《高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第一篇專題突破專題五立體幾何第3講空間向量與立體幾何課件理.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第一篇專題突破專題五立體幾何第3講空間向量與立體幾何課件理.ppt（42頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

第3講 空間向量與立體幾何,考情分析,總綱目錄,典型例題 如圖所示,在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,E,F 分別是PC,PD的中點(diǎn),PA=AB=1,BC=2. (1)求證:EF∥平面PAB; (2)求證:平面PAD⊥平面PDC.,證明 以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間 直角坐標(biāo)系如圖所示,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1), 所以E ,F , = , =(0,0,1), =(0,2,0), =(1,0, 0), =(1,0,0). (1)因?yàn)?=- ,所以 ∥ ,,即EF∥AB. 又AB?平面PAB,EF?平面PAB, 所以EF∥平面PAB. (2)因?yàn)?· =(0,0,1)·(1,0,0)=0, · =(0,2,0)·(1,0,0)=0, 所以 ⊥ , ⊥ , 即AP⊥DC,AD⊥DC. 又因?yàn)锳P∩AD=A,AP?平面PAD,AD?平面PAD, 所以DC⊥平面PAD.因?yàn)镈C?平面PDC, 所以平面PAD⊥平面PDC.,方法歸納 向量法證明平行與垂直的四個(gè)步驟 (1)建立空間直角坐標(biāo)系,建系時(shí),要盡可能地利用已知的垂直關(guān)系; (2)建立空間圖形與空間向量之間的關(guān)系,用空間向量表示出問題中所 涉及的點(diǎn)、直線、平面; (3)通過空間向量的運(yùn)算求出平面向量或法向量,再研究平行、垂直關(guān) 系; (4)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果解釋相關(guān)問題.,跟蹤集訓(xùn) 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,點(diǎn)E在線段BB1上, 且EB1=1,D,F,G分別為CC1,C1B1,C1A1的中點(diǎn).求證: (1)B1D⊥平面ABD; (2)平面EGF∥平面ABD.,(2)由(1),知E(0,0,3),G ,F(0,1,4), 則 = , =(0,1,1), 所以 · =0+2-2=0, · =0+2-2=0, 即B1D⊥EG,B1D⊥EF. 又EG∩EF=E,EG,EF?平面EGF, 因此B1D⊥平面EGF. 結(jié)合(1)可知平面EGF∥平面ABD.,考點(diǎn)二 利用空間向量求空間角(高頻考點(diǎn)) 命題點(diǎn) 1.利用空間向量求線線角、線面角、二面角.,2.由空間角的大小求參數(shù)值或線段長.,1.向量法求異面直線所成的角 若異面直線a,b的方向向量分別為a,b,所成的角為θ,則cos θ=|cos|= .,2.向量法求線面所成的角 求出平面的法向量n,直線的方向向量a,設(shè)線面所成的角為θ,則sin θ=|cos |= .,3.向量法求二面角 求出二面角α-l-β的兩個(gè)半平面α與β的法向量n1,n2,若二面角α-l-β所成的 角θ為銳角,則cos θ=|cos|= ; 若二面角α-l-β所成的角θ為鈍角,則cos θ=-|cos|=- .,典型例題 (2017課標(biāo)全國Ⅱ,19,12分)如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角 形且垂直于底面ABCD,AB=BC= AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中點(diǎn). (1)證明:直線CE∥平面PAB; (2)點(diǎn)M在棱PC上,且直線BM與底面ABCD所成角為45°,求二面角M-AB- D的余弦值.,解析 (1)取PA的中點(diǎn)F,連接EF,BF. 因?yàn)镋是PD的中點(diǎn),所以EF∥AD,EF= AD. 由∠BAD=∠ABC=90°得BC∥AD,又BC= AD,所以EF??BC,四邊形 BCEF是平行四邊形,CE∥BF,又BF?平面PAB,CE?