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高一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)練習(xí) 等差數(shù)列 [重點(diǎn)] 等差數(shù)列的概念、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。 1． 定義：數(shù)列{an}若滿足an+1-an=d(d為常數(shù))稱為等差數(shù)列，d為公差。它刻劃了“等差”的特點(diǎn)。 2． 通項(xiàng)公式：an=a1+(n-1)d=nd+(a1-d)。若d，表示an是n的一次函數(shù)；若d=0，表示此數(shù)列為常數(shù)列。 3． 前n項(xiàng)和公式：Sn= =na1+。若d0,表示Sn是n的二次函數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)為零；若d=0，表示Sn=na1. 4． 性質(zhì)：①an=am+(n-m)d。② 若m+n=s+t,則am+an=as+at 。特別地；若m+n=2p,則am+an=2ap。 5.方程思想：等差數(shù)列的五個(gè)元素a1、、d、n、an、sn中最基本的元素為a1和d，數(shù)列中的其它元素都可以用這兩個(gè)元素來(lái)表示。 函數(shù)思想：等差數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和都可以認(rèn)為是關(guān)于n的函數(shù)，因此數(shù)列問題可以借助于函數(shù)知識(shí)來(lái)解決。 [難點(diǎn)] 等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，能夠化歸為等差數(shù)列問題的數(shù)列的轉(zhuǎn)化。如：an與sn關(guān)系：an= 　此公式適用于任何數(shù)列。 化歸思想：把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化成熟悉問題的數(shù)字思想。 例題選講 1、（福建）在等差數(shù)列｛a｝中，已知a=2,a+a=13，則a+a+a等于 A.40 　　 B.42 　 C.43 D.45 2、（全國(guó)）設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若，，則　　A． B． C． D． 3、已知等差數(shù)列2,5,8，……，該數(shù)列的第3k（k∈N＊）項(xiàng)組成的新數(shù)列｛bn｝的前4項(xiàng) 是　　　　　　。｛bn｝的通項(xiàng)公式為　　　　　　　。 4、已知等差數(shù)列｛an｝和｛bn｝的前n項(xiàng)和分別為Sn 和 Tn，且，求＝　　。 5、已知數(shù)列｛an｝和｛bn｝滿足，求證：｛an｝為等差數(shù)列時(shí)｛bn｝必為等差數(shù)列；反之亦然。 一、選擇題 1．?dāng)?shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為-2，公差為4的等差數(shù)列。若an=bn,則n的值為 （ ） （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 2．關(guān)于等差數(shù)列，有下列四個(gè)命題 （1）若有兩項(xiàng)是有理數(shù)，則其余各項(xiàng)都是有理數(shù) （2）若有兩項(xiàng)是無(wú)理數(shù)，則其余各項(xiàng)都是無(wú)理數(shù) （3）若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則數(shù)列{kan}也是等差數(shù)列 （4）若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則數(shù)列{a2n}也是等差數(shù)列 其中是真命題的個(gè)數(shù)為 （ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 3．在等差數(shù)列{an}中,am=n,an=m,則am+n的值為 （ ） （A）m+n （B）　?。–） （D）0 4.在等差數(shù)列{an}中，若a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,則a3+a6+a9的值為 （ ） （A）30 （B）27 （C）24 （D）21 5．一個(gè)直角三角形的三條邊成等差數(shù)列，則它的最短邊與最長(zhǎng)邊的比為 （ ） （A）4∶5 （B）5∶13 （C）3∶5 （D）12∶13 6．在等差數(shù)列{an}中，Sm=Sn,則Sm+n的值為 （ ） （A）0 ?。˙）Sm+Sn　　　　　　（C）2(Sm+Sn) （D） 7．一個(gè)凸n邊形內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，公差為5°，且最大角為160°，則n的值為 （ ） （A）9 　　 （B）12 　?。–）16 　　 （D）9或16 8．在等差數(shù)列{an}中，Sp=q,Sq=q,Sp+q的值為 （ ） （A）p+q （B）-(p+q) （C）p2-q2 （D）p2+q2 9.若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，公差為，且S100=145，則a2+a4……+a100的值為　（ ） （A）60 （B）85 （C） （D）其它值 10．若a1,a2, ……,a2n+1成等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)的和為75，偶數(shù)項(xiàng)的和為60，則該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為　　　?。ˋ）4 （B）5 （C）9 （D）11　　　　　 （ ） 11．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(-1)n+1(4n-3),則它的前100項(xiàng)之和為　 （ ） （A）200 （B）-200 （C）400 （D）-400 12．若數(shù)列{an}由a1=2,an+1=an+2n(n)確定，則a100的值為 （ ） （A）9900 （B）9902 （C）9904 （D）9906 13．已知兩個(gè)數(shù)列3，7，11，…，139與2，9，16，…，142，則它們所有公共項(xiàng)的個(gè)數(shù)為 （ ） （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 14．