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,高中數學·必修2·湘教版,,,第3章 三角函數 3.2 任意角的三角函數 3.2.1 任意角三角函數的定義(二),[學習目標] 1．了解三角函數線的意義，能用三角函數線表示一個角的正弦、余弦和正切． 2．能利用三角函數線解決一些簡單的三角函數問題．,預習導學,[知識鏈接] 1．什么叫做單位圓？ 答 以坐標原點為圓心，以單位長度1為半徑畫一個圓，這個圓就叫做單位圓(注意：這個單位長度不一定就是1厘米或1米)． 2．帶有方向的線段叫 ．有向線段的大小稱為它 的 ． 在坐標系中，規(guī)定：有向線段的方向與坐標系 的 ．即同向時， ；反向時， ．,預習導學,有向線段,數量,方向相同,數量為正,數量為負,[預習導引] 1．三角函數的定義域 正弦函數y＝sin x的定義域是 ；余弦函數y＝cos x的定義域 是R；正切函數y＝tan x的定義域是 . ．,預習導學,R,,k∈Z},2．三角函數線 如圖，設單位圓與x軸的正半軸交于點A，與角α的終邊交于 P點．過點P作x軸的垂線PM，垂足為M，過A作單位圓的切 線交OP的延長線(或反向延長線)于T點．單位圓中的有向線 段 、 、 分別叫做角α的正弦線、余弦線、正切 線．記作：sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ .,預習導學,MP,OM,AT,MP,OM,AT,預習導學,課堂講義,課堂講義,課堂講義,規(guī)律方法 利用三角函數線比較三角函數值的大小時，一般分三步：①角的位置要“對號入座”；②比較三角函數線的長度；③確定有向線段的正負．,課堂講義,跟蹤演練1 比較sin 1 155°與sin(－1 654°)的大?。?解 先把兩角化成0°～360°間的角的三角函數． sin 1 155°＝sin(3×360°＋75°)＝sin 75°， sin(－1 654°)＝sin(－5×360°＋146°)＝sin 146°. 在單位圓中，分別作出sin 75°和sin 146°的正弦線M2P2，M1P1(如圖)． ∵M1P1sin(－1 654°)．,課堂講義,課堂講義,課堂講義,規(guī)律方法 用單位圓中的三角函數線求解簡單的三角不等式，應注意以下兩點： (1)先找到“正值”區(qū)間，即0～2π間滿足條件的角θ的范圍，然后再加上2kπ(k∈Z)； (2)注意區(qū)間是開區(qū)間還是閉區(qū)間．,課堂講義,跟蹤演練2 已知點P(sin α－cos α，tan α)在第一象限， 若α∈[0,2π)，求α的取值范圍．,課堂講義,課堂講義,規(guī)律方法 求三角函數定義域時，一般應轉化為求不等式(組)的解的問題．利用數軸或三角函數線是解三角不等式常用的方法．解多個三角不等式時，先在單位圓中作出使每個不等式成立的角的范圍，再取公共部分．,課堂講義,跟蹤演練3 求函數f(x)＝lg(3－4sin2x)的定義域．,當堂檢測,答案 D,當堂檢測,2. 如圖在單位圓中角α的正弦線、正切線完全正確的是( ) A．正弦線PM，正切線A′T′ B．正弦線MP，正切線A′T′ C．正弦線MP，正切線AT D．正弦線PM，正切線AT,答案 C,當堂檢測,答案 B,當堂檢測,答案 (1) (2) (3),1．三角函數線的意義 三角函數線是用單位圓中某些特定的有向線段的長度和方向表示三角函數的值，三角函數線的長度等于三角函數值的絕對值，方向表示三角函數值的正負．具體地說，正弦線、正切線的方向同縱坐標軸一致，向上為正，向下為負；余弦線的方向同橫坐標軸一致，向右為正，向左為負．三角函數線將抽象的數用幾何圖形表示出來了，使得問題更形象直觀，為從幾何途徑解決問題提供了方便．,當堂檢測,2．三角函數線的畫法 定義中不僅定義了什么是正弦線、余弦線、正切線，同時也給出了角α的三角函數線的畫法即先找到P、M、T點，再畫出MP、OM、AT. 注意三角函數線是有向線段，要分清始點和終點，字母的書寫順序不能顛倒． 3．三角函數線是三角函數的幾何表示，它直觀地刻畫了三角函數的概念．與三角函數的定義結合起來，可以從數與形兩方面認識三角函數的定義，并使得對三角函數的定義域、函數值符號的變化規(guī)律、公式一的理解容易了．,當堂檢測,