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成才之路 · 數(shù)學,路漫漫其修遠兮 吾將上下而求索,北師大版 · 必修1,函數(shù)應用,第四章,本章歸納總結,第四章,,1．方程的根與函數(shù)的零點 對于函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實數(shù)x叫作函數(shù)y＝f(x)的零點． 方程f(x)＝0有實數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)的圖像與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點． 零點性質：如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)0，那么y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根．,2．二分法 對于區(qū)間[a，b]上圖像連續(xù)不斷，且f(a)f(b)0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫作二分法． 3．用二分法求零點的近似值的步驟： 第1步：確定區(qū)間[a，b]，驗證f(a)·f(b)0，給定精確度ε； 第2步：求區(qū)間(a，b)的中點x1；,第3步：計算f(x1)； (1)若f(x1)＝0，則x1就是函數(shù)的零點； (2)若f(a)·f(x1)0，則令b＝x1[此時零點x0∈(a，x1)]； (3)若f(x1)·f(b)0，則令a＝x1[此時零點x0∈(x1，b)]； (4)若滿足精度ε時，a，b近似值相等，則其值為所求，否則重復(2)～(4)．,4．函數(shù)應用題，就是指用數(shù)學的方法將一個表面上非數(shù)學問題或非完全的數(shù)學問題轉化成完全形式化的數(shù)學函數(shù)問題． 求解函數(shù)應用問題的思路和方法，我們可以用示意圖表示為：,,,5．解函數(shù)應用問題，一般地可按以下四步進行． 第1步：閱讀理解、認真審題． 就是讀懂題中的文字敘述，理解敘述所反映的實際背景，領悟從背景中概括出來的數(shù)學實質．尤其是理解敘述中的新名詞、新概念，進而把握住新信息． 在此基礎上，分析出已知什么，求什么，涉及哪些知識，確定自變量與函數(shù)值的意義，嘗試找出問題的函數(shù)關系．審題時要抓住題目中關鍵的量，要勇于嘗試、探索，敢于發(fā)現(xiàn)、歸納，善于聯(lián)想、化歸，實現(xiàn)應用問題向數(shù)學問題的轉化．,第2步：引進數(shù)學符號，建立數(shù)學模型． 一般地設自變量為x，函數(shù)為y，并用x表示各相關量，然后根據(jù)問題的已知條件，運用已掌握的數(shù)學知識、物理知識及其他相關知識建立函數(shù)關系式，將實際問題轉化為一個數(shù)學問題，實現(xiàn)問題的數(shù)學化，即所謂建立數(shù)學模型． 第3步：利用數(shù)學的方法將得到的常規(guī)數(shù)學問題(即數(shù)學模型)予以解答，求得結果． 第4步：再轉譯成具體問題作出回答．,1.函數(shù)零點的判斷 由于函數(shù)的零點、方程的根、函數(shù)的圖像與x軸的交點之間有著內在的本質的聯(lián)系，所以函數(shù)問題可轉化為方程問題，方程問題可轉化為函數(shù)問題解決，根據(jù)函數(shù)的性質和方程根的存在條件，我們常借助不等式來求解相關的問題，其間，要善于結合函數(shù)圖像，從中體會數(shù)形結合的作用．,基本題型歸納,,[點評] 確定函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間時，可以從形與數(shù)兩個方面共同考慮．先根據(jù)函數(shù)的圖像，得到函數(shù)零點所在的大致區(qū)間，再驗證區(qū)間端點處的函數(shù)值是否反號，這需要函數(shù)的圖像要較準確．,2．方程根的區(qū)間分布 [例2] 求實數(shù)m的取值范圍，使關于x的方程x2＋2(m－1)x＋2m＋6＝0. (1)有兩個實根，且一個比2大，一個比2??； (2)有兩個實根，且都大于1； (3)有兩實數(shù)根α、β，且滿足0α1β4； (4)至少有一個正根． [分析] 利用函數(shù)零點的性質和根的判別式求解．,[點評] 解決本題要注意與二次函數(shù)圖像的結合，可以作出各種情況的草圖幫助解題，另外對于(4)的分類，要特別注意一根為正、一根為零的情況．,用二分法逐步計算，列表如下：,[點評] 1.