已知等差數(shù)列{an}的公差為d,d0,a1d,若這個(gè)數(shù)列的前20項(xiàng)的和為S20=10M，則M等于 ?。ˋ）a4+a16 （B）a20+d （C）2a10+d （D）a2+2a10 （ ） 15.若關(guān)于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a)的四個(gè)根可以組成首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則a+b的值為 （ ） （A） （B） （C） （D） 二、填空題 1、在等差數(shù)列{an}中，已知a2+a7+a8+a9+a14=70,則a8= 。 2、在等差數(shù)列{an}中，S4=6,S8=20,則S16= 。 3、成等差數(shù)列的四個(gè)數(shù)之和為26，第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)積為22，則這四個(gè)數(shù)為 。 4、打一口深20米的井，打到第一米深處時(shí)需要40分鐘，從第一米深處打到第二米深處需要50分鐘，以后每深一米都要比前一米多10分鐘，則打到最后一米深處要用 小時(shí)，打完這口井總共用 小時(shí)。 5、在項(xiàng)數(shù)為n的等差數(shù)列{an}中，前三項(xiàng)之和為12，最后三項(xiàng)之和為132，前n項(xiàng)之和為240，則n= 。 6、已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an= ,bn=,則{bn}的前n項(xiàng)和為 。 7、數(shù)列中 ，前n項(xiàng)的和為 ，且滿足 ，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 8、已知正項(xiàng)數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和Sn滿足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比數(shù)列，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝　　　　　　　。 三、解答題 1． 已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，前30項(xiàng)的和為50，前50項(xiàng)的和為30，求前80項(xiàng)的和。 2． 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=n2+C(C為常數(shù))，求數(shù)列{a0}的通項(xiàng)公式，并判斷{an}是不是等差數(shù)列。 3． 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,bn=，且a3b3=，S5+S3=21,求bn。 4． 已知數(shù)列{an}為首項(xiàng)a10，公差為d0的等差數(shù)列，求Sn=。 5． 求從1到100中所有不被3及5整除的整數(shù)之和。 6． 用分期付款方式購(gòu)買家用電器一件，價(jià)格為1150，購(gòu)買當(dāng)天先付150元，以后每月這一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率為1%，若交付150元以后的第一個(gè)月開始算分期付款的第一個(gè)月，問分期付款的第十個(gè)月該交付多少錢？全部貸款付清后，買這件家電實(shí)際花了多少錢？ 7． 已知等差數(shù)列{an},a1=29,S10=S20,問這個(gè)數(shù)列的前多少項(xiàng)的和最大？并求最大值。 8.已知f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7 (1)設(shè)f(x)的圖像的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{an}，求證：{an}為等差數(shù)列。 (2)設(shè)f(x)的圖像的頂點(diǎn)到x軸的距離構(gòu)成{bn}，求{bn}的前n項(xiàng)和。 答案 第七單元 等差數(shù)列 一、選擇題BBDBC AABBC BBBCD 二、填空題 1.14 2.72 3. 2,5,8,11或11,8,5,2。 4. 。5、10，6、 7、8． 三、解答題 1． S50-S30=a31+a32 +…+a50==30-50=-20。 ∴a1+a80=-2 ∴S80=。 2．當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=1+c 當(dāng)n時(shí)，an=Sn-Sn-1=(n2+c)-[(n2+c)]-[(n-1)2+C]=2n-1。 ∴an= 若C=0，an=2n-1,此時(shí)an-an-1=2(n){an}為等差數(shù)列。 若C0,C+11,{an}不為等差數(shù)列。 3． 由①，得a1=d。由②，得8a1+13d=1。 故a1=d=1。 ∴Sn= 4. ∴Sn= =。 5.設(shè)S表示從1到100的所有整數(shù)之和。S1表示從1到100中所在能被3整除的整數(shù)的和。 S2表示從1到100中所有能被5整除的整數(shù)的和。 S3表示從1到100中所有既能被3整除，又能被5整除的整數(shù)的和。 則S=。 由99=3+（n-1）×3,得n=33。 。 由100=5+(n-1) ×5,得n=20。 S3表示15，30，45，…，90之和 S3= 從1到100中所有不被3及5整除的整數(shù)之和為S-S1-S2+S3=2632。 6.購(gòu)買時(shí)付了150元，欠款1000元。每月付50元，分20次付完，設(shè)每月付款數(shù)順次組成數(shù)列{an},則 a1=50+1000×0.01=60 a2=50+(1000-50) ×0.01=60-0.5 a3=50+(1000-50×2) ×0.01=60-0.5×2 類推,得 a10=60-0.5×9=55.5 an=60-0.5(n-1)(1n20)。 ∴ 付款數(shù){an}組成等差數(shù)列，公差d=-0.5,全部貸款付清后，付款總數(shù)為 S20+150=（元）。 7．由S20=S10得2a1+29d=0d=-2,an=a1+(n-1)d=-2n+31 Sn==-n2+30n=-(n-15)2+225 ∴當(dāng)n=15時(shí)，Sn最大，最大值為225。 8．（1）f(x)=[x-(n+1)2]+3n-8 ∴an=3n-8,∵ an+1-an=3 , ∴{an}為等差數(shù)列。 （2）b0= 當(dāng)1時(shí)，bn=8-3n,b1=5。Sn= 當(dāng)n3時(shí)。bn=3n-8 Sn=5+2+1+4+…（3n-8） =7+ ∴Sn=