《高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理階段復(fù)習課課件 新人教A版選修2-3.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理階段復(fù)習課課件 新人教A版選修2-3.ppt（56頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

階段復(fù)習課 第 一 章,【核心解讀】 1.計數(shù)原理 (1)分類加法計數(shù)原理：N=n1+n2+n3+…+nm； (2)分步乘法計數(shù)原理：N=n1·n2·n3·…·nm. 2.排列數(shù)公式 =n(n-1)·…·(n-m+1)= (m≤n,m,n∈N*),當m=n時 為全排列,3.組合數(shù)公式 4.組合數(shù)性質(zhì) 5.二項式定理 (1)二項展開式的通項： (2)注意第r＋1項的二項式系數(shù)與第r＋1項系數(shù)的區(qū)別.,6.二項式系數(shù)具有下列性質(zhì) (1)與首末兩端等距離的二項式系數(shù)相等； (2)若n為偶數(shù),中間一項(第 +1項)的二項式系數(shù)最大；若n為 奇數(shù),中間兩項(第 項和第 +1項)的二項式系數(shù)相等且 最大.,7.排列組合問題的“16字”方針，“12個”技巧 (1)“16字”方針： 分類相加分步相乘 有序排列無序組合 (2)“12個”技巧: 相鄰問題捆綁法 不相鄰問題插空法 多排問題單排法 定序問題倍縮法,定位問題優(yōu)先法 有序分配問題分步法 多元問題分類法 交叉問題集合法 至少(至多)問題間接法 選排問題先取后排法 局部與整體問題排除法 復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化法,主題一 兩個計數(shù)原理 【典例1】(1)如圖所示，花壇內(nèi)有五個花池， 有五種不同顏色的花卉可供栽種，每個花池內(nèi) 只能種同種顏色的花卉，相鄰兩池的花色不同， 則最多的栽種方案有( ) A.180種 B.240種 C.360種 D.420種 (2)有3封信，4個信箱，如果把3封信都寄出，寄信方法有種.,【自主解答】(1)選D.由題意知，最少用三種顏色的花卉，按 照花卉選種的顏色可分為三類方案，即用三種顏色，四種顏 色，五種顏色. ①當用三種顏色時，花池2，4同色和花池3，5同色，此時共有 種方案. ②當用四種顏色時，花池2，4同色或花池3，5同色，故共有 2 種方案. ③當用五種顏色時有 種方案. 因此所有栽種方案為 =420(種).,(2)分3步完成寄出3封信的任務(wù)；第一步，寄出1封信，有4種方法；第二步，再寄出1封信，有4種方法；第三步，寄出最后1封信，有4種方法，完成任務(wù)，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有4×4×4=43=64種寄信方法. 答案：64,【延伸探究】題(2)條件不變，如果把3封信都寄出，且每個信 筒中最多一封信，有多少種寄信方法？ 【解析】排列問題，共有 =24種.,【方法技巧】 1.使用兩個原理解決問題的思路 (1)選擇使用兩個原理解決問題時，要根據(jù)我們完成某件事情采取的方式而定，確定是分類還是分步，要抓住兩個原理的本質(zhì). (2)分類加法計數(shù)原理的關(guān)鍵是“類”，分類時，首先要根據(jù)問題的特點確定一個合適的分類標準，然后在這個標準下進行分類；其次分類時要注意，完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同類的兩種方法是不同的方法.,(3)分步乘法計數(shù)原理的關(guān)鍵是“步”，分步時首先要根據(jù)問題的特點確定一個分步的標準；其次，分步時還要注意滿足完成一件事必須并且只有連續(xù)完成這n個步驟后，這件事才算完成，只有滿足了上述條件，才能用分步乘法計數(shù)原理.,2.使用兩個原理解決問題時應(yīng)注意的問題 (1)對于一些比較復(fù)雜的既要運用分類加法計數(shù)原理又要運用分步乘法計數(shù)原理的問題，我們可以恰當?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格，使問題更加直觀、清晰. (2)當兩個原理混合使用時，一般是先分類，在每類方法里再分步.,【補償訓(xùn)練】現(xiàn)有4種不同顏色要對如圖所示的四個部分進行著色，要求有公共邊界的兩部分不能用同一種顏色，則不同的著色方法數(shù)為( ) A.144 B.84 C.64 D.72,【解析】選B.