k≤． 故答案為k≤． 【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），△=b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)：△=b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點． 　 15． （2015?福建）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，則∠CAD=　36　度． 【考點】圓周角定理；正多邊形和圓． 【分析】圓內(nèi)接正五邊形ABCDE的頂點把圓五等分，即可求得五條弧的度數(shù)，根據(jù)圓周角的度數(shù)等于所對的弧的度數(shù)的一半即可求解． 【解答】解：∵五邊形ABCDE是正五邊形， ∴=====72°， ∴∠CAD=×72°=36°． 故答案為36． 【點評】本題考查了正多邊形的計算，理解正五邊形的頂點是圓的五等分點是關(guān)鍵． 　 16． （2015秋?香坊區(qū)期末）在?ABCD中，M是AB延長線上一點，E是BC的中點，連接ME并延長，交CD于F，交AD延長線于點N，若，BC=4，則AN=　7?。? 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)． 【專題】計算題． 【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥BC，AB=CD，則由得到=，根據(jù)比例性質(zhì)得=，接著證明△MBE∽△BAN，然后利用相似比可計算出AN． 【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形， ∴AD∥BC，AB=CD， 而， ∴=， ∴=，即=， ∵E是BC的中點，BC=4， ∴BE=2， ∵BE∥AN， ∴△MBE∽△BAN， ∴=，即=， ∴AN=7． 故答案為7． 【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形．在利用相似三角形的性質(zhì)時，注意通過相似比計算相應(yīng)線段的長或?qū)?yīng)角線段．解決本題的關(guān)鍵是利用平行四邊形的性質(zhì)對邊平行而構(gòu)建相似三角形． 　 17． （2015秋?香坊區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，O是AB上一點，⊙O與BC相切于點E，交AB于點F，連接AE，若AF=2BF，則∠CAE的度數(shù)是　30°　． 【考點】切線的判定． 【分析】連接OE、EF，根據(jù)圓周角定理和切線的性質(zhì)得出OE⊥BC，∠AEF=90°，然后根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出OE=OF=EF，求得∠OEF=60°，得出∠AEO=30°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求得∠CAE=∠AEO=30°． 【解答】解：連接OE、EF， ∵⊙O與BC相切于點E， ∴OE⊥BC， ∵AF是直徑， ∴∠AEF=90°， ∵OA=OF=AF，AF=2BF， ∴OF=BF， ∴OE=OF=EF， ∴∠OEF=60°， ∴∠AEO=90°﹣60°=30°， ∵AC⊥BC，OE⊥BC， ∴OE∥AC， ∴∠CAE=∠AEO=30°， 故答案為30°． 【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等，作出輔助線構(gòu)建等邊三角形是解題的關(guān)鍵． 　 18． （2015秋?香坊區(qū)期末）在△ABC中，tan∠B=，AB=，AC=，則線段BC的長為　4或2?。? 【考點】解直角三角形． 【分析】此題分兩種情況：如圖1，過A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，由已知條件tan∠B=，設(shè)AD=3x，BD=4x，根據(jù)勾股定理求出x的值，從而得出AD=2，BD=3，在Rt△ADC中，根據(jù)勾股定理得出CD=3，于是得到結(jié)果；如圖2，過A作AD⊥BC交BC的延長線于D，同理可得結(jié)果． 【解答】解：如圖1，過A作AD⊥BC于D， 在Rt△ABD中，∵tan∠B=， ∴設(shè)AD=2x，BD=3x， ∵AD2+BD2=AB2， ∴（2x）2+（3x）2=（）2， ∴x=1， ∴AD=2，BD=3， 在Rt△ADC中，CD==1， ∴BC=BD+CD=4； 如圖2，過A作AD⊥BC交BC的延長線于D， 在Rt△ABD中，∵tan∠B=， ∴設(shè)AD=2x，BD=3x， ∵AD2+BD2=AB2， ∴（2x）2+（3x）2=（）2， ∴x=1， ∴AD=2，BD=3， 在Rt△ADC中，CD==1， ∴BC=BD﹣CD=2； 故答案為：4或2． 