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文數(shù) 課標版,第二節(jié) 空間幾何體的表面積和體積,教材研讀,1.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式,2.空間幾何體的表面積與體積公式,(1)多面體的表面積等于各個面的面積之和. (√) (2)錐體的體積等于底面積與高之積. (×) (3)臺體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個錐體的體積之差. (√) (4)簡單組合體的體積等于組成它的簡單幾何體體積的和或差.(√) (5)正方體既有外接球又有內(nèi)切球. (√) (6)圓柱的一個底面積為S,側(cè)面展開圖是一個正方形,那么這個圓柱的側(cè) 面積是2πS. (×),判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”,錯誤的打“×”),1.將一個相鄰邊長分別為4π,8π的矩形卷成一個圓柱,則這個圓柱的表面 積是 ( ) A.40π2 B.64π2 C.32π2或64π2 D.32π2+8π或32π2+32π 答案 D 當?shù)酌嬷荛L為4π時,底面圓的半徑為2,兩個底面的面積之和 是8π;當?shù)酌嬷荛L為8π時,底面圓的半徑為4,兩個底面的面積之和為32π. 無論哪種方式,側(cè)面積都是矩形的面積32π2.故所求的表面積是32π2+8π 或32π2+32π.,,2.一個球的表面積是16π,那么這個球的體積為 ( ) A. π B. π C.16π D.24π 答案 B 設(shè)球的半徑為R, 則由4πR2=16π, 解得R=2, 所以這個球的體積為 πR3= .,,3.(2016四川,12,5分)已知某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體 積是 . 答案 解析 在長方體(長為2 ,寬、高均為1)中作出此三棱錐,如圖所示,,則VP-ABC= × ×2 ×1×1= .,,4.(2014山東,13,5分)一個六棱錐的體積為2 ,其底面是邊長為2的正六 邊形,側(cè)棱長都相等,則該六棱錐的側(cè)面積為 . 答案 12 解析 設(shè)六棱錐的高為h,斜高為h0. 因為該六棱錐的底面是邊長為2的正六邊形, 所以底面面積為 ×2×2×sin 60°×6=6 , 則 ×6 h=2 ,得h=1, 所以h0= =2, 所以該六棱錐的側(cè)面積為 ×2×2×6=12.,,考點一 空間幾何體的表面積 典例1 (1)(2016課標全國Ⅲ,10,5分)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 1,粗實線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的表面積為 ( ) A.18+36 B.54+18 C.90 D.81,考點突破,(2)(2016安徽江南十校3月聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示,其中側(cè)視 圖的下半部分曲線為半圓弧,則該幾何體的表面積為 ( ) A.4π+16+4 B.5π+16+4 C.4π+16+2 D.5π+16+2,答案 (1)B (2)D 解析 (1)由三視圖可知,該幾何體是底面為正方形(邊長為3),高為6,側(cè) 棱長為3 的斜四棱柱. 其表面積S=2×32+2×3×3 +2×3×6=54+18 .故選B. (2)由三視圖可知該幾何體是一個正三棱柱和一個半圓柱的組合體,三 棱柱的兩個側(cè)面面積之和為2×4×2=16,兩個底面面積之和為2× ×2× =2 ;半圓柱的側(cè)面積為π×4=4π,兩個底面面積之和為2× ×π×12=π,所 以幾何體的表面積為5π+16+2 ,故選D.,方法技巧 空間幾何體表面積的求法 (1)表面積是各個面的面積之和,求多面體的表面積,只需將它們沿著棱 剪開展成平面圖形,利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積.求 旋轉(zhuǎn)體的表面積,可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手,將其展 開后求表面積,但要弄清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中 的邊長關(guān)系. (2)求不規(guī)則幾何體的表面積時,通常將所給幾何體分割成基本的柱、 錐、臺體,先求出這些基本的柱、錐、臺體的表面積,再通過求和或作 差,求出不規(guī)則幾何體的表面積.,,1-2 (2016課標全國Ⅱ,7,5分)下圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體 的三視圖,則該幾何體的表面積為 ( ) A.20π B.24π C.28π D.32π 答案 C 由三視圖可得圓錐的母線長為 =4,∴S圓錐側(cè)=π×2×4 =8π.又S圓柱側(cè)=2π×2×4=16π,S圓柱底=4π,∴該幾何體的表面積為8π+16π+4π= 28π.