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巧用面積法 妙解幾何題,人教版八年級數(shù)學(xué) 上冊 映山中學(xué) 嚴(yán)正霞,何謂面積法,在求解平面幾何問題的時候，根據(jù)有關(guān)幾何量與涉及的有關(guān)圖形面積之間的內(nèi)在聯(lián)系，用面積或面積之間的關(guān)系表示有關(guān)線段間的關(guān)系，從而把要論證的線段之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為面積的關(guān)系，并通過圖形面積的等積變換對所論問題來進(jìn)行求解的方法，稱之為面積法。 抓住面積不但能把平面幾何知識變得更容易學(xué)，而且使幾何問題變得更簡捷，更有趣味。,溫故知新,填空： 1.若△ABC≌△DEF，且△ABC的面積為25，則△DEF的面積為 。 2.已知AD為△ABC的中線，則S △ABD與S △ACD的大小關(guān)系為 。 3.(1)平行四邊形ABCD的一條對角線AC把它分成兩個三角形△ABC 、△ADC，則S △ABC與S △ADC的大小關(guān)系為 。 (2)平行四邊形ABCD的邊AD上有一點(diǎn)E，連結(jié)EB、EC，則S △EBC與S平行四邊形ABCD的關(guān)系為 。 4.已知直線a ∥b，點(diǎn)M、N為b上兩點(diǎn)，點(diǎn)A、B為a上兩點(diǎn)，連結(jié)AM、AN、BM、BN，則S △AMN 與S △BMN的大小關(guān)系為 。,25,S△ABD=S△ACD,S△ABC=S△ADC,S△ABD=1/2S平行四邊形ABCD,S△AMN=S△BMN,用面積法解幾何問題常用到下列性質(zhì)：,全等三角形的面積相等； 三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分； 平行四邊形的對角線把其分成面積相等的兩部分； 三角形的面積等于同底（或等底）等高的平行四邊形的面積的一半； 同底（或等底）等高的三角形面積相等。,例題講解,證線段相等 例1.已知：△ABC中，∠A為銳角，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，求證：BD=CE.,分析：此題運(yùn)用三角形全等可以解決，但考慮到有“高” ，不妨用面積法來試試，可用S△ABC=1/2AB·CE=1/2AC·BD來完成。,證明： ∵ △ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E ∴ S△ABC=1/2AB·CE=1/2AC·BD 又AB=AC ∴BD=CE,變式訓(xùn)練,1.已知：等腰△ABC中，AB=AC，D為底邊BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F.求證：DE=DF.,分析：此題用三角形全等可完成，但題中出現(xiàn)兩條“垂線段”，可考慮面積法，連接AD，則S△ABD=S△ACD，由AB=AC，可得DE=DF.,2.平行四邊形ABCD中，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，求證：BE=DF,變式訓(xùn)練,分析：此題可以用平行四邊形和全等三角形的知識解決，但出現(xiàn)兩條“垂線段”，且都垂直于同一條線段，可考慮面積法，根據(jù)S平行四邊形ABCD=2S △ABC=2S△ADC可得證。,證線段的和差關(guān)系 例2.（1）已知： △ABC中，AB=AC，P為底邊BC上一點(diǎn)，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，BF⊥AC于F，求證：PD+PE=BF.,分析：此題可構(gòu)造矩形來證明，但較麻煩。考慮到題中有三條“垂線段”，可嘗試面積法。連接AP，根據(jù)S△ABC=S△ABP+S△ACP，結(jié)合AB=AC，可得證。,證明：∵ BF⊥AC于F ∴S △ABC=1/2AC·BF ∵ PD⊥AB于D，PE⊥AC于E ∴S △ABP=1/2AB·PD， S△ACP=1/2AC·PE ∵ S △ABC= S △ABP+ S△ACP ∴1/2AC·BF=1/2AB·PD+1/2AC·PE ∵AB=AC ∴PD+PE=BF,（2）若P為 △ABC的底邊BC的延長線上一點(diǎn)，其他條件不變，則（1）中的結(jié)論仍然成立嗎？若成立，請說明理由；若不成立，請寫出正確的結(jié)論，并證明。,分析：雖然題目條件發(fā)生了變化，但思路不變，方法不變，還是用面積法。連接AP，根據(jù)S△ABC=S△ABP-S△ACP，結(jié)合AB=AC，可得到正確的結(jié)論:PD-PE=BF。