《高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何第五節(jié)直線平面垂直的判定與性質(zhì)課件文.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何第五節(jié)直線平面垂直的判定與性質(zhì)課件文.ppt（40頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

文數(shù) 課標版,第五節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質(zhì),1.直線與平面垂直 (1)直線和平面垂直的定義 直線l與平面α內(nèi)的① 任意一條 直線都垂直,就說直線l與平面α互相 垂直. (2)直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理,教材研讀,2.直線與平面所成的角,(1)定義:平面的一條斜線和它在這個平面內(nèi)的射影所成的 銳角 , 叫做這條直線和這個平面所成的角.一條直線垂直于平面,就說它們所 成的角是直角;一條直線和平面平行,或在平面內(nèi),就說它們所成的角是 0°的角.如圖所示, ∠PAO 就是斜線AP與平面α所成的角. (2)線面角θ的范圍:θ∈ .,3.二面角的有關(guān)概念 (1)二面角:從一條直線出發(fā)的 兩個半平面 所組成的圖形叫做二 面角. (2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一點為端點,在兩個半平面內(nèi)分 別作 垂直于棱 的兩條射線,這兩條射線所成的角叫做二面角的 平面角.,4.平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理,1.給出下列四個命題: ①垂直于同一直線的兩個平面互相平行; ②垂直于同一平面的兩個平面互相平行; ③若一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個平面都平行,那么這兩個平面相 互平行; ④若一條直線垂直于一個平面內(nèi)的任意一條直線,那么這條直線垂直于 這個平面. 其中真命題的個數(shù)是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B ①④正確.,,2.設(shè)a,b是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,則能得出a⊥b的是 ( ) A.a⊥α,b∥β,α⊥β B.a⊥α,b⊥β,α∥β C.a?α,b⊥β,α∥β D.a?α,b∥β,α⊥β 答案 C 對于C項,由α∥β,a?α可得a∥β,又由b⊥β,得a⊥b.故選C.,,3.PD垂直于正方形ABCD所在的平面,連接PB、PC、PA、AC、BD,則 一定互相垂直的平面有 ( ) A.8對 B.7對 C.6對 D.5對 答案 B 由于PD⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,,故平面PAD⊥平面ABCD, 平面PDB⊥平面ABCD, 平面PDC⊥平面ABCD, 平面PDA⊥平面PDC, 平面PAC⊥平面PDB, 平面PAB⊥平面PAD, 平面PBC⊥平面PDC,共7對.,,4.如圖所示,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,則C1在底面 ABC上的射影H必在 ( ) A.直線AB上 B.直線BC上 C.直線AC上 D.△ABC內(nèi)部 答案 A 連接AC1.∵∠BAC=90°,∴AB⊥AC, 又AC⊥BC1,BC1∩AB=B,∴AC⊥平面ABC1,,又AC?平面ABC,∴平面ABC⊥平面ABC1. ∵平面ABC1∩平面ABC=AB, ∴點C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上,故選A.,,考點一 直線與平面垂直的判定與性質(zhì) 典例1 如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD, ∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點. (1)證明:CD⊥AE; (2)證明:PD⊥平面ABE.,考點突破,證明 (1)在四棱錐P-ABCD中, ∵PA⊥底面ABCD,CD?平面ABCD,∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD,PA∩AC=A, ∴CD⊥平面PAC. 而AE?平面PAC,∴CD⊥AE. (2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA. ∵E是PC的中點,∴AE⊥PC. 由(1)知,AE⊥CD,又PC∩CD=C,所以AE⊥平面PCD. 而PD?平面PCD,∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD,∴PD在底面ABCD內(nèi)的射影是AD, 又∵AB⊥AD,∴AB⊥PD.,又AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.,方法技巧 (1)證明直線和平面垂直的常用方法:①利用判定定理;②利用面面垂直 的性質(zhì). (2)證明線面垂直的核心是證明線線垂直,而證明線線垂直又可借助于 線面垂直的性質(zhì).