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數(shù)字信號處理,習(xí)題解答,第1章 時域離散信號與時域離散系統(tǒng),2． 給定信號： 2n+5 －4≤n≤－1 6 0≤n≤4 0 其它 (1) 畫出x(n)序列的波形， 標(biāo)上各序列值；  (2) 試用延遲的單位脈沖序列及其加權(quán)和表示x(n)序列； （3） 令x1(n)=2x(n－2)， 試畫出x1(n)波形；  （4） 令x2(n)=2x(n+2)， 試畫出x2(n)波形；  （5） 令x3(n)=x(2－n)， 試畫出x3(n)波形。  解： (1) x(n)序列的波形如題2解圖（一）所示。 (2) x(n)=－3δ(n+4)－δ(n+3)+δ(n+2)+3δ(n+1)+6δ(n) +6δ(n－1)+6δ(n－2)+6δ(n－3)+6δ(n－4),x(n)=,,第1章 時域離散信號與時域離散系統(tǒng),（3） x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，再乘以2， 畫出圖形如題2解圖（二）所示。  (4) x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，再乘以2， 畫出圖形如題2解圖（三）所示。  (5) 畫x3(n)時， 先畫x(－n)的波形(即將x(n)的波形以縱軸為中心翻轉(zhuǎn)180°)， 然后再右移2位， x3(n)波形如題2解圖（四）所示。,題2解圖（一）,題2解圖（二）,第1章 時域離散信號與時域離散系統(tǒng),題2解圖（三）,題2解圖（四）,3． 判斷下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 確定其周期。,(1),解： （1） 因?yàn)棣? π, 所以 , 這是有理數(shù)， 因此是周期序列， 周期T=14,第1章 時域離散信號與時域離散系統(tǒng),5． 設(shè)系統(tǒng)分別用下面的差分方程描述， x(n)與y(n)分別表示系統(tǒng)輸入和輸出， 判斷系統(tǒng)是否是線性非時變的。 （1）y(n)=x(n)+2x(n－1)+3x(n－2) 解： （1） 令輸入為 x(n－n0) 輸出為 y′(n)=x(n－n0)+2x(n－n0－1)+3x(n－n0－2) y(n－n0)=x(n－n0)+2x(n—n0—1)+3(n－n0－2) =y′(n) 故該系統(tǒng)是非時變系統(tǒng),第1章 時域離散信號與時域離散系統(tǒng),因?yàn)?y(n)=T［ax1(n)+bx2(n)］ =ax1(n)+bx2(n)+2［ax1(n－1)+bx2(n－1)］+3［ax1(n－2)+bx2(n－2)］ a T［x1(n)］=ax1(n)+2ax1(n－1)+3ax1(n－2) bT［x2(n)］=bx2(n)+2bx2(n－1)+3bx2(n－2) 所以 T［ax1(n)+bx2(n)］=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。,第1章 時域離散信號與時域離散系統(tǒng),6． 給定下述系統(tǒng)的差分方程， 試判定系統(tǒng)是否是因果穩(wěn)定系統(tǒng)， 并說明理由。 （2） y(n)=x(n)+x(n+1) 解： 該系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)， 因?yàn)閚時間的輸出還和n時間以后（（n+1）時間）的輸入有關(guān)。如果|x(n)|≤M, 則|y(n)|≤|x(n)|+|x(n+1)|≤2M, 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。,7． 設(shè)線性時不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)和輸入序列x(n)如題7圖所示， 要求畫出y(n)輸出的波形。,題7圖,第1章 時域離散信號與時域離散系統(tǒng),解： 解法（一）采用列表法。 y(n)=x(n)*h(n) = x(m)h(n－m),第1章 時域離散信號與時域離散系統(tǒng),y(n)={－2,－1,－0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=－2, －1, 0, 1, 2, 3, 4, 5},解法（二） 采用解析法。 按照題7圖寫出x(n)和h(n)的表達(dá)式分別為 x(n)=－δ(n+2)+δ(n－1)+2δ(n－3) h(n)=2δ(n)+δ(n－1)+ δ(n－2) 由于 x(n)*δ(n)=x(n) x(n)*Aδ(n－k)=Ax(n－k) 故 y(n)=x(n)*h(n)  =x(n)*［2δ(n)+δ(n－1)+ δ(n－2)］ =2x(n)+x(n－1)+x(n－2) 將x(n)的表示式代入上式， 得到 y(n)=－2δ(n+2)－δ(n+1)－0.5δ(n)+2δ(n－1)+δ(n－2) +4.5δ(n－3)+2δ(n－4)+δ(n－5),第1章 時域離散信號與時域離散系統(tǒng),8. 