方法一：根據(jù)所用顏色的種數(shù)分類 第一類：用4種顏色涂，有 =4×3×2×1=24(種). 第二類：用3種顏色，必須有一條對角區(qū)域涂同色：有 =48(種). 第三類：用2種顏色，對角區(qū)域各涂一色有 =4×3=12(種). 共有24+48+12=84(種).,方法二：根據(jù)“學、略”區(qū)域是否為同色分類 第一類：區(qū)域“學、略”同色，從4色中選1色，有 種方 法，其余區(qū)域“習、方”各有3種方法，一共有4×3×3=36 種方法. 第二類：區(qū)域“學、略”不同色，區(qū)域“學”有4種方法， 區(qū)域“略”有3種方法，區(qū)域“習、方”各有2種方法，共有 4×3×2×2=48種方法. 根據(jù)分類加法計數(shù)原理共有36+48=84種方法.,【誤區(qū)警示】本題易因分類不清而錯選D.算法為4×3×3×2=72.,主題二 排列與組合的綜合應(yīng)用 【典例2】(1)某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為( ) A.80 B.90 C.100 D.120 (2)(2014·重慶高考)某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是( ) A.72 B.120 C.144 D.168,(3)從1,3,5,7,9五個數(shù)字中選2個，0,2,4,6,8五個數(shù)字中選3個，能組成______個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù).,【自主解答】(1)選B.把新轉(zhuǎn)來的4名學生平均分兩組，每組2 人，分法有 種，把這兩組人安排到6個班中的某2個班中去， 有 種方法，故不同的安排種數(shù)為 =90. (2)選B.第一類，當2個小品類節(jié)目在1個相聲類節(jié)目同側(cè)時有 =72種排法， 第二類，當2個小品類節(jié)目在1個相聲類節(jié)目兩側(cè)時有 =48 種排法， 共有72+48=120種排法,故選B．,(3)從5個奇數(shù)中選出2個，再從2，4，6，8四個偶數(shù)中選出3個， 排成五位數(shù)，有 ＝4 800(個).從5個奇數(shù)中選出2個，再 從2,4,6,8四個偶數(shù)中選出2個，排好后將0插入，此時0只能插 入除首位外的四個空，有 ＝10×6×24×4＝ 5 760(個).由分類加法計數(shù)原理可知這樣的五位數(shù)共有4 800+ 5 760=10 560(個). 答案：10 560,【方法技巧】 1.解決排列組合應(yīng)用題的常用方法 (1)合理分類，準確分步； (2)特殊優(yōu)先，一般在后； (3)先取后排，間接排除； (4)集團捆綁，間隔插空； (5)抽象問題，構(gòu)造模型； (6)均分除序，定序除序.,提醒：對于排列、組合的綜合題目，一般是將符合要求的元素取出或進行分組，再對取出的元素或分好的組進行排列，即一般策略為先組合后排列.分組時，要注意“平均分組”與“不平均分組”的差異及分類的標準.,2.排列、組合應(yīng)用題的解題策略 (1)在解決具體問題時，首先必須弄清楚是“分類”還是“分步”，接著還要搞清楚“分類”或者“分步”的具體標準是什么. (2)區(qū)分某一問題是排列還是組合問題，關(guān)鍵看選出的元素與順序是否有關(guān).若交換某兩個元素的位置對結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問題；若交換任意兩個元素的位置對結(jié)果沒有影響，則是組合問題.也就是說排列問題與選取元素的順序有關(guān)，組合問題與選取元素的順序無關(guān).,【補償訓(xùn)練】4個不同的球，4個不同的盒子，把球全部放入盒 內(nèi). (1)恰有1個盒不放球，共有幾種放法？ (2)恰有2個盒不放球，共有幾種放法？ 【解析】(1)為保證“恰有1個盒不放球”，先從4個盒子中任 意取出去一個，問題轉(zhuǎn)化為“4個球，3個盒子，每個盒子都要 放入球，共有幾種放法？”即把4個球分成2,1,1的三組，然后 再從3個盒子中選1個放2個球，其余2個球放在另外2個盒子 內(nèi)，由分步乘法計數(shù)原理，共有 =144(種).,(2)確定2個空盒有 種方法.4個球放進2個盒子可分成 (3,1)，(2,2)兩類，第一類有序不均勻分組有 種方法； 第二類有序均勻分組有 種方法. 