求根式的近似值，實質上就是將根式轉化為方程的無理根，利用函數(shù)零點的性質，通過二分法求解． 2．二分法思想實質上是一種逼近思想，所求值與近似值間的差異程度取決于精確值．,4．函數(shù)建模應用問題 [例4] 點P從點O出發(fā)，沿周長為l的圖形運動一周，設O、P的距離y與點P所走的路程x的函數(shù)關系如圖所示，則點P所走的圖形是( ),,1.函數(shù)與方程思想 在數(shù)學上，解方程是很重要的內容，但是能夠將精確解求出來的方程不是很多，五次以上的一般代數(shù)方程，一般的超越方程，以及實際生活和物理研究中的方程，我們只能求它的有理近似解．而將解方程的問題轉化為函數(shù)零點的問題，利用函數(shù)的整體性質來認識局部性質是求方程近似解的一般方法．解方程實際是求函數(shù)的零點，這樣指數(shù)方程、對數(shù)方程等超越方程和五次以上的高次代數(shù)方程就可轉化為求函數(shù)零點的求解問題．,數(shù)學思想方法,2．數(shù)形結合思想 數(shù)形結合思想是重要的數(shù)學思想方法，它把數(shù)學關系的精確刻畫與幾何圖形的直觀形象有機地結合起來，充分暴露問題的條件與結論之間的內在聯(lián)系，從而將問題轉化為熟悉的問題來解決．數(shù)形結合常用于解方程、不等式和求函數(shù)值域等問題中．,3．分類討論思想 有些實際問題，在建立函數(shù)模型的過程中，可能會涉及多種說不清楚的情況，此時，應運用分類討論的思想，對它進行分類討論，從而順利地建模．分類標準應視具體情況而定，但要遵循“不重不漏”的原則． [例7] 我國是水資源比較貧乏的國家之一，各地采用價格調控等手段來達到節(jié)約用水的目的．某市用水收費的方法是：水費＝基本費＋超額費＋損耗費．,若每月用水量不超過最低限量am3，只付基本費8元和每戶每月定額損耗費c元；若用水量超過am3時，除了付以上的基本費和損耗費外，超過部分按b元/m3支付超額費．已知每戶每月的定額損耗費不超過5元． 該市一家庭今年第一季度的用水量和支付費用如下表所示，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)求a，b，c.,[分析] 易知2月份，3月份的用水量已超過了最低限量am3，但1月份的用水量是否已超過最低限量，需要進行分類討論．,一、選擇題 1．若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，定義域為{x∈R|x≠0}且f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，f(2)＝0，則函數(shù)f(x)的零點有( ) A．唯一一個 B．兩個 C．至少兩個 D．無法判斷 [答案] B,[解析] 由已知條件得f(－2)＝f(2)＝0，畫出函數(shù)f(x)的大致圖像如下圖所示，可知f(x)有兩個零點．,,3．某種細菌在培養(yǎng)過程中，每30分鐘分裂一次(由一個分裂成兩個)，這種細菌由1個繁殖成1024個需經(jīng)過( ) A．5小時 B．6小時 C．7小時 D．8小時 [答案] A [解析] 因為細菌每30分鐘分裂一次，一小時分裂兩次，所以細菌個數(shù)y與分裂時間t小時的函數(shù)關系式為y＝22t，把y＝1024代入得1024＝22t,1024＝22×5＝22t， 所以t＝5(小時)，故選A.,5．若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)內恰有一解，則a的取值范圍是( ) A．a(chǎn)1 C．－1a1 D．0≤a1 [答案] B,二、填空題 6．已知二次函數(shù)f(x)＝x2＋x＋a(a0)有兩個零點，若f(m)0，則在(m，m＋1)上函數(shù)零點的個數(shù)是________． [答案] 1,7．現(xiàn)有含鹽7%的食鹽水200g，要將它制成工業(yè)生產(chǎn)上需要的含鹽在5%以上且在6%以下(不含5%和6%)的食鹽水，設需加入4%的食鹽水xg，則x的取值范圍是________． [答案] (100,400),[答案] A、B、E或B、D、E、F [解析] 當投資為13億元時，有以下兩種投資選擇方案：f(A，B，E)＝0.55＋0.4＋0.9＝1.85(投資13億元)； f(B，D，E，F(xiàn))＝0.4＋0.5＋0.9＋0.1＝1.9(投資13億元)．,三、解答題 9．某純凈水制造廠在凈化水的過程中，每增加一次過濾可減少水中雜質20%. (1)寫出水中雜質含量y與過濾的次數(shù)x之間的函數(shù)關系式． (2)要使水中雜質減少到原來的5%以下，則至少需要過濾幾次？(lg2≈0.3010) [分析] (1)利用歸納猜想的方法得函數(shù)關系式； (2)利用(1)的結論轉化為解不等式．,