【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊． 　 19． （2015秋?香坊區(qū)期末）如圖，直線y=2x+2與y軸交于A點，與反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象交于點B，過點B作BC⊥x軸于點C，連接AC，若tan∠ACO=2，則此反比函數(shù)解析式為　y=　． 【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題． 【分析】根據(jù)直線的解析式求得A的坐標(biāo)，然后根據(jù)已知求得B的橫坐標(biāo)，把B的橫坐標(biāo)代入直線解析式求得B的坐標(biāo)，然后代入y=（x＞0），根據(jù)待定系數(shù)法即可求得． 【解答】解：∵直線y=2x+2與y軸交于A點， ∴A（0，2）， ∴OA=2， ∵tan∠ACO=2， ∴=2， ∴OC=1， ∴B的橫坐標(biāo)為1， 把x=1代入y=2x+2得，y=2×1+2=4， ∴B（1，4）， 代入y=（x＞0）得，4=， ∴k=4， ∴反比函數(shù)解析式為y=， 故答案為y=． 【點評】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點問題，求得B點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵． 　 20． （2015秋?香坊區(qū)期末）如圖，在△ABC中，D是BC上一點，且AB=BD=3CD，若cos∠DAC=，AD=6，則AC=　8?。? 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形． 【分析】作CE⊥AD，BF⊥AD垂足分別為E、F，由△BFD∽△CED得==3，因為AF=FD=3，可以求出DE=1，AE=7，再在RT△AEC利用cos∠EAC求出AC即可． 【解答】解：作CE⊥AD，BF⊥AD垂足分別為E、F． ∵∠BFE=∠CEA=90°， ∴BF∥CE， ∴△BFD∽△CED， ∴==3， ∵BA=BD，BF⊥AD， ∴AF=DF=3，DE=1， 在RT△AEC中，∵∠AEC=90°，AE=7，cos∠EAC=， ∴， ∴AC=8． 故答案為8． 【點評】本題考查相似三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是由三角形相似得出邊的比例關(guān)系，求出相應(yīng)的線段，記住等腰三角形的高是常用輔助線． 　 三、解答題（共7小題，滿分60分） 21．（7分）（2015秋?香坊區(qū)期末）先化簡，再求值：，其中a=6sin30°+cos45°，b=tan60°． 【考點】分式的化簡求值；特殊角的三角函數(shù)值． 【專題】計算題． 【分析】先把括號內(nèi)通分，再把分子分解因式后把除法運算化為乘法運算得到原式=，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計算出a和b的值，再把a和b的值代入中計算即可． 【解答】解：原式=÷ =? =， ∵a=6sin30°+cos45°=6×+=3+，b=tan60°=×=3， ∴原式==． 【點評】本題考查了分式的化簡求值：先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應(yīng)的值代入求出分式的值．在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡．化簡的最后結(jié)果分子、分母要進行約分，注意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．也考查了特殊角的三角函數(shù)值． 　 22．（7分）（2015秋?香坊區(qū)期末）如圖，在每個小正方形的邊長均為1的方格紙中，有線段AB，點A、B均在小正方形的頂點上． （1）在方格紙中將線段AB繞A點旋轉(zhuǎn)，得到線段AC，點C落在校正方形的頂點上，連接BC，且△ABC的面積為10； （2）在方格紙中畫，以AC所在直線為對稱軸，作△ACB的軸對稱圖形△ACD，連接BD．直接寫出∠BDC的正弦值． 【考點】作圖-旋轉(zhuǎn)變換；作圖-軸對稱變換． 【專題】作圖題． 【分析】（1）由于AB==5，而△ABC的面積為10，則點B到AC的距離為4，然后再過點A的水平格線上取5個單位即可得到C點，從而得到△ABC； （2）作點B關(guān)于直線AC的對稱點D，則可得到△ADC，BD與直線AC相交于點E，計算出DC和CE，然后利用正弦的定義可計算出∠BDC的正弦值． 【解答】解：（1）如圖，△ABC為所作； （2）如圖，△ACD為所求作，tan∠BDC==． 