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第1講 空間幾何體的三視圖、表面積與體積,考情分析,總綱目錄,考點一 空間幾何體的三視圖 一個物體的三視圖的排列規(guī)則 俯視圖放在正(主)視圖的下面,長度與正(主)視圖的長度一樣,側(cè)(左)視 圖放在正(主)視圖的右面,高度與正(主)視圖的高度一樣,寬度與俯視圖 的寬度一樣.即“長對正、高平齊、寬相等”.,典型例題 (2017北京,7,5分)某四棱錐的三視圖如圖所示,則該四棱錐的最長棱的 長度為 ( ) A.3 B.2 C.2 D.2,解析 根據(jù)三視圖可得該四棱錐的直觀圖(四棱錐P-ABCD)如圖所示, 將該四棱錐放入棱長為2的正方體中.由圖可知該四棱錐的最長棱為 PD,PD= =2 .故選B.,答案 B,方法歸納 由三視圖還原直觀圖的思路 (1)根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面. (2)根據(jù)正(主)視圖或側(cè)(左)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征,調(diào)整 實線和虛線所對應的棱的位置. (3)確定幾何體的直觀圖形狀.,跟蹤集訓 1.(2016天津,3,5分)將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐, 得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示,則該幾何體的側(cè)(左)視圖為 ( ),答案 B 由幾何體的正視圖、俯視圖以及題意可畫出幾何體的直觀 圖,如圖所示. 該幾何體的側(cè)視圖為選項B.故選B.,2.(2016遼寧沈陽教學質(zhì)量檢測(一))如圖,網(wǎng)格紙的各小格都是正方形, 粗實線畫出的是一個凸多面體的三視圖(兩個矩形,一個直角三角形),則 這個幾何體可能為 ( ) A.三棱臺 B.三棱柱 C.四棱柱 D.四棱錐,答案 B 根據(jù)三視圖的畫法法則:長對正、高平齊、寬相等,可得幾何 體的直觀圖如圖所示,這是一個三棱柱.,考點二 空間幾何體的表面積與體積(高頻考點) 命題點 1.由三視圖求空間幾何體的體積.,2.由三視圖求空間幾何體的表面積.,3.根據(jù)已知空間幾何體求其表面積或體積.,1.柱體、錐體、臺體的側(cè)面積公式 (1)S柱側(cè)=ch(c為底面周長,h為高); (2)S錐側(cè)= ch'(c為底面周長,h'為斜高); (3)S臺側(cè)= (c+c')h'(c',c分別為上、下底面的周長,h'為斜高).,2.柱體、錐體、臺體的體積公式 (1)V柱體=Sh(S為底面面積,h為高); (2)V錐體= Sh(S為底面面積,h為高); (3)V臺= (S+ +S')h(S,S'分別為上、下底面面積,h為高)(不要求記憶).,3.球的表面積和體積公式 (1)S球表=4πR2(R為球的半徑); (2)V球= πR3(R為球的半徑).,典型例題 (1)(2017課標全國Ⅰ,7,5分)某多面體的三視圖如圖所示,其中正視 圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成,正方形的邊長為2,俯視 圖為等腰直角三角形.該多面體的各個面中有若干個是梯形,這些梯形 的面積之和為 ( ) A.10 B.12 C.14 D.16,A. B. C. D.,(2)(2017鄭州第二次質(zhì)量預測)某幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖為扇形,則該幾何體的體積為 ( ),解析 (1)由多面體的三視圖還原直觀圖如圖. 該幾何體由上方的三棱錐A-BCE和下方的三棱柱BCE-B1C1A1構(gòu)成,其中 面CC1A1A和面BB1A1A是梯形,則梯形的面積之和為2× =12.故選B. (2)由三視圖可知該幾何體是底面半徑為2、高為4的圓錐的一部分,設 底面扇形的圓心角為θ,則cos(π-θ)= ,所以θ= ,所以所求幾何體的體積 V= × π×22×4= ,故選D.,答案 (1)B (2)D,方法歸納 求解幾何體的表面積及體積的技巧 (1)求幾何體的表面積及體積問題,可以多角度、多方位地考慮,熟記公 式是關鍵所在.求三棱錐的體積,等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法,轉(zhuǎn)化原則是 其高易求,底面放在已知幾何體的某一面上. (2)求不規(guī)則幾何體的體積,常用分割或補形的思想,將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn) 化為規(guī)則幾何體進行求解.,跟蹤集訓 1.