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廣東省北大附中深圳南山分校2011屆高三上學(xué)期期末試題 數(shù)學(xué) (文科) 參考公式：錐體的體積公式，其中S為錐體的底面積，和h為錐體的高. 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只 有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案的編號(hào)用鉛筆涂在答題卡上． 1.設(shè)全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1， 3，5}，N={3，4，5}，則集合(?UM)∩N= A. {4} B. {2，3，4，5} C. {1， 3，4，5} D.Φ 2.若復(fù)數(shù)z1=3+i，z2=2－i，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.在下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有幾個(gè) ①f(x)=sin(π－x)； ②； ③f(x)=x3－x； ④f(x)=2x+2-x. A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 4.設(shè)x，y滿足約束條件，則z=2x+y的最大值等于 第5題圖 A.1 B.2 C.0 D.1.5 5.為了解地震災(zāi)區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā) 育狀況，抽查了該地區(qū)100名年齡為 17歲～18歲的男生體重(kg)，得 到如圖頻率分布直方圖. 根據(jù)右圖可 知體重在[56.5，64.5)的學(xué)生人數(shù)有 A.20人 B.30人 C.40人 D.50人 6.設(shè)m、n是兩條直線，α、β是兩個(gè)不同平面，下列命題正確的是 A.若m⊥α，nìβ，m⊥n，則α⊥β 開始 輸出S 結(jié)束 N 第7題圖 T≤10000 Y T=T+1 S=0 T=1 N S=S+1 Y 觀看直播 B.若α⊥β，m⊥α， n∥β，則m⊥n C.若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，則n⊥β D.若α∥β，m⊥α， n∥β，則m⊥n 7.為了解“廣州亞殘會(huì)開幕式”電視直播節(jié)目的 收視情況，某機(jī)構(gòu)在深圳市隨機(jī)抽查了10000 人，把抽查結(jié)果輸入如圖所示的程序框圖中， 其輸出的數(shù)值是3800，則該節(jié)目的收視率為 A.3800 B.6200 C.0.62 D.0.38 8.“x(x－3)≤0”是“| x－2|≤2”成立的 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 9. 20070126 在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點(diǎn)P， 則△PBC的面積不小于的概率是 A. 　　　 B. 　　　　 C. 　　　 D. 10.若x、y是正數(shù)．x、a、b、y四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列， x、m、n、y四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列. 則的取值范圍是 A.[2，+∞) B.(0，+∞) C.(0，4] 　 D. [4，+∞) 第Ⅱ卷(非選擇題共100分) 二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，其中14～15是選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計(jì)算前一題得分，共20分．把答案填在答題卡上． (一)必做題(11～13題) 11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，則 . 12.已知拋物線y2=2px的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，則p的值為 . 13.設(shè)f0(x)=cosx，f1(x)= f0＇(x)，f2(x)= f1＇(x)，…，fn+1(x)= fn＇(x)，n∈N*，則 f2011 (x)= . (二)選做題(14 ~ 15題，考生只能從中選做一題) D C O B P E A 第15題圖 14.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講選做題) 圓C：(θ為參數(shù))的圓心到直線 l：(t為參數(shù))的距離為 . 15.(幾何證明選講選做題)如圖，PC切⊙O于點(diǎn) C，割線PAB經(jīng)過(guò)圓心O，弦CD⊥AB于點(diǎn)E， PC=4，PB=8，則CD=___________. 三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明或演算步驟. 16.(本小題滿分12分) 已知函數(shù). (Ⅰ)若，，求函數(shù)f(x)的值； (Ⅱ)求函數(shù)f(x)的最小正周期和值域. 17.(本小題滿分12分) 關(guān)于x的方程x2+Bx+C=0的系數(shù)B、C分別是一枚骰子先后擲兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù). (Ⅰ) 求該方程有實(shí)根的概率； (Ⅱ)求－2是該方程的一個(gè)根的概率. 18.(本小題滿分14分) 如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)． (Ⅰ) 證明：BC1//平面ACD1； (Ⅱ)證明：A1D⊥D1E； (Ⅲ) 當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到面 ACD1的距離. D C B A1 E A B1 C1 D1 19.(本小題滿分14分) 若函數(shù) (a，b∈R)，且其導(dǎo)函數(shù)f′ (x)的圖象過(guò)原點(diǎn)． (Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的圖象在x=3處的切線方程； (Ⅱ)若存在x<0使得f′ (x)=－9，求實(shí)數(shù)a的最大值． 20.(本小題滿分14分) 已知等差數(shù)列{an}中，a1=－1，前12項(xiàng)和S12=186． (Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (Ⅱ)若數(shù)列{bn}滿足，記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn, 求證： (n∈N*). 21.