【點評】本題考查了作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．也考查了軸對稱變換． 　 23．（8分）（2015秋?香坊區(qū)期末）如圖，AB、CD為⊙O的弦，且AB∥CD，連接CO并延長交AB于F，連接DO并延長交AB于E兩點，求證：AE=BF． 【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】過O作OH⊥AB于H，由垂徑定理得出AH=BH，由等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得出∠OFE=∠OEF，證出OE=OF，由等腰三角形的三線合一性質(zhì)得出EH=FH，即可得出結(jié)論． 【解答】證明：過O作OH⊥AB于H，如圖所示： 則AH=BH， ∵OC=OD， ∴∠C=∠D， ∵CD∥AB， ∴∠C=∠OFE，∠D=∠OEF， ∴∠OFE=∠OEF， ∴OE=OF， ∵OH⊥AB， ∴EH=FH， ∴AH﹣EH=BH﹣FH， ∴AE=BF． 【點評】本題考查了垂徑定理、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)；熟練掌握垂徑定理，證明三角形是等腰三角形是解決問題的關(guān)鍵． 　 24．（8分）（2015秋?香坊區(qū)期末）在△ABC中，AB=AC，以點B為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC順時針旋轉(zhuǎn)得到△DBE．（點A的對應(yīng)點是點D，點C的對應(yīng)點是點E）． （1）如圖1，若BD∥AC，連接CD，求證：四邊形ABDC是菱形； （2）如圖2，當(dāng)點D落在BC上時，若tan∠C=，AB=5，連接CE，求CE的長． 【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)；解直角三角形． 【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AB=BD，從而得到AC=BD，由一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形可知四邊形ABDC為平行四邊形，然后由AB=AC可知四邊形ABDC為菱形； （2）過A作AF⊥BC于F，過E作EH⊥BC于H．由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知CF=BF，由tan∠ACF==．可求得AF=4，CF=BF=3，從而得到BC=BF+CF=6．由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得BE=BC=6，∠DBE=∠ABC．由銳角三角函數(shù)的定義可求得BH和EH的長，由CH=BC﹣BH可求得HC=．最后在CH中由勾股定理可求得CE的長． 【解答】解：（1）∵由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AB=BD，AB=AC， ∴AC=BD． 又∵AC∥BD， ∴四邊形ABDC為平行四邊形． 又∵AB=AC， ∴四邊形ABDC為菱形． （2）如圖所示：過A作AF⊥BC于F，過E作EH⊥BC于H，連接CE． ∵AC=AB=5 ∴∠ACB=∠ABC ∵AF⊥BC ∴CF=BF． 在Rt△AFC中，tan∠ACF==． 設(shè)AF=4a，CF=3a ∴在Rt△AFC中，AC==5a=5． ∴a=1． ∴AF=4，CF=BF=3a=3 ∴BC=BF+CF=6． 在Rt△AFC中，sin∠ACB=，cos∠ACB=． 由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，BE=BC=6，∠DBE=∠ABC． ∴sin∠DBE=，cos∠DBE=． ∵EH⊥BC， ∴在Rt△BHE中，EH=BE?sin∠DBE=6×=，BH=BE?cos∠DBE=6×=． ∴CH=BC﹣BH=． ∴在Rt△CHE中，CE==． 【點評】本題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、平行四邊形、菱形的判定，銳角三角函數(shù)的定義、等腰三角形的性質(zhì)，求得HE、CH的長是解題的關(guān)鍵． 　 25．（10分）（2015秋?香坊區(qū)期末）如圖（1）是某河上一座古拱橋的截面圖，拱橋橋洞上沿是拋物線形狀．拋物線兩端點與水面的距離都是1m，拱橋的跨度為10cm．橋洞與水面的最大距離是5m．橋洞兩側(cè)壁上各有一盞距離水面4m的景觀燈．現(xiàn)把拱橋的截面圖放在平面直角坐標(biāo)系中，如圖（2）．求： （1）拋物線的解析式； （2）兩盞景觀燈P1、P2之間的水平距離． 