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熱點專題突破系列(六) 概率與統(tǒng)計的綜合問題,考點一 統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 【考情分析】以實際生活中的事例為背景,通過對相關數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析、抽象概括,作出估計、判斷.常與抽樣方法、莖葉圖、頻率分布直方圖、概率等知識交匯考查,考查學生數(shù)據(jù)處理能力.,【典例1】(2015·太原模擬)近幾年出現(xiàn)各種食品問題,食品添加劑會引起血脂增高、血壓增高、血糖增高等疾病.為了解三高疾病是否與性別有關,醫(yī)院隨機對入院的60人進行了問卷調查,得到了如下的列聯(lián)表: (1)請將如圖的列聯(lián)表補充完整;若用分層抽樣的方法在患三高疾病的人群中抽9人,其中女性抽多少人?,(2)為了研究三高疾病是否與性別有關,請計算出統(tǒng)計量K2的觀測值k,并說明是否可以在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為三高疾病與性別有關.,下面的臨界值表供參考: (參考公式K2= 其中n=a+b+c+d),【解題提示】(1)由問卷調查的情況,可補充完表格. (2)可利用隨機變量K2確定,因此首先計算K2的觀測值k.,【規(guī)范解答】(1) 在患三高疾病人群中抽9人,則抽取比例為 所以女性應該抽取12× =3(人).,(2)因為K2的觀測值k= =10＞7.879,所以可以在犯 錯誤的概率不超過0.005的前提下認為是否患三高疾病與性別有關.,【規(guī)律方法】利用獨立性檢驗思想解決問題的步驟 (1)依題意寫出列聯(lián)表. (2)依據(jù)列聯(lián)表用公式計算K2的觀測值k的值. (3)依據(jù)k的值以及臨界值表確定問題的結果.,【變式訓練】(2015·濟寧模擬)某企業(yè)為了更好地了解設備改造前后與生產合格品的關系,隨機抽取了180件產品進行分析,其中設備改造前生產的合格品有36件,不合格品有49件,設備改造后生產的合格品有65件,不合格品有30件.根據(jù)所給數(shù)據(jù): (1)寫出2×2列聯(lián)表. (2)能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為產品是否合格與設備改造有關.,【解析】(1)由已知數(shù)據(jù)得列聯(lián)表如下:,(2)根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，K2的觀測值為 k＝ ≈12.38， 由于12.38＞10.828，所以在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下可認為產品是否合格與設備改造有關．,【加固訓練】(2015·蚌埠模擬)在全國漢字聽寫大賽之前,某地先進行了共十輪的選拔賽,某研究機構一直關注其測試選拔過程.第二輪選拔后有450名學生進入下一輪,該機構利用分層抽樣的方法抽取了90人進行跟蹤調查,得到第三輪是否通過的數(shù)據(jù)如下表所示:,(1)利用獨立性檢驗估計第三輪通過與否與學生的性別是否有關? (2)估計全部450名學生通過第三輪測試的大約有多少人. (3)如果從第三輪測試通過的所有學生中利用分層抽樣的方法抽取6名學生,然后從這6名學生中隨機抽取2名學生進行問卷調查,求這2名學生中至少有1名女學生的概率. 附：K2= (其中n=a+b+c+d),【解析】(1)根據(jù)公式得:K2= ≈0.711.323, 所以我們認為是否通過第三輪測試與學生的性別無關. (2)由樣本數(shù)據(jù)可知，學生通過第三輪測試的頻率為 =0.6. 故450名學生中通過第三輪測試的大約有450×0.6=270(人).,(3)根據(jù)表格，通過第三輪測試的男學生有36人，女學生有18人, 由分層抽樣可知，抽取的6名學生中男學生有4名，分別記為A,B,C,D, 女學生有2名，分別記為1，2，從中任選2名的不同取法為{A,B},{A,C},{A,D},{A,1},{A,2},{B,C},{B,D},{B,1},{B,2}, {C,D},{C,1},{C,2},{D,1},{D,2},{1,2},共15種. 其中至少有1名女生的取法為{A,1},{A,2},{B,1},{B,2},{C,1}, {C,2},{D,1},{D,2},{1,2}，共9種. 所以所求事件的概率為,考點二 統(tǒng)計與概率分布列綜合 【考情分析】以現(xiàn)實生活為背景,利用頻率估計概率,常與抽樣方法、莖葉圖、頻率分布直方圖、概率以及概率分布列等知識交匯考查,考查學生分析問題、解決問題的能力.,【典例2】(2015·揭陽模擬)某學校900名學生在一次百米測試中,成績全部介于13秒與18秒之間,抽取其中50個樣本,將測試結果按如下方式分成五組:第一組[13,14),第二組[14,15),…,第五組[17,18],如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.,(1)若成績小于14秒認為優(yōu)秀,求該樣本中百米測試成績優(yōu)秀的人數(shù). (2)請估計本年級900名學生中,成績屬于第三組的人數(shù). (3)若樣本第一組中只有一個女生,其他都是男生,第五組則只有一個男生,其他都是女生,現(xiàn)從第一、五組中各抽取2個同學組成一個實驗組,設其中男同學的數(shù)量為ξ,求ξ的分布列和期望.,【解題提示】(1)(2)先求頻率,再求人數(shù). (3)確定ξ的取值,再根據(jù)定義求分布列. 