(本小題滿分14分) 橢圓中心是原點(diǎn)O，它的短軸長(zhǎng)為，右焦點(diǎn)F(c，0) (c>0)，它的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a(a>c>0)，直線l：與x軸相交于點(diǎn)A，|OF|=2|FA|，過(guò)點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)． (Ⅰ)求橢圓的方程和離心率； (Ⅱ)若，求直線PQ的方程； (Ⅲ)設(shè) (λ>1)，過(guò)點(diǎn)P且平行于直線的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M， 證明：． (命題人：南頭中學(xué) 萬(wàn)秉生 審題人：區(qū)教研室 羅誠(chéng)) 廣東省北大附中深圳南山分校2011屆高三上學(xué)期期末試題 高三數(shù)學(xué)(文科) 參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 2011.1.13 一、選擇題：(10×5＇=50＇) 題 號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案 A A C B C D C A B D 二、填空題：(4×5＇=20＇) 11、5； 　　12、4 ； 13、sinx； 14、2；　　　 15、4.8. 三、解答題：（80＇） 16.解：(Ⅰ)∵，，∴， ……2分 又 ……3分 ， ……4分 ∴. ……6分 (Ⅱ) ， ……8分 ∴， ……10分 ∵x∈R，∴， ……11分 所以函數(shù)f(x)的最小正周期為2π，值域?yàn)閇－2，2]． ……12分 17.解：用(B，C)表示將一枚骰子先后擲兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)(B是第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，C是 第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù))，則將一枚骰子先后擲兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的情況共有下列36種： (1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)， (2，5)，(2，6)， ……， ……， ……， (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)， ……4分 (Ⅰ)要使方程x2+Bx+C=0有實(shí)數(shù)根，當(dāng)且僅當(dāng)△=B2－4C≥0. ……5分 在上述36種基本情況中，適合B2－4C≥0的情況有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)， (4，2)，(4，3)，(4，4)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)， (6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)， ……7分 共計(jì)19種，所以該方程有實(shí)根的概率為. ……8分 (Ⅱ)當(dāng)－2是該方程的根時(shí)，有(－2)2+B(－2)+C=0， ，即2B=C+4. ……9分 在上述36種基本情況中，適合2B=C+4的情況只有 (3，2)，(4，4)，(5，6)， ……10分 ∴， ……11分 所以－2是該方程的一個(gè)根的概率為. ……12分 D C B A1 E A B1 C1 D1 (注：用數(shù)表等其他形式列出基本事件一樣給分) 18.(Ⅰ)證明：∵AB//A1B1，AB=A1B1， A1B1// D1C1，A1B1= D1C1， ∴AB// D1C1，AB=D1C1， ……1分 ∴AB C1 D1為平行四邊形，……2分 ∴B C1 // AD1， ……3分 又B C1平面ACD1，AD1ì平面ACD1， ……4分 所以BC1//平面ACD1. ……5分 (Ⅱ) 證明：∵ AE⊥平面AA1D1D，A1Dì平面AA1D1D， ∴ A1D⊥AE， ……6分 AA1D1D為正方形，∴A1D⊥A D1 ， ……7分 又A1D∩AE =A，∴A1D⊥平面AD1E， ……9分 A1Dì平面AD1E，∴A1D⊥D1E， ……10分 (Ⅲ) 解：設(shè)點(diǎn)E到面 ACD1的距離為h， 在△ACD1中，，， ……11分 故，而， ……12分 ∴， ……13分 即 ，從而， 所以點(diǎn)E到面 ACD1的距離為． ……14分 19.解：，f′ (x)=x2－(a+1)x+b， ……1分 由f′ (0)=0得 b=0，f′ (x)=x(x－a－1). ……3分 (Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí), ，f′ (x)=x(x－2)，f(3)=1，f′ (3)=3. ……5分 所以函數(shù)f(x)的圖像在x=3處的切線方程為y－1=3(x－3)， ……6分 即3x－y－8=0. ……7分 (Ⅱ)存在，使x<0得f′ (x)=x(x－a－1)=－9， ，a≤－7， ……10分 當(dāng)且僅當(dāng)x=－3時(shí)，a=－7． ……12分 所以a的最大值為－7． ……14分 (Ⅱ)另解：由題意“存在x<0，使得f′ (x)=x(x－a－1)=－9”有 方程x2－(a+1)x+9=0有負(fù)數(shù)根． ……8分 又因?yàn)閮筛e等于9>0，所以兩根均為負(fù)數(shù)． ……10分 則 ……12分 解得a≤－7， ……13分 所以a的最大值為． ……14分 20.解:(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵ a1=－1，S12=186， ∴ ， ……2分 即 186=－12+66d. ……4分 ∴d=3. ……5分 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式 an=－1+(n－1)×3=3n－4. ……7分 (Ⅱ)∵，an=3n－4，∴. ……8分 ∵ 當(dāng)n≥2時(shí)，， ……9分 ∴ 數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比. ……10分 ∴. ……12分 ∵，∴， ∴. ……13分 所以. ……14分 (Ⅰ)解：由題意，可知橢圓的方程為. ……1分 由已知得 ……2分 解得，c=2， ……3分 所以橢圓的方程為，離心率. ……5分 (Ⅱ)解：由（1）可得A(3，0)．設(shè)直線PQ的方程為y=k(x－3). 聯(lián)立方程組，得(3k2+1)x2－18k2x+27k2－6=0， ……6分 依題意△=12(2－3k2)>0，得. ……7分 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則 ， ① ． ② ……8分 由直線PQ的方程得為y1=k(x1－3)，y2=k(x2－3)，于是， y1y2=k2(x1－3) (x2－3)= k2[x1x2－3(x1+ x2)+9]. ③ ∵，∴x1x2+y1y2=0． ④ ……9分 由①②③④得5k2=1，從而． 所以直線PQ的方程為或． ……10分 (Ⅲ)證明：∵P(x1，y1)，Q(x2，y2)， A(3，0)， ∴，．由已知得方程組 ，注意λ>1，解得， ……12分 因?yàn)镕(2，0)， M(x1，－y1)，故 . ……13分 而，所以. ……14分 第 8 頁(yè) 共 8 頁(yè)