設(shè)線性時不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)和輸入x(n)分別有以下三種情況， 分別求出輸出y(n)。  （1） h(n)=R4(n), x(n)=R5(n) （2） h(n)=2R4(n), x(n)=δ(n)－δ(n－2) （3） h(n)=0.5nu(n), xn=R5(n) 解： （1） y(n)=x(n)*h(n)= R4(m)R5(n－m) 先確定求和域。 由R4(m)和R5(n－m)確定y（n）對于m的非零區(qū)間如下: 0≤m≤3 n－4≤m≤n 根據(jù)非零區(qū)間， 將n分成四種情況求解： ,第1章 時域離散信號與時域離散系統(tǒng),① n7時， y(n)=0,最后結(jié)果為 0 n7 n+1 0≤n≤3 8－n 4≤n≤7 y(n)的波形如題8解圖（1）所示。  (2) y(n) =2R4(n)*［δ(n)－δ(n－2)］=2R4(n)－2R4(n－2) = 2［δ(n)+δ(n－1)－δ(n+4)－δ(n+5)］ y(n)的波形如題8解圖（2）所示,y(n)=,,題8解圖（1）,題8解圖（2）,第1章 時域離散信號與時域離散系統(tǒng),(3) y(n)=x(n)*h(n) = R5(m)0.5n－mu(n－m) =0.5n R5(m)0.5－mu(n－m) y（n）對于m 的非零區(qū)間為 0≤m≤4, m≤n ① n0時， y(n)=0 ② 0≤n≤4時， =－(1－0.5－n－1)0.5n=2－0.5n,第1章 時域離散信號與時域離散系統(tǒng),③ n≥5時,最后寫成統(tǒng)一表達(dá)式： y(n)=(2－0.5n)R5(n)+31×0.5nu(n－5),13． 有一連續(xù)信號xa(t)=cos(2πft+j)， 式中， f=20 Hz, j=π/2。 （1） 求出xa(t)的周期； （2） 用采樣間隔T=0.02 s對xa(t)進(jìn)行采樣， 試寫出采樣信號 的表達(dá)式； （3） 畫出對應(yīng) 的時域離散信號（序列）x(n)的波形， 并求出x(n)的周期。  解： （1） xa(t)的周期為,第1章 時域離散信號與時域離散系統(tǒng),（2）,（3） x(n)的數(shù)字頻率ω=0.8π， 故 ， 因而周期N=5， 所以 x(n)=cos(0.8πn+π/2) 畫出其波形如題13解圖所示。,第1章 時域離散信號與時域離散系統(tǒng),題13解圖,14. 已知滑動平均濾波器的差分方程為,（1） 求出該濾波器的單位脈沖響應(yīng)； （2） 如果輸入信號波形如題14圖所示，試求出y(n)并畫出它的波形。 解： （1） 將題中差分方程中的x(n)用δ(n)代替， 得到該濾波器的單位脈沖響應(yīng)， 即,第1章 時域離散信號與時域離散系統(tǒng),（2） 已知輸入信號， 用卷積法求輸出。 輸出信號y(n)為,表1.4.1表示了用列表法解卷積的過程。 計(jì)算時， 表中x(k)不動， h(k)反轉(zhuǎn)后變成h(－k)， h(n－k)則隨著n的加大向右滑動， 每滑動一次， 將h(n－k)和x(k)對應(yīng)相乘， 再相加和平均， 得到相應(yīng)的y(n)。 “滑動平均”清楚地表明了這種計(jì)算過程。 最后得到的輸出波形如前面圖1.3.2所示。 該圖清楚地說明滑動平均濾波器可以消除信號中的快速變化， 使波形變化緩慢。,題14圖,第1章 時域離散信號與時域離散系統(tǒng),第2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析,5. 設(shè)題5圖所示的序列x(n)的FT用X(ejω)表示， 不直接求出X(ejω)， 完成下列運(yùn)算或工作： （1),(4) 確定并畫出傅里葉變換實(shí)部Re［X(ejω)］的時間序列xa(n)；,解 (1),（4） 因?yàn)楦道锶~變換的實(shí)部對應(yīng)序列的共軛對稱部分， 即,題15圖,第2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析,按照上式畫出xe(n)的波形如題5解圖所示。,題15解圖,6． 試求如下序列的傅里葉變換：,第2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析,解：(2),8． 設(shè)x(n)=R4(n)， 試求x(n)的共軛對稱序列xe(n)和共軛反對稱序列xo(n)， 并分別用圖表示。 ,解：,第2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析,題8解圖,xe(n)和xo(n)的波形如題8解圖所示。,第2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析,13． 已知xa(t)=2 cos(2πf0t)， 式中f0=100 Hz， 以采樣頻率fs=400 Hz對xa(t)進(jìn)行采樣， 得到采樣信號 和時域離散信號x(n)， 試完成下面各題：  （1） 寫出 的傅里葉變換表示式Xa(jΩ)；  （2） 寫出 和x(n)的表達(dá)式；  （3） 分別求出 的傅里葉變換和x(n)序列的傅里葉變換。  