因此,判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂 直的基本思想.,1-1 (2016課標全國Ⅰ,19,12分)如圖,已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直 角三角形,PA=6.頂點P在平面ABC內(nèi)的正投影為點D,D在平面PAB內(nèi)的 正投影為點E,連接PE并延長交AB于點G. (1)證明:G是AB的中點; (2)在圖中作出點E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說明作法及理由),并求四面 體PDEF的體積.,解析 (1)證明:因為P在平面ABC內(nèi)的正投影為D,所以AB⊥PD. 因為D在平面PAB內(nèi)的正投影為E,所以AB⊥DE. 又PD∩DE=D,所以AB⊥平面PED,故AB⊥PG. 又由已知可得,PA=PB,從而G是AB的中點. (2)在平面PAB內(nèi),過點E作PB的平行線交PA于點F,F即為E在平面PAC 內(nèi)的正投影. 理由如下:由已知可得PB⊥PA,PB⊥PC, 又EF∥PB,所以EF⊥PA,EF⊥PC,又PA∩PC=P,因此EF⊥平面PAC,即 點F為E在平面PAC內(nèi)的正投影. 連接CG,因為P在平面ABC內(nèi)的正投影為D,所以D是正三角形ABC的中 心,由(1)知,G是AB的中點,所以D在CG上,故CD= CG.,由題設(shè)可得PC⊥平面PAB,DE⊥平面PAB,所以DE∥PC,因此PE= PG, DE= PC. 由已知,正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=2 . 在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2, 所以四面體PDEF的體積V= × ×2×2×2= .,考點二 面面垂直的判定與性質(zhì) 典例2 如圖,四棱錐P-ABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E, F,G,M,N分別為PB,AB,BC,PD,PC的中點. (1)求證:CE∥平面PAD; (2)求證:平面EFG⊥平面EMN.,證明,(1)證法一:取PA的中點H,連接EH,DH. 因為E為PB的中點,所以EH∥AB,EH= AB.,又AB∥CD,CD= AB, 所以EH∥CD,EH=CD. 因此四邊形DCEH是平行四邊形. 所以CE∥DH. 又DH?平面PAD,CE?平面PAD, 因此,CE∥平面PAD.,證法二:連接CF. 因為F為AB的中點, 所以AF= AB.,又CD= AB, 所以AF=CD. 又AF∥CD, 所以四邊形AFCD為平行四邊形. 因此CF∥AD. 又AD?平面PAD,CF?平面PAD, 所以CF∥平面PAD. 因為E,F分別為PB,AB的中點, 所以EF∥PA. 又PA?平面PAD,EF?平面PAD, 所以EF∥平面PAD.,因為CF∩EF=F,CF?平面CEF,EF?平面CEF, 故平面CEF∥平面PAD. 又CE?平面CEF, 所以CE∥平面PAD. (2)因為E,F分別為PB,AB的中點, 所以EF∥PA. 又AB⊥PA,所以AB⊥EF. 同理可證AB⊥FG. 又EF∩FG=F,EF?平面EFG,FG?平面EFG, 因此AB⊥平面EFG. 又M,N分別為PD,PC的中點,A,所以MN∥CD. 又AB∥CD,所以MN∥AB. 因此MN⊥平面EFG. 又MN?平面EMN, 所以平面EFG⊥平面EMN.,方法指導(dǎo) 證明面面垂直的思路 (1)利用面面垂直的定義(不常用); (2)可以考慮證線面垂直,即設(shè)法先找到其中一個平面的一條垂線,再證 這條垂線在另一個平面內(nèi)或與另一個平面內(nèi)的一條直線平行.一般方 法:先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線,若圖中存在這樣的直線,則可通 過線面垂直來證明面面垂直;若圖中不存在這樣的直線,則可通過作輔 助線來解決(常用方法).,2-1 (2015課標Ⅰ,18,12分)如圖,四邊形ABCD為菱形,G為AC與BD的交 點,BE⊥平面ABCD. (1)證明:平面AEC⊥平面BED; (2)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱錐E-ACD的體積為 ,求該三棱錐的側(cè) 面積.,解析 (1)證明:因為四邊形ABCD為菱形,所以AC⊥BD. 因為BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE. 又BD∩BE=B,故AC⊥平面BED. 又AC?平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED. (2)設(shè)AB=x,在菱形ABCD中,由∠ABC=120°,可得AG=GC= x,GB=GD= . 因為AE⊥EC,所以在Rt△AEC中,可得EG= x. 由BE⊥平面ABCD,知△EBG為直角三角形,可得BE= x. 