【規(guī)范解答】(1)由頻率分布直方圖知,成績在第一組的為優(yōu)秀,頻率為0.06, 人數(shù)為:50×0.06=3. 所以該樣本中成績優(yōu)秀的人數(shù)為3.,(2)由頻率分布直方圖知,成績在第三組的頻率為0.38,以此估計本年級900名學生中成績屬于第三組的概率為0.38, 人數(shù)為:900×0.38=342. 所以估計本年級900名學生中,成績屬于第三組的人數(shù)為342.,(3)第一組共有3人，其中2男，1女，第五組共有50×0.08=4人，其中1男，3女，則ξ的可能取值為1，2，3. P(ξ=1)= P(ξ=2)= P(ξ=3)=,所以ξ的分布列為 所以E(ξ)=1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=,【規(guī)律方法】統(tǒng)計與概率分布綜合問題的解題思路 (1)找概率分布問題中隨機變量的統(tǒng)計意義. (2)綜合統(tǒng)計中相關圖、表、數(shù)據(jù)明確相關聯(lián)的隨機變量的分布特征. (3)依隨機變量的分布特征進一步解決相關問題.,【變式訓練】(2014·新課標全國卷Ⅰ)從某企業(yè)生產的某種產品中抽取500件,測量這些產品的一項質量指標值,由測量結果得如下頻率分布直方圖:,(1)求這500件產品質量指標值的樣本平均數(shù) 和樣本方差s2(同一組 中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表). (2)由直方圖可以認為,這種產品的質量指標值Z服從正態(tài)分布N(μ, σ2),其中μ近似為樣本平均數(shù) ,σ2近似為樣本方差s2.,①利用該正態(tài)分布,求P(187.8Z212.2). ②某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產品,記X表示這100件產品中質量 指標值位于區(qū)間(187.8,212.2)的產品件數(shù),利用①的結果,求E(X). 附: ≈12.2. 若Z～N(μ,σ2),則P(μ-σZμ+σ)=0.6826,P(μ-2σZμ+2σ) =0.9544.,【解析】(1)抽取產品的質量指標值的樣本平均數(shù) 和樣本方差s2分 別為 =170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220× 0.08+230×0.02=200, s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+ 202×0.08+302×0.02=150.,(2)①由(1)知,Z～N(200,150),從而P(187.8Z212.2)=P(200-12.2Z200+12.2)=0.6826. ②由①知,一件產品質量指標值位于區(qū)間(187.8,212.2)的概率為0.6826. 依題意知X～B(100,0.6826), 所以E(X)=100×0.6826=68.26.,【加固訓練】為了了解《中華人民共和國道路交通安全法》在學生中的普及情況,調查部門組織了一次知識競賽,現(xiàn)隨機抽取了某校20名學生的測試成績,得到如圖所示莖葉圖:,(1)若測試成績不低于90分,則稱為“優(yōu)秀成績”,求從這20人中隨機選取3人,至多有1人是“優(yōu)秀成績”的概率. (2)以這20人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個學校的總體數(shù)據(jù),若從該校(人數(shù)較多)任選3人,記ξ表示抽到“優(yōu)秀成績”學生的人數(shù),求ξ的分布列及數(shù)學期望.,【解析】(1)優(yōu)秀成績:4人；設優(yōu)秀成績人數(shù)為X,至多一人成績優(yōu)秀為事件A, P(A)＝ P(X＝0)＋ P(X＝1)＝,(2)由樣本估計總體可知抽到“優(yōu)秀成績”學生的概率P＝ . ξ所有可能的取值為0,1,2,3，顯然 則P(ξ＝i)＝,E(ξ)=,考點三 期望與方差的綜合應用 【考情分析】以現(xiàn)實生活為背景,求某些事件的概率分布列、期望值以及方差,常與離散型隨機變量、概率、相互獨立事件、二項分布等知識交匯考查,考查學生分析問題、解決問題的能力.,【典例3】(2014·湖北高考)計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站,過去50年的水文資料顯示,水庫年入流量X(年入流量:一年內上游來水與庫區(qū)降水之和.