【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】（1）由圖形可知這是一條拋物線，根據(jù)圖形也可以知道拋物線的頂點坐標(biāo)為（5，5），與y軸交點坐標(biāo)是（0，1），設(shè)出拋物線的解析式將兩點代入可得拋物線方程； （2）第二題中要求燈的距離，只需要把縱坐標(biāo)為4代入，求出x，然后兩者相減，就是它們的距離． 【解答】解：（1）拋物線的頂點坐標(biāo)為（5，5），與y軸交點坐標(biāo)是（0，1）， 設(shè)拋物線的解析式是y=a（x﹣5）2+5， 把（0，1）代入y=a（x﹣5）2+5， 得a=﹣， ∴y=﹣（x﹣5）2+5（0≤x≤10）； （2）由已知得兩景觀燈的縱坐標(biāo)都是4， ∴4=﹣（x﹣5）2+5， ∴（x﹣5）2=1， ∴x1=，x2=， ∴兩景觀燈間的距離為﹣=5米． 【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，從圖象中可以看出的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵． 　 26．（10分）（2015秋?香坊區(qū)期末）如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O，交BC于點D，且BD=CD，交直線AC于點E，連接BE． （1）如圖1，求證：∠CAB=2∠CBE； （2）如圖2，過D作DF⊥AB于F，求證：BE=2DF； （3）如圖3，在（2）的條件下，在∠BDF的內(nèi)部作∠BDM，使∠BDM=∠ABE，DM分別交AB、BE于點N、G，交⊙O于點M，若DF=BN=2，求MG的長． 【考點】圓的綜合題． 【分析】（1）連接AD，由AB為⊙O的直徑，得到∠ADB=90°，推出AD垂直平分BC，AB=AC，得到AD平分∠BAC，即可得到結(jié)論； （2）延長DF交⊙O于K，連接DE，由AB為⊙O的直徑，得到∠AEB=90°，于是得到DE=BC，推出DF=FK，BK=BD，求得DK=2DF，BK=DE，等量代換即可得到結(jié)論； （3）連接AD，連接ED，由BE=2DF，DF=2，得到BE=4，求得BN=，推出△DAE≌△DNB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=NB=，解直角三角形求得CE=AC+AE=4，過G作GH⊥BD于H，則在Rt△GHD中，tan∠GDH==，設(shè)GH=a，DH=4a，于是得到tan∠GBH===，推出DH=，GH=，由勾股定理得到D=，連接BM，推出△GDB∽△BDM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論． 【解答】（1）證明：連接AD ∵AB為⊙O的直徑， ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BC， 又∵BD=CD， ∴AD垂直平分BC，AB=AC， ∴AD平分∠BAC， ∴∠CAB=2∠CAD， ∵∠CAD=∠CBE， ∴∠CAB=2∠CBE， （2）證明：延長DF交⊙O于K，連接DE， ∵AB為⊙O的直徑， ∴∠AEB=90°， ∵BD=CD， ∴DE=BC， ∴DE=BD=CD， ∴DE=DB， ∵AB⊥DK，且AB為⊙O的直徑， ∴DF=FK，BK=BD， ∴DK=2DF，BK=DE， ∴BK+EK=DE+EK， ∴DK=BE， ∴DK=BE， ∴BE=2DF， （3）解：連接AD，連接ED， ∵BE=2DF，DF=2， ∴BE=4， ∵BN=2， ∴BN=， ∵∠BDM=∠ABE∠ADE=∠ABE， ∴∠ADE=∠BDM， 在△DAE與△DNB中，， ∴△DAE≌△DNB， ∴AE=NB=， 在Rt△AEB中，AB==3， tan∠ABE==， ∴AC=AB=3，tan∠BDG=， ∴CE=AC+AE=4， 在Rt△CEB中，tan∠CBE==， 過G作GH⊥BD于H，則在Rt△GHD中，tan∠GDH==， 設(shè)GH=a，DH=4a， ∴在Rt△GHB中，tan∠GBH===， ∴BH=a， ∴BD=BH+DH=a+4a=6， ∴a=， ∴DH=，GH=， 在Rt△DHG中，DG===， 連接BM， ∵DB=DE， ∴∠DEB=∠DBE， ∵∠DEB=∠M， ∴∠DBG=∠M， ∵∠GDB=∠BDM， ∴△GDB∽△BDM， ∴，即， ∴DM=5， ∴MG=DM﹣DG=． 【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，圓周角定理，銳角三角函數(shù)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵． 　 27．（10分）（2015秋?