解:(1),上式中指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換不存在，引入奇異函數(shù)δ函數(shù)，它的傅里葉變換可以表示成：,第2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析,（2）,（3）,式中,第2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析,式中 ω0=Ω0T=0.5π rad 上式推導(dǎo)過程中， 指數(shù)序列的傅里葉變換仍然不存在， 只有引入奇異函數(shù)δ函數(shù)才能寫出它的傅里葉變換表示式。,第2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析,14． 求出以下序列的Z變換及收斂域: (1) 2－n u(n) (2) －2－nu(－n－1) (3) 2－n u(n) (4) δ(n) (5) δ(n－1) (6) 2－n［u(n)－u(n－10)］,解 (1),(2),第2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析,(3),(4) ZT［δ(n)］=1 0 ≤|z|≤∞ (5) ZT［δ(n－1)］=z－1 0|z|≤∞ (6),≤,第2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析,15． 求以下序列的Z變換及其收斂域， 并在z平面上畫出極零點(diǎn)分布圖。  (1) x(n)=RN(n) N=4 (2) x(n)=Arn cos(ω0n+j)u(n)r=0.9, ω0=0.5π rad, j=0.25 π rad,解 (1),由z4－1=0， 得零點(diǎn)為,由z3(z－1)=0， 得極點(diǎn)為 z1, 2=0, 1,第2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析,零極點(diǎn)圖和收斂域如題15解圖(a)所示， 圖中, z=1處的零極點(diǎn)相互對消。,題15解圖,第2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析,(2),零點(diǎn)為,極點(diǎn)為,極零點(diǎn)分布圖如題15解圖(b)所示,第2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析,16． 已知,求出對應(yīng)X(z)的各種可能的序列表達(dá)式。  解： X(z)有兩個極點(diǎn)： z1=0.5, z2=2， 因?yàn)槭諗坑蚩偸且詷O點(diǎn)為界， 因此收斂域有三種情況： |z|0.5，0.5|z|2， 2|z|。 三種收斂域?qū)?yīng)三種不同的原序列。  （1）收斂域|z|0.5：,令,第2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析,n≥0時， 因?yàn)閏內(nèi)無極點(diǎn)，x(n)=0; n≤－1時， c內(nèi)有極點(diǎn) 0 ， 但z=0是一個n階極點(diǎn)， 改為求圓外極點(diǎn)留數(shù)， 圓外極點(diǎn)有z1=0.5, z2=2， 那么,第2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析,(2) 收斂域0.5|z|2:,n≥0時， c內(nèi)有極點(diǎn)0.5，,n0時， c內(nèi)有極點(diǎn) 0.5、 0 ， 但 0 是一個n階極點(diǎn)， 改成求c外極點(diǎn)留數(shù)， c外極點(diǎn)只有一個， 即2， x(n)=－Res［F(z), 2］=－2 · 2nu(－n－1) 最后得到,第2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析,(3) 收斂域z2:,n≥0時， c內(nèi)有極點(diǎn) 0.5、 2，,n0時， 由收斂域判斷， 這是一個因果序列， 因此x(n)=0； 或者這樣分析， c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、 2、 0， 但0是一個n階極點(diǎn)， 改求c外極點(diǎn)留數(shù)，c外無極點(diǎn)， 所以x(n)=0。,最后得到,第3章 離散傅里葉變換,3． 已知長度為N=10的兩個有限長序列：,做圖表示x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)， 循環(huán)卷積區(qū)間長度L=10。  解: x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)分別如題3解圖（a）、 （b）、 （c）所示。,題3解圖,第3章 離散傅里葉變換,14． 兩個有限長序列x(n)和y(n)的零值區(qū)間為 x(n)=0 n0, 8≤n y(n)=0 n0, 20≤n 對每個序列作20點(diǎn)DFT， 即 X(k)=DFT［x(n)］ k=0, 1, …, 19 Y(k)=DFT［y(n)］ k=0, 1, …, 19 試問在哪些點(diǎn)上f(n)與x(n)*y(n)值相等, 為什么？