故共有 =84(種).,主題三 二項式定理的應(yīng)用 【典例3】(1)(2014·浙江高考)在(1+x)6(1+y)4的展開式中， 記xmyn項的系數(shù)為f(m,n)，則f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3) =( ) A.45B.60C.120D.210 (2)(2014·寧波高二檢測) 展開式中常數(shù)項為______. (3) 展開式的第7項與倒數(shù)第7項的比是1∶6，求展開 式中的第7項.,【自主解答】(1)選C.由二項展開式的通項性質(zhì)可知xmyn項的 系數(shù)為f(m,n)= 所以f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3),(2)展開式的通項為 ，由12-4r=0，得r=3， 所以常數(shù)項為 答案：-4,(3)第7項： 倒數(shù)第7項： 由 ，所以n=9， 則,【方法技巧】二項式定理的問題類型及解答策略 (1)確定二項式中的有關(guān)元素：一般是根據(jù)已知條件，列出等式，從而可解得所要求的二項式中的有關(guān)元素. (2)確定二項展開式中的常數(shù)項：先寫出其通項公式，令未知數(shù)的指數(shù)為零，從而確定項數(shù)，然后代入通項公式，即可確定常數(shù)項. (3)求二項展開式中條件項的系數(shù)：先寫出其通項公式，再由條件確定項數(shù)，然后代入通項公式求出此項的系數(shù).,(4)求二項展開式中各項系數(shù)的和差：賦值代入. (5)確定二項展開式中的系數(shù)最大或最小項：利用二項式系數(shù)的性質(zhì).,【補償訓(xùn)練】(2014·通化高二檢測)已知 (n∈N*)的 展開式中第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)的比是10∶1. (1)求展開式中各項系數(shù)的和. (2)求展開式中含 的項. (3)求展開式中系數(shù)的絕對值最大的項.,【解析】因為 的展開式的通項是Tr+1= 所以 所以 所以n2-5n-24=0， 解得n=8，或n=-3(舍去).,(1)令x=1，則 所求各項系數(shù)的和為1. (2)展開式通項為 令 ，得r=1. 所以展開式中含 的項為,(3)展開式的第r項、第r+1項，第r+2項的系數(shù)絕對值分別為 若第r+1項的系數(shù)絕對值最大，則有 解得5≤r≤6， 故系數(shù)的絕對值最大的項為第六項或第七項， 即,主題四 二項式定理中的“賦值”問題 【典例4】(1)(2014·東營高二檢測)1+(1+x)+(1+x)2+… +(1+x)n的展開式的各項系數(shù)之和為( ) A.2n-1 B.2n-1 C.2n+1-1 D.2n (2)已知(1+x)6(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a11x11，那么a1+a2+a3 +…+a11=________.,【自主解答】(1)選C.方法一：令x=1得，1+2+22+…+2n 方法二：令n=1，知各項系數(shù)和為3，排除A，B，D，選C. (2)令x=0，得a0=1； 令x=1，得a0+a1+a2+…+a11=-64； 所以a1+a2+…+a11=-65. 答案：-65,【方法技巧】賦值法的應(yīng)用規(guī)律 與二項式系數(shù)有關(guān)，包括求展開式中二項式系數(shù)最大的項、各項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和、奇數(shù)項或者偶數(shù)項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和以及各項系數(shù)的絕對值的和，主要方法是賦值法，通過觀察展開式右邊的結(jié)構(gòu)特點和所求式子的關(guān)系，確定給字母所賦的值，有時賦值后得到的式子比所求式子多一項或少一項，此時要專門求出這一項，而在求奇數(shù)項或者偶數(shù)項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和時，往往要兩次賦值，再由方程組求出結(jié)果.,提醒：求各項系數(shù)的絕對值的和時，要先根據(jù)絕對值里面數(shù)的符號賦值求解.,【補償訓(xùn)練】若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0， 求(1)a1+a2+…+a7的值. (2)a1+a3+a5+a7的值. (3)a0+a2+a4+a6的值.,【解析】(1)令x=0，則a0=-1，令x=1， 則a7+a6+…+a1+a0=27=128 ① 所以a1+a2+…+a7=129. (2)令x=-1，則 -a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=(-4)7 ②， 由 得：a1+a3+a5+a7= ［128-(-4)7］=8 256. (3)由 得：a0+a2+a4+a6= ［128+(-4)7］=-8 128.,【強化訓(xùn)練】 1.