由已知得,三棱錐E-ACD的體積VE-ACD= × AC·GD·BE= x3= .故x=2.,從而可得AE=EC=ED= . 所以△EAC的面積為3,△EAD的面積與△ECD的面積均為 . 故三棱錐E-ACD的側(cè)面積為3+2 .,考點三 平行與垂直的綜合問題 命題角度一 平行與垂直關(guān)系的證明 典例3 (2016山東,18,12分)在如圖所示的幾何體中,D是AC的中點,EF ∥DB. (1)已知AB=BC,AE=EC,求證:AC⊥FB; (2)已知G,H分別是EC和FB的中點.求證:GH∥平面ABC.,證明 (1)因為EF∥DB, 所以EF與DB確定平面BDEF. 連接DE. 因為AE=EC,D為AC的中點, 所以DE⊥AC. 同理可得BD⊥AC. 又BD∩DE=D, 所以AC⊥平面BDEF, 因為FB?平面BDEF, 所以AC⊥FB.,(2)設(shè)FC的中點為I.連接GI,HI. 在△CEF中,因為G是CE的中點, 所以GI∥EF.又EF∥DB, 所以GI∥DB. 在△CFB中,因為H是FB的中點,,所以HI∥BC. 又HI∩GI=I, 所以平面GHI∥平面ABC. 因為GH?平面GHI, 所以GH∥平面ABC.,典例4 如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD=2AB,SA=SD, SA⊥AB,N是棱AD的中點. (1)求證:AB∥平面SCD; (2)求證:SN⊥平面ABCD; (3)在棱SC上是否存在一點P,使得平面PBD⊥平面ABCD?若存在,求出 的值;若不存在,請說明理由.,命題角度二 平行與垂直關(guān)系中的探索性問題,解析 (1)證明:因為ABCD是矩形, 所以AB∥CD, 又因為AB?平面SCD,CD?平面SCD, 所以AB∥平面SCD. (2)證明:因為AB⊥SA,AB⊥AD,SA∩AD=A, 所以AB⊥平面SAD, 又因為SN?平面SAD, 所以AB⊥SN. 因為SA=SD,且N為AD的中點, 所以SN⊥AD. 又因為AB∩AD=A,,所以SN⊥平面ABCD. (3)棱SC上存在一點P,使得平面PBD⊥平面ABCD. 理由:如圖,連接BD交NC于點F,在△SNC中,過F作FP∥SN,交SC于點P, 連接PB,PD. 因為SN⊥平面ABCD,所以FP⊥平面ABCD. 又因為FP?平面PBD,,所以平面PBD⊥平面ABCD. 在矩形ABCD中,因為ND∥BC,且N為AD的中點, 所以 = = . 在△SNC中,因為FP∥SN, 所以 = = . 所以在棱SC上存在一點P,使得平面PBD⊥平面ABCD,此時 = .,典例5 (2016江蘇揚州二模)如圖1,在邊長為4的菱形ABCD中,∠DAB= 60°,點E,F分別是邊CD,CB的中點,AC∩EF=O.沿EF將△CEF翻折到 △PEF,連接PA,PB,PD,得到圖2所示的五棱錐P-ABFED,且PB= . (1)求證:BD⊥平面POA; (2)求四棱錐P-BFED的體積. 圖1 圖2,命題角度三 平行與垂直關(guān)系中的折疊問題,解析 (1)證明:翻折前, ∵點E,F分別是邊CD,CB的中點, ∴BD∥EF. ∵菱形ABCD的對角線互相垂直, ∴BD⊥AC. ∴EF⊥AC. 則翻折后,EF⊥AO,EF⊥PO. ∵AO?平面POA,PO?平面POA,AO∩PO=O, ∴EF⊥平面POA. ∴BD⊥平面POA. (2)設(shè)AO∩BD=H,連接BO,,∵∠DAB=60°, ∴△ABD為等邊三角形. ∴BD=4,BH=2,HA=2 ,HO=PO= . 在Rt△BHO中,BO= = , 在△PBO中,BO2+OP2=10=PB2, ∴PO⊥BO.,又∵OP⊥EF,EF∩BO=O,EF?平面BFED,BO?平面BFED,∴PO⊥平 面BFED. 梯形BFED的面積S= (EF+BD)·HO=3 , ∴四棱錐P-BFED的體積V= S·PO= ×3 × =3. 方法技巧 平行與垂直的綜合應(yīng)用問題的處理策略 (1)探索性問題一般是先根據(jù)條件猜測點的位置再給出證明,探索點存 在問題,點多為中點或三等分點中的某一個,也可以根據(jù)相似知識建點. (2)解決此類問題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形,弄清折疊前后變與不變的數(shù)量關(guān) 系及位置關(guān)系.,3-1 如圖,在長方形ABCD中,AB=2,BC=1,E為CD的中點,F為AE的中點. 現(xiàn)在沿AE將三角形ADE向上折起,在折起的圖形中解答下列問題: (1)在線段AB上是否存在一點K,使BC∥平面DFK?若存在,請證明你的結(jié) 論;若不存在,請說明理由; (2)若平面ADE⊥平面ABCE,求證:平面BDE⊥平面ADE.,證明如下: 設(shè)H為AB的中點,連接EH,則BC∥EH, ∵AK= AB,F為AE的中點, ∴KF∥EH,∴KF∥BC, ∵KF?平面DFK,BC?平面DFK, ∴BC∥平面DFK. (2)證明:∵在折起前的圖形中E為CD的中點,AB=2,BC=1,,解析 (1)如圖,線段AB上存在一點K,且當(dāng)AK= AB時,BC∥平面DFK.,∴在折起后的圖形中,AE=BE= , 從而AE2+BE2=4=AB2,∴AE⊥BE. ∵平面ADE⊥平面ABCE,平面ADE∩平面ABCE=AE,BE?平面ABCE,∴ BE⊥平面ADE, ∵BE?平面BDE,∴平面BDE⊥平面ADE.,