單位:億立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超過120的年份有35年,超過120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率,并假設各年的年入流量相互獨立.,(1)求未來4年中,至多1年的年入流量超過120的概率. (2)水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行,但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量X限制,并有如下關系:,若某臺發(fā)電機運行,則該臺年利潤為5000萬元;若某臺發(fā)電機未運行,則該臺年虧損800萬元,欲使水電站年利潤的均值達到最大,應安裝發(fā)電機多少臺?,【解題提示】(1)先求出年入流量X的概率,根據(jù)二項分布,求出未來4年中,至多有1年的年入流量超過120的概率. (2)分三種情況進行討論,分別求出一臺,兩臺,三臺的數(shù)學期望,比較即可得到.,【規(guī)范解答】(1)依題意，p1=P(40120)= =0.1. 根據(jù)二項分布，在未來4年中至多有1年的年入流量超過120的概率為 =,(2)記水電站年總利潤為Y, ①安裝1臺發(fā)電機的情形: 由于水庫年入流量總大于40,故一臺發(fā)電機運行的概率為1,對應的年利潤Y=5000,E(Y)=1×5000=5000.,②安裝2臺發(fā)電機的情形: 依題意,當40X80時,一臺發(fā)電機運行,此時Y=5000-800=4200, 因此P(Y=4200)=P(40X80)=p1=0.2; 當X≥80時,兩臺發(fā)電機運行,此時Y=5000×2=10000, 因此P(Y=10000)=P(X≥80)=p2+p3=0.8;,由此得分布列如下 所以,E(Y)=4200×0.2+10000×0.8=8840.,③安裝3臺發(fā)電機的情形: 依題意,當40120時,三臺發(fā)電機運行,此時Y=5000×3=15000, 因此P(Y=15000)=P(X120)=p3=0.1.由此得分布列如下,所以,E(Y)=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620. 綜上,欲使水電站年總利潤的均值達到最大,應安裝發(fā)電機2臺.,【規(guī)律方法】 1.求數(shù)學期望值的方法 (1)求離散型隨機變量分布列. (2)利用公式E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn. 2.均值、方差意義的應用 均值僅體現(xiàn)了隨機變量取值的平均水平.如果兩個隨機變量的均值相等,還要看隨機變量的取值在均值周圍的變化,方差大,說明隨機變量取值較分散;方差小,說明取值較集中.,【變式訓練】(2015·揭陽模擬)某超市為了解顧客的購物量及結算時間等信息,安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關數(shù)據(jù),如表所示.,已知這100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55%. (1)確定x,y的值,并求顧客一次購物的結算時間X的分布列與數(shù)學期望. (2)若某顧客到達收銀臺時前面恰有2位顧客需結算,且各顧客的結算相互獨立,求該顧客結算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率.(注:將頻率視為概率),【解析】(1)由已知,得25+y+10=55,x+y=35,所以x=15,y=20.該超市 所有顧客一次購物的結算時間組成一個總體,所以收集的100位顧客一 次購物的結算時間可視為總體的一個隨機樣本,將頻率視為概率得:,因此X的分布列為: X的數(shù)學期望為 E(X)＝,(2)記A為事件“該顧客結算前的等候時間不超過2.5分鐘”,Xi(i=1,2) 為該顧客前面第i位顧客的結算時間,則P(A)=P(X1=1且X2=1)+ P(X1=1 且X2=1.5)+ P(X1=1.5且X2=1). 由于顧客的結算相互獨立,且X1,X2的分布列都與X的分布列相同,所以 P(A)=P(X1=1)×P(X2=1)+ P(X1=1)×P(X2=1.5)+ P(X1=1.5)×P(X2=1) = 故該顧客結算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率為,【加固訓練】(2014·邯鄲模擬)甲、乙兩人進行乒乓球比賽,約定每 局勝者得1分,負者得0分,比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時 停止.設甲在每局中獲勝的概率為P(P ),且各局勝負相互獨立.已 知第二局比賽結束時比賽停止的概率為 . (1)求P的值. (2)設ξ表示比賽停止時比賽的局數(shù),求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望E(ξ).,【解析】(1)當甲連勝2局或乙連勝2局時, 第二局比賽結束時比賽停止,故P2+(1-P)2= , 解得P= 或P= ,又P ,故P= .,(2)依題意知ξ的所有可能取值為2,4,6, 設每兩局比賽為一輪,則該輪結束時比賽停止的概率為 ， 若該輪結束時比賽還將繼續(xù),則甲、乙在該輪中必是各得一分, 此時,該輪比賽結果對下輪比賽是否停止沒有影響,從而有P(ξ＝2) ＝ ，P(ξ＝4)＝,則隨機變量ξ的分布列為: E(ξ)＝,