(2016課標全國Ⅰ,6,5分)如圖,某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓 及每個圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是 ,則它的表面 積是 ( ) A.17π B.18π C.20π D.28π,答案 A 由三視圖可知,該幾何體是一個球被截去 后剩下的部分,設 球的半徑為R,則該幾何體的體積為 × πR3,即 π= × πR3,解得R=2.故 其表面積為 ×4π×22+3× ×π×22=17π.選A.,2.(2017湖南湘中名校高三聯(lián)考)已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該 幾何體的體積為 ( ) A. B.32 C. D.,答案 A 由三視圖可知,該幾何體是由底面為等腰直角三角形(腰長 為4)、高為8的直三棱柱截去一個等底且高為4的三棱錐而得到的,所以 該幾何體的體積V= ×4×4×8- × ×4×4×4= ,故選A.,3.(2017南昌第一次模擬)如圖,直角梯形ABCD中,AD⊥DC,AD∥BC,BC= 2CD=2AD=2,若將該直角梯形繞BC邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周,則所得的幾何 體的表面積為 .,答案 ( +3)π,解析 根據(jù)題意可知,此旋轉(zhuǎn)體的上半部分為圓錐(底面半徑為1,高為 1),下半部分為圓柱(底面半徑為1,高為1),如圖所示. 則所得幾何體的表面積為圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積以及圓柱的下 底面面積之和,即表面積為π·1· +2π·12+π·12=( +3)π.,考點三 多面體與球的切、接問題 與球有關的組合體問題,一種是內(nèi)切,一種是外接.解題時要認真分 析圖形,明確切點和接點的位置,確定有關元素間的數(shù)量關系,并作出合 適的截面圖.,典型例題 (1)(2017課標全國Ⅲ,8,5分)已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周 在直徑為2的同一個球的球面上,則該圓柱的體積為 ( ) A.π B. C. D. (2)(2016課標全國Ⅲ,10,5分)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體 積為V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是 ( ) A.4π B. C.6π D.,解析 (1)設圓柱的底面圓半徑為r, 由題意可得r2+ =12, 解得r= . ∴圓柱的體積V=πr2×1= ,故選B. (2)易知AC=10.設底面△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r,則 ×6×8= ×(6+8+1 0)·r,所以r=2,因為2r=43,所以當球與三棱柱的上、下底面相切時,體積 最大,所以最大球的直徑2R=3,則R= ,此時球的體積V= πR3= .故選B.,答案 (1)B (2)B,方法歸納 多面體與球接、切問題的求解策略 涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時,一般過球心及多面體中的特殊點 (一般為接、切點)或線作截面,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題,再利用平面 幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關系,或只畫內(nèi)接、外切的幾何體的直 觀圖,確定球心的位置,弄清球的半徑(或直徑)與該幾何體已知量的關 系,列方程(組)求解.,跟蹤集訓 1.(2017石家莊教學質(zhì)量檢測(二))四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為 6的正方形,且PA=PB=PC=PD,若一個半徑為1的球與此四棱錐所有面都 相切,則該四棱錐的高是 ( ) A.6 B.5 C. D.,答案 D 過點P作PH⊥平面ABCD于點H.由題意知,四棱錐P-ABCD是 正四棱錐,內(nèi)切球的球心O應在四棱錐的高PH上.過正四棱錐的高作組 合體的軸截面如圖,其中PE,PF是斜高,M為球面與側(cè)面的一個切點.設 PH=h,易知Rt△PMO∽Rt△PHF,所以 = ,即 = ,解得h= , 故選D.,2.