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成才之路 · 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索,北師大版 · 必修3,概 率,第三章,§2 古典概型,第三章,2.3 互斥事件,“魚與熊掌不可兼得”新解：解說(shuō)一：魚和熊掌同時(shí)放在鍋里燉，魚先熟熊掌后熟，如果要魚那熊掌就不能吃，如果要熊掌那魚就過(guò)火了，故“二者不可兼得”．解說(shuō)二：熊要吃魚，要保護(hù)魚就要餓死熊，保護(hù)熊就要吃掉魚，故“二者不可兼得”．在生活中我們常常會(huì)遇到這樣的兩個(gè)事情，它們不能同時(shí)發(fā)生，你是取“魚”，還是取“熊掌”？,1．互斥事件 在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，我們把一次試驗(yàn)下______________的兩個(gè)事件A與B稱作互斥事件． 2．事件A與B的和 給定事件A，B，我們規(guī)定事件A＋B是一個(gè)事件，事件A＋B發(fā)生是指________________________．對(duì)于三個(gè)或三個(gè)以上事件，結(jié)論同樣成立．,不能同時(shí)發(fā)生,事件A和B至少有一個(gè)發(fā)生,3．互斥事件的概率加法公式 在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，如果隨機(jī)事件A和B是互斥事件，則有P(A＋B)＝____________.對(duì)于三個(gè)或三個(gè)以上事件，上式結(jié)論同樣成立，即如果事件A1，A2，A3，…，An是互斥事件，則有P(A1＋A2＋A3＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋…＋P(An)．,P(A)＋P(B),同時(shí)發(fā)生,必有一個(gè)發(fā)生,[特別提示] 互斥事件與對(duì)立事件的異同 不同點(diǎn)是： 1．由定義，對(duì)立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是對(duì)立事件； 2．對(duì)立事件是針對(duì)兩個(gè)事件來(lái)說(shuō)的，而互斥事件可以是兩個(gè)事件，也可以推廣到n(n∈N＋)個(gè)事件； 3．在一次試驗(yàn)中，互斥的兩個(gè)事件可能都不發(fā)生，但是對(duì)立的兩個(gè)事件必然有一個(gè)發(fā)生．,相同點(diǎn)是：這兩種類型的事件都不可能同時(shí)發(fā)生． 利用集合的觀點(diǎn)來(lái)判斷 設(shè)事件A與B它們所含的結(jié)果組成的集合分別是A、B，①若事件A與B互斥，即集合A∩B＝?；②若事件A與B對(duì)立，即集合A∩B＝?，且A∪B＝I，也即A＝?IB或B＝?IA；③對(duì)互斥事件A與B的和A＋B，可理解為集合A∪B.,1．一人在打靶中連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( ) A．至多有一次中靶 B．兩次都中靶 C．兩次都不中靶 D．只有一次中靶 [答案] C [解析] “至少有一次中靶”即為“一次中靶或兩次中靶”，據(jù)互斥事件是不能同時(shí)發(fā)生的這一定義知，應(yīng)選C.,2．甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率是40%，甲不輸?shù)母怕蕿?0%，則甲、乙二人下成和棋的概率為( ) A．60% B．30% C．10% D．50% [答案] D [解析] 甲不輸棋包含甲獲勝或甲、乙二人下成和棋，則甲、乙二人下成和棋的概率為90%－40%＝50%.,3．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋中任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是( ) A．至少有1個(gè)黑球與都是黑球 B．至少有1個(gè)黑球與至少有1個(gè)紅球 C．恰有1個(gè)黑球與恰有2個(gè)黑球 D．至少有1個(gè)黑球與都是紅球 [答案] C,[解析] “從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球”這一事件共包含3個(gè)基本事件，關(guān)系如圖所示. 顯然恰有1個(gè)黑球與恰有2個(gè)黑球互斥但不對(duì)立．,,4．從一箱蘋果中任取一個(gè)，如果其重量小于200克的概率為0.2，重量在[200,300]克的概率為0.5，那么重量小于等于300克的概率為________． [答案] 0.7 [解析] 重量小于等于300克包含兩種情況，重量小于200克和重量在[200,300]克兩種情況，所以重量小于等于300克的概率為0.2＋0.5＝0.7.,5．