,解: 記fl(n)=x(n)*y(n)，而f(n)=IDFT［F(k)］=x(n) 20 y(n)。 fl(n)長度為27， f(n)長度為20。 由教材中式（3.4.3）知道f(n)與fl(n)的關(guān)系為,第3章 離散傅里葉變換,只有在如上周期延拓序列中無混疊的點(diǎn)上， 才滿足f(n)=fl(n),所以 f(n)=fl(n)=x(n)*y(n) 7≤n≤19,18． 用微處理機(jī)對實(shí)數(shù)序列作譜分析， 要求譜分辨率F≤50 Hz， 信號最高頻率為 1 kHz， 試確定以下各參數(shù)： (1) 最小記錄時間Tp min；  (2) 最大取樣間隔Tmax；  (3) 最少采樣點(diǎn)數(shù)Nmin；  (4) 在頻帶寬度不變的情況下， 使頻率分辨率提高1倍（即F縮小一半）的N值。 ,第3章 離散傅里葉變換,解: （1） 已知F=50 Hz， 因而,（2）,（3）,,（4） 頻帶寬度不變就意味著采樣間隔T不變， 應(yīng)該使記錄時間擴(kuò)大1倍， 即為0.04 s， 實(shí)現(xiàn)頻率分辨率提高1倍（F變?yōu)樵瓉淼?/2）。,第4章 快速傅里葉變換,,1． 如果某通用單片計(jì)算機(jī)的速度為平均每次復(fù)數(shù)乘需要4 μs， 每次復(fù)數(shù)加需要1 μs， 用來計(jì)算N=1024點(diǎn)DFT， 問直接計(jì)算需要多少時間。 用FFT計(jì)算呢？照這樣計(jì)算， 用FFT進(jìn)行快速卷積對信號進(jìn)行處理時， 估計(jì)可實(shí)現(xiàn)實(shí)時處理的信號最高頻率。,解: 當(dāng)N=1024=210時， 直接計(jì)算DFT的復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算次數(shù)為 N2=1024×1024=1 048 576次 復(fù)數(shù)加法運(yùn)算次數(shù)為 N（N－1）=1024×1023=1 047 552次 直接計(jì)算所用計(jì)算時間TD為 TD=4×10－6×10242+1 047 552×10－6=5.241 856 s 用FFT計(jì)算1024點(diǎn)DFT所需計(jì)算時間TF為,第4章 快速傅里葉變換,,快速卷積時， 需要計(jì)算一次N點(diǎn)FFT（考慮到H(k)=DFT［h(n)］已計(jì)算好存入內(nèi)存）、 N次頻域復(fù)數(shù)乘法和一次N點(diǎn)IFFT。 所以， 計(jì)算1024點(diǎn)快速卷積的計(jì)算時間Tc約為,所以， 每秒鐘處理的采樣點(diǎn)數(shù)（即采樣速率）,第4章 快速傅里葉變換,,應(yīng)當(dāng)說明， 實(shí)際實(shí)現(xiàn)時， fmax還要小一些。 這是由于實(shí)際中要求采樣頻率高于奈奎斯特速率， 而且在采用重疊相加法時， 重疊部分要計(jì)算兩次。 重疊部分長度與h(n)長度有關(guān)， 而且還有存取數(shù)據(jù)和指令周期等消耗的時間。,第5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),,1. 已知系統(tǒng)用下面差分方程描述:,試分別畫出系統(tǒng)的直接型、 級聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 式中x(n)和y(n)分別表示系統(tǒng)的輸入和輸出信號。 ,解： 將原式移項(xiàng)得,將上式進(jìn)行Z變換， 得到,第5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),,(1) 按照系統(tǒng)函數(shù)H(z)， 畫出直接型結(jié)構(gòu)如題1解圖（1）所示。,題1解圖（1）,(2) 將H(z)的分母進(jìn)行因式分解：,第5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),,按照上式可以有兩種級聯(lián)型結(jié)構(gòu): ① ②,畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題1解圖（2）所示。,題1解圖（2）,第5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖,,(3) 將H(z)進(jìn)行部分分式展開：,第5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖,根據(jù)上式畫出并聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題1解圖（3）所示。,題1解圖（3）,第6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì),5． 已知模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)如下：,(1),(2),試采用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法將其轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。 