平面PAB,故CE∥ 平面PAB.,(2)由已知得BA⊥AD,以A為坐標(biāo)原點(diǎn), 的方向?yàn)閤軸正方向,| |為單 位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1, 0),P(0,1, ), =(1,0,- ), =(1,0,0).,設(shè)M(x,y,z)(0x1),則 =(x-1,y,z), =(x,y-1,z- ).,因?yàn)锽M與底面ABCD所成的角為45°, 而n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量, 所以|cos|=sin 45°, = , 即(x-1)2+y2-z2=0. ① 又M在棱PC上,設(shè) =λ ,則 x=λ,y=1,z= - λ. ②,方法歸納 利用空間向量求空間角的一般步驟 (1)建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;,(2)求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),寫出相關(guān)向量的坐標(biāo); (3)結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算; (4)轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論.,跟蹤集訓(xùn) 1.(2017江蘇,22,10分)如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面 ABCD,且AB=AD=2,AA1= ,∠BAD=120°. (1)求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值; (2)求二面角B-A1D-A的正弦值.,解析 在平面ABCD內(nèi),過點(diǎn)A作AE⊥AD,交BC于點(diǎn)E. 因?yàn)锳A1⊥平面ABCD, 所以AA1⊥AE,AA1⊥AD. 如圖,以{ , , }為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.,因?yàn)锳B=AD=2,AA1= ,∠BAD=120°, 則A(0,0,0),B( ,-1,0),D(0,2,0),E( ,0,0),A1(0,0, ),C1( ,1, ). (1) =( ,-1,- ), =( ,1, ), 則cos= = =- , 因此異面直線A1B與AC1所成角的余弦值為 . (2)平面A1DA的一個(gè)法向量為 =( ,0,0). 設(shè)m=(x,y,z)為平面BA1D的法向量,,2.(2017天津,17,13分)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90 °.點(diǎn)D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點(diǎn),M是線段AD的中點(diǎn),PA=AC=4,AB=2. (1)求證:MN∥平面BDE; (2)求二面角C-EM-N的正弦值; (3)已知點(diǎn)H在棱PA上,且直線NH與直線BE所成角的余弦值為 ,求線 段AH的長.,解析 如圖,以A為原點(diǎn),分別以 , , 方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向 建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0, 0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0). (1)證明: =(0,2,0), =(2,0,-2).設(shè)n=(x,y,z)為平面BDE的法向量,則,即 不妨設(shè)z=1,可得n=(1,0,1).又 =(1,2,-1),可得 ·n=0,即 ⊥n. 因?yàn)镸N?平面BDE,所以MN∥平面BDE. (2)易知n1=(1,0,0)為平面CEM的一個(gè)法向量. 設(shè)n2=(x,y,z)為平面EMN的法向量,則 因?yàn)?=(0,-2,-1), =(1,2,-1),所以 不妨設(shè)y=1,可得n2=(-4,1,-2). 因此有cos= =- ,,于是sin= . 所以,二面角C-EM-N的正弦值為 . (3)依題意,設(shè)AH=h(0≤h≤4),則H(0,0,h),進(jìn)而可得 =(-1,-2,h), =(-2, 2,2).由已知,得|cos|= = = ,整理得10h2- 21h+8=0,解得h= 或h= . 所以,線段AH的長為 或 .,考點(diǎn)三 立體幾何中的探索性問題,典型例題 (2017寶雞質(zhì)量檢測(一))如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD為矩形,PA⊥ 底面ABCD,點(diǎn)E是PD的中點(diǎn),點(diǎn)F是PC的中點(diǎn). (1)證明:PB∥平面AEC; (2)若底面ABCD為正方形,探究在什么條件下,二面角C-AF-D的大小為6 0°?,解析 易知AD,AB,AP兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz, 設(shè)AB=2a,AD=2b,AP=2c,則A(0,0,0),B(2a,0,0),C(2a,2b,0),D(0,2b,0),P(0,0,2c). 連接BD,設(shè)AC∩BD=O,連接OE,則O(a,b,0),又E是PD的中點(diǎn),所以E (0,b,c). (1)因?yàn)?=(2a,0,-2c), =(a,0,-c), 所以 =2 ,所以 ∥ ,即PB∥EO. 