,證明：∵ BF⊥AC于F ∴S △ABC=1/2AC·BF ∵ PD⊥AB于D，PE⊥AC于E ∴S △ABP=1/2AB·PD， S△ACP=1/2AC·PE ∵ S △ABC= S △ABP﹣S△ACP ∴1/2AC·BF=1/2AB·PD﹣1/2AC·PE ∵AB=AC ∴PD﹣PE=BF,3.（1）已知等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分別為D、E、F，又AH為△ABC的高，求證：PD+PE+PF=AH.,變式訓(xùn)練,分析：考慮到題中出現(xiàn)了三條“垂線段”和一條“高”，可嘗試面積法。連結(jié)PA、PB、PC，根據(jù)S△ABC=S△ABP+S△BCP+S△ACP，由AB=BC=AC，可得證PD+PE+PF=AH,（2）若P是等邊△ABC外部一點(diǎn)，其他條件不變，（1）中的結(jié)論仍然成立嗎？若成立，請說明理由；若不成立，請寫出正確的結(jié)論，并說明理由。,分析：此題的條件雖然發(fā)生了變化，但是思路、方法不變，還是應(yīng)用面積法。連結(jié)PA、PB、PC，根據(jù)S△ABC=S△ABP+S△ACP－S△BCP，由AB=BC=AC，可得正確結(jié)論：PD+PF－PE=AH,證角相等 例3.點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊在AB同側(cè)作等邊△ACD和等邊△BCE，連接BD、AE交于O點(diǎn)，再連接OC，求證：∠AOC=∠BOC.,分析：要證∠AOC=∠BOC，可證點(diǎn)C到AO、BO的距離相等，如此就要過C點(diǎn)作CP⊥AE于P，CQ⊥BD于Q，證CP=CQ，可考慮面積法，證△ACE≌△DCB,則有 S△ACE =S△DCB 且AE=BD，可得CP=CQ。,,P,,Q,證明：過點(diǎn)C作CP⊥AE于P，CQ⊥BD于Q， ∵△ACD、△BCE是等邊三角形 ∴AC=DC，EC=BC， ∠ACD=∠ECB=60° ∴∠ACE=∠DCB=120° ∴△ACE≌△DCB ∴S△ACE =S△DCB ，AE=BD ∴CP=CQ ∴OC平分∠AOB， 即∠AOC=∠BOC.,變式訓(xùn)練,4.在平行四邊形ABCD的兩邊AD、CD上各取一點(diǎn)E、F，使AF=CE，且AF與CE交于點(diǎn)P，連接BP，求證：BP平分∠APC,分析：要證BP平分∠APC，可證點(diǎn)B到AP、CP的距離相等，故過B作BG⊥AF于G，BH⊥CE于H，連接BF、BE。由于AF=CE，只要S△ABF=S△BCE即可，而S△ABF=S△BCE=1/2S平行四邊形ABCD，所以BG=BH，命題得證。,,,,,課堂小結(jié),面積法是平面幾何中論證線段關(guān)系的一種較簡單的數(shù)學(xué)方法； 使用面積法的前提是：題中要有“垂線段”，若沒有“垂線段”，則要結(jié)合角平分線的性質(zhì)或判定構(gòu)造“垂線段”； 使用面積法解題的關(guān)鍵在于：抓住圖形之間的面積關(guān)系，進(jìn)而利用面積公式轉(zhuǎn)化為線段關(guān)系。,課后練習(xí),1.Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，M為邊BC上一點(diǎn)，連接AM，若將△ABM沿直線AM翻折后，點(diǎn)B恰好落在邊AC的中點(diǎn)B′處，那么點(diǎn)M到AC的距離是 。 2. △ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，則PE+PF= 。,3. △ABC中，AB＞AC，BD和CE分別為AC、AB上的高，求證：BD＞CE. 4.以△ABC的邊AB、AC為邊長，在BC的同側(cè)作正方形ABEF和正方形ACGH，連接FH，過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，延長DA交FH于點(diǎn)M，求證：FM=HM.,※5.設(shè)E是△ABC的角平分線AD上一點(diǎn)，連接EB、EC，過C作CF∥BE交AB的延長線于F，過B作BG∥EC交AC的延長線于G，求證：BF=CG.（提示：S△BEF=S△BEC=S△CEG）,※6.在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，求證：AB︰AC=BD︰CD. （提示：AB︰AC=S△ABD︰S△ACD） ※7.Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，已知AB=c，AC=b，BC=a，CD=h，求證：1/a2+1/b2=1/h2（提示：a2+b2=c2）,