設(shè)T=2 s。  解: Ⅰ. 用脈沖響應(yīng)不變法,(1),按脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)公式， Ha(s)的極點(diǎn)為,第6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì),將T=2代入上式， 得,(2),第6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì),或通分合并兩項(xiàng)得,Ⅱ． 用雙線性變換法 （1）,第6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì),第6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì),(2),第6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì),8． 題8圖是由RC組成的模擬濾波器， 寫出其系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)， 并選用一種合適的轉(zhuǎn)換方法， 將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)， 最后畫出網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖。,解: 模擬RC濾波網(wǎng)絡(luò)的頻率響應(yīng)函數(shù)為,顯然， Ha(jΩ)具有高通特性， 用脈沖響應(yīng) 不變法必然會產(chǎn)生嚴(yán)重的頻率混疊失真。 所以應(yīng)選用雙線性變換法。 將Ha(jΩ)中的jΩ用s代替， 可得到 RC濾波網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)：,題8圖,第6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì),用雙線性變換法設(shè)計(jì)公式, 可得,H(z)的結(jié)構(gòu)圖如題8解圖所示。,題8解圖,第7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì),3． 設(shè)FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為,求出該濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)， 判斷是否具有線性相位， 求出其幅度特性函數(shù)和相位特性函數(shù)。 解: 對FIR數(shù)字濾波器， 其系統(tǒng)函數(shù)為,所以其單位脈沖響應(yīng)為,第7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì),由h(n)的取值可知h(n)滿足： h(n)=h(N－1－n) N=5 所以， 該FIR濾波器具有第一類線性相位特性。 頻率響應(yīng)函數(shù)H(ejω)為,第7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì),幅度特性函數(shù)為,相位特性函數(shù)為,5． 用矩形窗設(shè)計(jì)一線性相位高通濾波器， 要求過渡帶寬度不超過π/10 rad。 希望逼近的理想高通濾波器頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ejω)為,（1） 求出該理想高通的單位脈沖響應(yīng)hd(n)；  （2） 求出加矩形窗設(shè)計(jì)的高通FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)表達(dá)式， 確定α與N的關(guān)系；  （3） N的取值有什么限制？為什么？,第7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì),解: （1） 直接用IFT［Hd(ejω)］計(jì)算：,≤,第7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì),hd(n)表達(dá)式中第2項(xiàng) 正好是截止頻率為ωc的理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)。 而δ(n－α)對應(yīng)于一個線性相位全通濾波器： Hdap(ejω)=e－jωα 即高通濾波器可由全通濾波器減去低通濾波器實(shí)現(xiàn)。  （2） 用N表示h(n)的長度， 則,h(n)=hd(n)RN(n)=,為了滿足線性相位條件： h(n)=h(N－1－n) 要求滿足,（3） N必須取奇數(shù)。 因?yàn)镹為偶數(shù)時（情況2）， H(ejπ)=0， 不能實(shí)現(xiàn)高通。 根據(jù)題中對過渡帶寬度的要求， N應(yīng)滿足： , 即N≥40。 取N=41。,