因?yàn)镻B?平面AEC,EO?平面AEC,所以PB∥平面AEC.,方法歸納 利用空間向量巧解探索性問題 (1)對于存在型問題,解題時(shí),把要滿足的結(jié)論當(dāng)作條件,據(jù)此列方程或方 程組,把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“是否有解”“是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等. (2)對于位置探索型問題,通常是借助向量,引入?yún)?shù),綜合條件和結(jié)論列 方程,解出參數(shù),從而確定位置.,跟蹤集訓(xùn) 如圖所示,四邊形ABCD是邊長為1的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平 面ABCD,且MD=NB=1,E為BC的中點(diǎn). (1)求異面直線NE與AM所成角的余弦值; (2)在線段AN上是否存在點(diǎn)S,使得ES⊥平面AMN?若存在,求線段AS的 長;若不存在,請說明理由.,(2)假設(shè)在線段AN上存在點(diǎn)S,使得ES⊥平面AMN. 連接AE,如圖所示. 因?yàn)?=(0,1,1),可設(shè) =λ =(0,λ,λ), 又 = ,所以 = + = . 由ES⊥平面AMN,得 即 解得λ= ,此時(shí) = ,| |= . 經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)|AS|= 時(shí),ES⊥平面AMN. 故線段AN上存在點(diǎn)S,使得ES⊥平面AMN,此時(shí)|AS|= .,1.(2017山東,17,12分)如圖,幾何體是圓柱的一部分,它是由矩形ABCD (及其內(nèi)部)以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120°得到的,G是 的中點(diǎn). (1)設(shè)P是 上的一點(diǎn),且AP⊥BE,求∠CBP的大小; (2)當(dāng)AB=3,AD=2時(shí),求二面角E-AG-C的大小.,隨堂檢測,解析 (1)因?yàn)锳P⊥BE,AB⊥BE, AB,AP?平面ABP,AB∩AP=A, 所以BE⊥平面ABP,又BP?平面ABP, 所以BE⊥BP,又∠EBC=120°,因此∠CBP=30°. (2)解法一:取 的中點(diǎn)H,連接EH,GH,CH. 因?yàn)椤螮BC=120°,所以四邊形BEHC為菱形,,所以AE=GE=AC=GC= = . 取AG中點(diǎn)M,連接EM,CM,EC, 則EM⊥AG,CM⊥AG, 所以∠EMC為所求二面角的平面角. 又AM=1,所以EM=CM= =2 . 在△BEC中,由于∠EBC=120°, 由余弦定理得EC2=22+22-2×2×2×cos 120°=12, 所以EC=2 ,因此△EMC為等邊三角形,故所求的角為60°. 解法二:以B為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以BE,BP,BA所在的直線為x,y,z軸,建立如 圖所示的空間直角坐標(biāo)系.,由題意得A(0,0,3),E(2,0,0),G(1, ,3),C(-1, ,0), 故 =(2,0,-3), =(1, ,0), =(2,0,3), 設(shè)m=(x1,y1,z1)是平面AEG的法向量. 由 可得 取z1=2,可得平面AEG的一個(gè)法向量m=(3,- ,2).,設(shè)n=(x2,y2,z2)是平面ACG的法向量. 由 可得 取z2=-2,可得平面ACG的一個(gè)法向量n=(3,- ,-2). 所以cos= = . 易知所求角為銳二面角, 因此所求的角為60°.,2.(2017昆明教學(xué)質(zhì)量檢測)如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AC⊥ 平面BCC1B1,AC=BC=1,BB1=2,∠B1BC=60°. (1)證明:B1C⊥AB; (2)已知點(diǎn)E在棱BB1上,二面角A-EC1-C為45°,求 的值.,解析 (1)在△BCB1中,BC=1,BB1=2,∠B1BC=60°, 則B1C= = , 于是BC2+B1C2=B ,故B1C⊥BC. 因?yàn)锳C⊥平面BCC1B, 所以AC⊥B1C,又BC∩AC=C, 所以B1C⊥平面ABC,所以B1C⊥AB. (2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz,,則C(0,0,0),B1( ,0,0),B(0,1,0),A(0,0,1), 由 = 得C1( ,-1,0), 設(shè) =λ (0≤λ≤1),則E( λ,1-λ,0), 于是 =( λ,1-λ,-1), =( ,-1,-1),,設(shè)平面AEC1的法向量為n=(x,y,z),則 即 可得平面AEC1的一個(gè)法向量為n=(λ-2, λ- ,- ), 易得平面EC1C的一個(gè)法向量為m= =(0,0,1), 又二面角A-EC1-C為45°, 則cos 45°= = = = , 解得λ= 或λ=2(舍), 所以 = ,故 的值為 .,