袋內(nèi)裝有大小相同的紅球、白球和黑球各若干個(gè)，從中摸出一球，摸出紅球的概率是0.3，摸出黑球的概率是0.6，則摸出白球的概率是________． [答案] 0.1 [解析] 設(shè)摸出紅球?yàn)槭录嗀，摸出黑球?yàn)槭录﨎，摸出白球?yàn)槭录﨏，則事件A、B、C兩兩互斥，且事件C與A＋B對(duì)立，所以P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.3－0.6＝0.1.,“互斥事件”與“對(duì)立事件”的區(qū)別和聯(lián)系,[思路分析] 解答本題可先判斷每一組的兩個(gè)事件能否同時(shí)發(fā)生，進(jìn)而再判斷是否必有一個(gè)發(fā)生，然后再下結(jié)論． [規(guī)范解答] (1)是互斥事件，不是對(duì)立事件． 理由是：在所選的2名同學(xué)中，“恰有1名男生”實(shí)質(zhì)選出的是“1名男生和1名女生”，它與“恰有2名男生”不可能同時(shí)發(fā)生，所以是一對(duì)互斥事件．但其并事件不是必然事件．所以不是對(duì)立事件．,(2)不是互斥事件，從而也不是對(duì)立事件． 理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”兩種結(jié)果．“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”兩種結(jié)果，它們可同時(shí)發(fā)生． (3)不是互斥事件，從而也不是對(duì)立事件． 理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，這與“全是男生”可同時(shí)發(fā)生．,(4)是互斥事件，也是對(duì)立事件． 理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”兩種結(jié)果，它與“全是女生”不可能同時(shí)發(fā)生，且其并事件是必然事件，所以是對(duì)立事件．,[規(guī)律總結(jié)] 判斷兩個(gè)事件是否為互斥事件，主要看它們能否同時(shí)發(fā)生，若不同時(shí)發(fā)生，則這兩個(gè)事件是互斥事件，若能同時(shí)發(fā)生，則這兩個(gè)事件不是互斥事件．判斷兩個(gè)事件是否為對(duì)立事件，主要看是否同時(shí)滿足兩個(gè)條件：一是不能同時(shí)發(fā)生；二是必有一個(gè)發(fā)生．如果這兩個(gè)條件同時(shí)成立，那么這兩個(gè)事件就是對(duì)立事件，只要有一個(gè)條件不成立，那么這兩個(gè)事件就不是對(duì)立事件．,下列給出的每對(duì)事件，是否為互斥事件？是否為對(duì)立事件？并說(shuō)明理由． 從40張撲克牌(紅心、黑桃、方塊、梅花，點(diǎn)數(shù)從1～10各10張)中，任意抽取1張． (1)“抽出紅心”與“抽出黑桃”； (2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”； (3)“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”,[分析] 根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的定義，互斥事件是指不可能同時(shí)發(fā)生的事件，而對(duì)立事件是指在一次試驗(yàn)中不可能同時(shí)發(fā)生并且一定有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件． [解析] (1)是互斥事件，不是對(duì)立事件． 理由：從40張撲克牌中，任意抽取1張，“抽出紅心”和“抽出黑桃”是不可能同時(shí)發(fā)生的，所以是互斥事件．同時(shí)，不能保證其中必有一個(gè)發(fā)生，這是由于還可能“抽出方塊”或者“抽出梅花”，因此二者不是對(duì)立事件．,(2)既是互斥事件，又是對(duì)立事件． 理由：從40張撲克牌中，任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，且其中必有一個(gè)發(fā)生，所以它們既是互斥事件，又是對(duì)立事件． (3)不是互斥事件，也不是對(duì)立事件． 理由：從40張撲克牌中，任意抽取1張，“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”這兩個(gè)事件可能同時(shí)發(fā)生，如抽出的牌點(diǎn)數(shù)為10，因此二者不是互斥事件，當(dāng)然也不可能是對(duì)立事件.,互斥事件的概率計(jì)算,[思路分析] 由題意知從袋中取球得到黑球、黃球和綠球的事件是互斥事件，因此摸到兩種或兩種以上球的概率可以用互斥事件的概率加法公式，本題中是已知的概率，求各自的概率，我們只需建立方程，便可求出．