故選C.,,考點二 空間幾何體的體積 典例2 (1)(2016山東,5,5分)一個由半球和四棱錐組成的幾何體,其三視 圖如圖所示.則該幾何體的體積為 ( ),A. + π B. + π C. + π D.1+ π,(2)(2016北京,11,5分)某四棱柱的三視圖如圖所示,則該四棱柱的體積為 . 答案 (1)C (2),,方法技巧 空間幾何體體積的求法 (1)若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺體等規(guī)則幾何體,則可直接利 用公式進行求解.其中,等體積轉(zhuǎn)換法多用來求三棱錐的體積. (2)若所給定的幾何體是不規(guī)則幾何體,則將不規(guī)則的幾何體通過分割 或補形轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體,再利用公式求解. (3)若以三視圖的形式給出幾何體,則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直 觀圖,然后根據(jù)條件求解.,2-1 如圖所示,在多面體ABCDEF中,已知ABCD是邊長為1的正方形,且 △ADE,△BCF均為正三角形,EF∥AB,EF=2,則該多面體的體積為 ( ) A. B. C. D. 答案 A 解法一:如圖所示,分別過A,B作EF的垂線,垂足分別為G,H,連 接DG,CH,則原幾何體分割為兩個三棱錐和一個直三棱柱,,,易知三棱錐的高為 ,直三棱柱的高為1,AG= = , 取AD的中點M,連接MG,則MG= , ∴S△AGD= ×1× = , ∴V= ×1+2× × × = . 解法二:如圖所示,取EF的中點P,則原幾何體分割為兩個三棱錐和一個,四棱錐,易知三棱錐P-AED和三棱錐P-BCF都是棱長為1的正四面體,四 棱錐P-ABCD是棱長為1的正四棱錐. ∴V= ×12× +2× × × = .,2-2 某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為 ( ) A. +2π B. C. D. 答案 B 由三視圖可知,該幾何體是由一個圓柱和半個圓錐組合而成 的幾何體,其體積為π×12×2+ × π×12×1= .,,考點三 與球有關(guān)的切、接問題 命題角度一 正方體的外接球 典例3 (2016課標全國Ⅱ,4,5分)體積為8的正方體的頂點都在同一球面 上,則該球的表面積為 ( ) A.12π B. π C.8π D.4π 答案 A 解析 設(shè)正方體的棱長為a, 則a3=8,解得a=2. 設(shè)球的半徑為R,則2R= a, 即R= , 所以球的表面積S=4πR2=12π.故選A.,,典例4 (1)(2016遼寧撫順模擬)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都 在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,則球O的半徑為 ( ) A. B.2 C. D.3 (2)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球.若AB⊥BC,AB =6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是 ( ) A.4π B. C.6π D. 答案 (1)C (2)B 解析 (1)如圖所示,由球心作平面ABC的垂線,垂足為BC的中點M.連接 OA,AM,,命題角度二 直棱柱的外接與內(nèi)切球,,典例5 (1)正四棱錐的頂點都在同一球面上,若該棱錐的高為4,底面邊 長為2,則該球的表面積為 ( ) A. B.16π C.9π D. (2)若一個正四面體的表面積為S1,其內(nèi)切球的表面積為S2,則 = . 答案 (1)A (2) 解析 (1)如圖所示,設(shè)球的半徑為R,底面中心為O',球心為O, 由題意得AO'= .,命題角度三 正棱錐的外接與內(nèi)切球,,∵PO'=4,∴OO'=4-R, 在Rt△AOO'中,∵AO2=AO'2+OO'2, ∴R2=( )2+(4-R)2, 解得R= , ∴該球的表面積為4πR2=4π× = . (2)設(shè)正四面體內(nèi)切球的半徑為r,正四面體的棱長為a,則正四面體的表,面積S1=4× ·a2= a2,其內(nèi)切球的半徑為正四面體高的 ,即r= × a= a,因此內(nèi)切球的表面積S2=4πr2= ,則 = = .,方法指導(dǎo) “切”“接”問題處理的注意事項 (1)“切”的處理 解決與球的內(nèi)切問題時要找準切點. (2)“接”的處理 把一個多面體的幾個頂點放在同一球面上即為球的外接問題.解決這類 問題的關(guān)鍵是抓住外接的特點,即球心到多面體的頂點的距離等于球的 半徑.,3-1 如圖所示,在半徑為R的半球內(nèi)有一內(nèi)接圓柱,則這個圓柱的體積 的最大值是 . 答案 πR3 解析 設(shè)圓柱的高為h,則圓柱的底面半徑為 ,圓柱的體積V=π(R2 -h2)h=-πh3+πR2h(00,得0h R,令V ' 0,得,R hR,故當h= R 時, V取得最大值,最大值為 πR3.,,,