香坊區(qū)期末）已知拋物線y=﹣x2+2kx+3k與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且OA=OC． （1）求此拋物線的解析式； （2）若點P為拋物線上第一象限內(nèi)一點，連接BP，將線段BP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到BQ，連接PQ，過A作直線PQ的垂線，垂足為E，過B作直線PQ的垂線，垂足為F，作線段EF的垂直平分線交x軸于點H，過點H作HD∥y軸，交拋物線于點D，求點D的坐標(biāo)； （3）在（2）的條件下，延長BP交HD延長線于點M，連接AP交HD于點N，當(dāng)MD=NH時，求∠QPA的正切值． 【考點】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）由拋物線解析式得到C（0，3k），結(jié)合已知條件得到點A的坐標(biāo)，把點A的坐標(biāo)代入拋物線解析式列出關(guān)于k的一元二次方程，通過解方程求得k的值即可； （2）根據(jù)平行線的判定推知AE∥GH∥BF，則由平行線分線段成比例得到： ==1，由點的坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)求得H（1，0）．又因為DH∥y軸，所以點D的橫坐標(biāo)為1．把點D的橫坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求得點D的縱坐標(biāo)； （3）設(shè)P（m，﹣m2+2m+3）．由拋物線上點的坐標(biāo)特征和待定系數(shù)法求得直線PA的解析式為y=（3﹣m）x+3﹣m，易得NH=6﹣2m．同理，由直線PB的解析式得到MH=2m+2，結(jié)合MD=NH，求得P（2，3）．如圖2，過P作PK⊥AB于K，構(gòu)建等角∠QPA=∠BPK，所以通過解Rt△PKB得到：tan∠BPK==，即tan∠QPA=． 【解答】（1）解：當(dāng)x=0時，y=﹣02+2k×0+3k， 解得y=3k， ∴C（0，3k）， ∴OC=3k． ∵OA=OC， ∴OA=k， ∴A（﹣k，0）． ∵點A在拋物線上， ∴0=﹣（﹣k）2+2k×（﹣k）+3k， 解得k1=0（舍去），k2=1， ∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3； （2）解：如圖1，∵拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3， ∴當(dāng)y=0時，0=﹣x2+2x+3， 解得x1=﹣1，x2=3， ∴A（﹣1，0）B（3，0）， ∴OA=1，OB=3， ∴AB=OA+OB=4． ∵AE⊥PQ，BF⊥PQ， ∴∠AEP=∠BFQ=90°， ∴AE∥BF． ∵GH垂直平分EF， ∴EG=FG，∠HGQ=90°， ∴∠HGQ=∠BFQ， ∴GH∥BF， ∴AE∥GH∥BF， ∴==1， ∴AH=BH=AB=2， ∴OH=OB﹣BH=1， ∴H（1，0）． ∵DH∥y軸， ∴點D的橫坐標(biāo)為1． ∵點D在拋物線上， ∴當(dāng)x=1時，y=﹣12+2×1+3=4， ∴D（1，4）； （3）解：∵點P在拋物線y=﹣x2+2x+3上，設(shè)P（m，﹣m2+2m+3） 由（2）知A（﹣1，0）B（3，0）設(shè)直線PA的解析式為y=k1x+b1 點A（﹣1，0）、P（m，﹣m2+2m+3）在直線PA上，則 ， 解得， ∴直線PA的解析式為y=（3﹣m）x+3﹣m， ∵N的橫坐標(biāo)為1 ∴當(dāng)x=1時，y=（3﹣m）×1+3﹣m=6﹣2m， ∴NH=6﹣2m． 設(shè)直線PB的解析式為y=k2x+b2（k2≠0）． 點B（3，0）、P（m，﹣m2+2m+3）在直線PB上，則 ， 解得， ∴直線PB的解析式為y=（﹣m﹣1）x+3m+3． ∵M的橫坐標(biāo)為1， ∴當(dāng)x=1時，y=（﹣m﹣1）×1+3m+3=2m+2， ∴MH=2m+2， ∵D（1，4）， ∴DH=4， ∴MD=MH﹣DH=2m﹣2． ∵MD=NH， ∴2m﹣2=6﹣2m， 解得m=2， ∴P（2，3）． 如圖2，過P作PK⊥AB于K， ∴OK=2，PK=3， ∴AK=OA+OK=3，BK=OB﹣OK=1， ∴AK=PK=3． ∵PK⊥AB， ∴∠PKA=90°， ∴∠PAK=∠APK=45°． ∵BP=BQ，∠PBQ=90°， ∴∠BPQ=∠BQP=45° ∴∠APK﹣∠QPK=∠QPB﹣∠QPK，即∠QPA=∠BPK， 在Rt△PKB中，tan∠BPK==， ∴tan∠QPA=． 【點評】本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)解析式，圖形旋轉(zhuǎn)變換，平行線的判定與性質(zhì)等重要知識點，綜合性強，能力要求極高．考查學(xué)生熟練運用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法． 　 第38頁（共38頁）