(2017太原模擬試題)已知三棱錐A-BCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,BC =CD=1,AB= ,則該三棱錐外接球的體積為 .,答案,解析 因為BC=1,CD=1,BC⊥CD,所以BD= , 又AB= ,且AB⊥平面BCD, 所以AD=2,AB⊥CD,所以CD⊥平面ABC,所以CD⊥AC, 所以三棱錐A-BCD的外接球的球心為AD的中點,半徑為1,所以三棱錐A -BCD的外接球的體積為 .,考點四 數(shù)學文化與立體幾何,典型例題 (2015課標全國Ⅰ,6,5分)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學 名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問:積及 為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個圓錐 的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆 放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估 算出堆放的米約有 ( ),A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛,答案 B 解析 設圓錐底面的半徑為R尺,由 ×2πR=8得R= ,從而米堆的體積V = × πR2×5= (立方尺),因此堆放的米約有 ≈22(斛).故 選B. 方法歸納 本題屬于生活中谷物儲存問題,源于《九章算術(shù)》第五章“商功”,結(jié) 合立體幾何中的基礎知識進行設問,強化了數(shù)學文化的傳承和數(shù)學應用 意識的培養(yǎng).我國古代數(shù)學強調(diào)“經(jīng)世濟用”,涉及的研究大多與實際 生活、生產(chǎn)聯(lián)系緊密,體現(xiàn)出明顯的問題式、綜合性的特征.,跟蹤集訓 我國南北朝時期數(shù)學家、天文學家——祖暅,提出了著名的祖暅原 理:“冪勢既同,則積不容異”.“冪”是截面積,“勢”是幾何體的高,意 思是兩等高立方體,若在每一等高處的截面積都相等,則兩立方體體積 相等.已知某不規(guī)則幾何體與如圖所示的三視圖對應的幾何體滿足“冪 勢同”,則該不規(guī)則幾何體的體積為 ( ),A.4- B.8- C.8-π D.8-2π,答案 C 由祖暅原理可知,不規(guī)則幾何體的體積與已知三視圖所對應 的幾何體體積相等.根據(jù)題設所給的三視圖,可知幾何體是從一個正方 體中挖去一個半圓柱得到的,正方體的體積為23=8,半圓柱的體積為 × (π×12)×2=π,因此不規(guī)則幾何體的體積為8-π,故選C.,1.(2017廣州綜合測試(一))如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出 的為某幾何體的正視圖(等腰直角三角形)和側(cè)視圖,且該幾何體的體積 為 ,則該幾何體的俯視圖可以是 ( ),隨堂檢測,答案 D 由題意可得該幾何體可能為四棱錐,如圖所示,其高為2,其底 面為正方形,面積為2×2=4,因為該幾何體的體積為 ×4×2= ,滿足條件, 所以俯視圖可以為一個直角三角形.故選D.,2.(2017蘭州診斷考試)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面 積為 ( ) A.(9+ )π B.(9+2 )π C.(10+ )π D.(10+2 )π,答案 A 由三視圖可知,該幾何體為一個圓柱挖去一個同底的圓錐,且 圓錐的高是圓柱高的一半.故該幾何體的表面積S=π×12+4×2π+ ×2π× =(9+ )π.,3.(2017洛陽第一次統(tǒng)一考試)已知簡單組合體的三視圖如圖所示,則此 簡單組合體的體積為 ( ) A. π B.14π C. π-8 D. π-4,答案 D 依題意知,該簡單組合體是從一個圓錐(底面半徑為2、高為 4)中截去一個正四棱柱(底面正方形的邊長為 ,高為2)后剩余的部分, 因此該簡單組合體的體積為 π×22×4-( )2×2= -4,故選D.,4.(2017江蘇,6,5分)如圖,在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O,該球與圓柱的上、下 底面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2,則 的值是 .,答案,解析 設圓柱內(nèi)切球的半徑為R, 則由題設可得圓柱O1O2的底面圓的半徑為R,高為2R, ∴ = = .,5.(2017貴陽檢測)一個幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖是邊長為2 的等邊三角形,俯視圖為正六邊形,則該幾何體的體積是 .,答案,解析 依題意得,題中的幾何體是一個正六棱錐,其中底面是邊長為1的 正六邊形,高為2× = ,因此幾何體的體積等于 × × = .,