從0,1,2，…，9這10個數(shù)字中，任取兩個不同數(shù)字作為平面直角坐標系中點的坐標，能夠確定不在x軸上的點的個數(shù)是 ( ) A.100個 B.90個 C.81個 D.72個 【解析】選C.要使點不在x軸上，則縱坐標不能為0，故縱坐標上的數(shù)字只能有9種選擇，縱坐標選好后，橫坐標不能與之相同.故也有9種選擇，由分步乘法計數(shù)原理得，N=9×9=81(個).,2.(2014·廣州高二檢測)5人站成一排，甲乙之間恰有一個人的站法有( ) A.18種 B.24種 C.36種 D.48種 【解析】選C.首先在除甲乙之外的三人中隨機抽出一人放在甲乙之間，有3種可能，甲乙之間的人選出后，甲乙的位置可以互換，故甲乙的位置有2種可能，最后，把甲乙及其中間的那個人看作一個整體，與剩下的兩個人全排列是3×2×1=6，所以3×2×6=36(種).,3.二項式(a+2b)n展開式中的第二項系數(shù)是8，則它的第三項的二項式系數(shù)為( ) A.24 B.18 C.16 D.6 【解題指南】根據(jù)通項公式求出n值然后可寫出第三項. 【解析】選D. 所以2n=8，n=4，所以,4.(2014·鹽城高二檢測)從0到9這10個數(shù)字中任取3個數(shù)字組 成一個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，能被3整除的數(shù)有_____個. 【解析】一個數(shù)能被3整除的條件是它的各位上的數(shù)字之和能 被3整除.根據(jù)這點，分為如下幾類： (1)三位數(shù)各位上的數(shù)字是1，4，7或2，5，8這兩種情況，這 樣的數(shù)有 =12個.,(2)三位數(shù)的各位上只含0，3，6，9中的一個，其他兩位上的 數(shù)則從(1，4，7)和(2，5，8)中各取1個，這樣的數(shù)有 個，但要除去0在百位上的數(shù)，有 個，因而有216-18 =198個. (3)三位數(shù)的各位上的數(shù)字是0，3，6，9中的3個，但要去掉0 在百位上的，這樣應(yīng)有3×3×2=18個，綜上所述，由0到9這 10個數(shù)字所構(gòu)成的無重復(fù)數(shù)字且能被3整除的3位數(shù)有12+198 +18=228個. 答案：228,5.(2014·日照高二檢測)設(shè)n為自然數(shù)，則 【解析】 答案：1,6．(2014·東營高二檢測)從6名短跑運動員中選出4人參加4×100 m接力賽.試求滿足下列條件的參賽方案各有多少種？ (1)甲不能跑第一棒和第四棒. (2)甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒.,【解析】(1)優(yōu)先考慮特殊元素甲，讓其選位置，此時務(wù)必注 意甲是否參賽，因此需分兩類： 第1類，甲不參賽有 種排法； 第2類，甲參賽，因只有兩個位置可供選擇，故有 種排法； 其余5人占3個位置有 種排法，故有 種方案.所以有 =240種參賽方案.,(2)顯然第一、四棒為特殊位置，與之相伴的甲、乙則為特殊 元素，這時特殊元素與特殊位置的個數(shù)相等，對此我們?nèi)詮娜?方面進行思考，優(yōu)先考慮特殊位置. 第1類，乙跑第一棒有 =60種排法； 第2類，乙不跑第一棒有 =192種排法. 故共有60+192=252種參賽方案.,【一題多解】(1)先著眼于整體，后局部剔除不合要求的參賽 方案.首先，6個人占4個位置有 種占法；其次，甲跑第一棒 和第四棒的不合要求的參賽方案有2 種. 所以有 =240種參賽方案. (2)共有 =360種參賽方案，其中不合要求的有： ①甲跑第一棒，乙跑第四棒，有 =12種排法； ②甲跑第一棒，乙不跑第四棒，有 =48種排法； ③甲不跑第一棒，乙跑第四棒，有 =48種排法. 綜上可知，有360-12-48-48=252種參賽方案.,7.(2014·德州高二檢測) 已知 的展開式中，某一項 的系數(shù)是它前一項系數(shù)的2倍，而又等于它后一項系數(shù)的 . (1)求展開后所有項的系數(shù)之和及所有項的二項式系數(shù)之和. (2)求展開式中的有理項.,【解析】根據(jù)題意，設(shè)該項為第r+1項， 則有 即 解得,(1)令x=1得展開式中所有項的系數(shù)和為(1+2)7=37=2 187. 所有項的二項式系數(shù)和為27=128. (2)展開式的通項為Tr+1= ， r≤7且r∈N. 于是當r=0,2,4,6時，對應(yīng)項為有理項，即有理項為,