,[規(guī)律總結(jié)] (1)公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，只有當(dāng)A，B兩事件互斥時(shí)才能使用，如果A，B不互斥，就不能應(yīng)用這一公式；(2)解決本題的關(guān)鍵是正確理解“A＋B”的意義．,[分析] (1)拋擲骰子，事件“出現(xiàn)3點(diǎn)”和“出現(xiàn)6點(diǎn)”是彼此互斥的，可運(yùn)用概率的加法公式求解. (2)本題是求A＋B的概率，而A與B是互斥事件，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．,對(duì)立事件的概率的計(jì)算,,[思路分析] “該生屬于不止1個(gè)社團(tuán)”分為屬于2個(gè)社團(tuán)，3個(gè)社團(tuán)兩種情況，若直接求解，則較為復(fù)雜，可考慮利用其對(duì)立事件求解．,[規(guī)律總結(jié)] (1)求復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法： 一是將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和；二是先去求對(duì)立事件的概率． (2)涉及到“至多”“至少”型的問(wèn)題，可以用互斥事件以及分類討論的思想求解，當(dāng)涉及的互斥事件多于兩個(gè)時(shí)，一般用對(duì)立事件求解．,2014年8月1日貴誠(chéng)購(gòu)物中心舉行“慶祝建軍節(jié)回報(bào)顧客”的超低價(jià)購(gòu)物有禮活動(dòng)，某人對(duì)購(gòu)物中心交款處排隊(duì)等候付款的人數(shù)及其概率統(tǒng)計(jì)如下： 求：(1)至多30人排隊(duì)的概率； (2)至少31人排隊(duì)的概率．,[解析] (1)記“0～10人排隊(duì)”為事件A，“11～20人排隊(duì)”為事件B，“21～30人排隊(duì)”為事件C，A，B，C三個(gè)事件彼此互斥，故所求概率為P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)記“至少31人排隊(duì)”為事件D，由(1)知“少于31人排隊(duì)”為A＋B＋C，那么事件D與事件A＋B＋C互為對(duì)立事件，則P(D)＝1－P(A＋B＋C)＝1－P(A)－P(B)－P(C)＝1－0.1－0.16－0.3＝0.44.,互斥事件與對(duì)立事件的應(yīng)用,[規(guī)律總結(jié)] 概率加法公式只適用于互斥事件的概率問(wèn)題，因此，在應(yīng)用此公式前必須先判斷它們是否互斥，以免導(dǎo)致解題錯(cuò)誤．在解決概率問(wèn)題時(shí)，要注意靈活使用對(duì)立事件的概率公式進(jìn)行求解，以提高解題速度．,一個(gè)盒中裝有除顏色外完全相同的12個(gè)球，其中有5個(gè)紅球，4個(gè)黑球，2個(gè)白球，1個(gè)綠球．從中隨機(jī)取出1球，求： (1)取出1球是紅球或黑球的概率； (2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率．,[錯(cuò)解] A,[辨析] 本題錯(cuò)誤的原因在于把“互斥”與“對(duì)立”混同，二者的聯(lián)系與區(qū)別主要體現(xiàn)在：(1)兩事件對(duì)立，必定互斥，但互斥未必對(duì)立；(2)互斥概念適用于多個(gè)事件，但對(duì)立概念只適用于兩個(gè)事件；(3)兩個(gè)事件互斥只表明這兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，即至多只能發(fā)生其中一個(gè)，但可以都不發(fā)生；而兩事件對(duì)立則表示它們有且僅有一個(gè)發(fā)生．,[正解] 事件“甲穿黃衣”與“乙穿黃衣”是不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，這兩個(gè)事件可能恰有一個(gè)發(fā)生，一個(gè)不發(fā)生，也有可能兩個(gè)都不發(fā)生，它們?yōu)榛コ獾粚?duì)立事件，所以應(yīng)選C. [規(guī)律總結(jié)] 正確理解并掌握互斥事件，對(duì)立事件的概念，掌握兩者間的區(qū)別聯(lián)系，是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵．,