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現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理課程回顧,第一章 時(shí)域離散隨機(jī)信號(hào)的分析 第二章 維納濾波和卡爾曼濾波 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 第四章 功率譜估計(jì) 第五章 時(shí)頻分析,第一章 時(shí)域離散隨機(jī)信號(hào)的分析,主要內(nèi)容： 平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)描述 隨機(jī)序列數(shù)字特征的估計(jì) 平穩(wěn)隨機(jī)序列通過線性系統(tǒng) 時(shí)間序列信號(hào)模型,對(duì)一個(gè)隨機(jī)序列的統(tǒng)計(jì)描述，可以由這個(gè)序列的自相關(guān)函數(shù)來高度概括。 對(duì)一平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，只要知道它的自相關(guān)函數(shù)，就等于知道了該隨機(jī)信號(hào)的主要數(shù)字特征。,自相關(guān)函數(shù)及其性質(zhì)：,各態(tài)遍歷性：,只要一個(gè)實(shí)現(xiàn)時(shí)間充分長的過程能夠表現(xiàn)出各個(gè)實(shí)現(xiàn)的特征，就可以用一個(gè)實(shí)現(xiàn)來表示總體的特性。,〈x(n)〉=mx=E［X(n)］,〈x*(n)x(n+m)〉=rxx(m)=E［X*(n)X(n+m)］,功率密度譜：,維納–––辛欽定理（Wiener-Khinchin Theorem）,Pxx(ω)≥0,隨機(jī)序列數(shù)字特征的估計(jì)：,估計(jì)準(zhǔn)則：無偏性、有效性、一致性 均值的估計(jì)： 方差的估計(jì)： 自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)：,平穩(wěn)隨機(jī)序列通過線性系統(tǒng)：,相關(guān)卷積定理：,卷積的相關(guān)函數(shù)等于相關(guān)函數(shù)的卷積,ref(m)=rac(m) * rbd(m),ryy(m)= rxx(m)*v(m)=rxy(m)*h(-m),時(shí)間序列信號(hào)模型：,MA模型,ARMA模型,AR模型,濾波器階數(shù)： 對(duì)于IIR濾波器或者AR模型、ARMA模型，階數(shù)是指p的大小，如果用差分方程表示，則p就是差分方程的階數(shù)。 對(duì)于FIR濾波器或者M(jìn)A模型的階數(shù)，則是指q的大小，或者說是它的長度減1。 三種信號(hào)模型可以相互轉(zhuǎn)化，而且都具有普遍適用性， 但是對(duì)于同一時(shí)間序列用不同信號(hào)模型表示時(shí)，卻有不同的效率。 這里說的效率, 指的是模型的系數(shù)愈少，效率愈高。,譜分解定理： 如果功率譜Pxx(ejω)是平穩(wěn)隨機(jī)序列x(n)的有理譜，那么一定存在一個(gè)零極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)的有理函數(shù)H(z),,滿足,式中，ak, bk都是實(shí)數(shù)，a0=b0=1, 且|αk|＜1, |βk|＜1。,自相關(guān)函數(shù)、功率譜、時(shí)間序列信號(hào)模型三者之間關(guān)系,第二章 維納濾波和卡爾曼濾波,主要內(nèi)容： FIR維納濾波求解 非因果IIR維納濾波求解 因果IIR維納濾波求解 維納純預(yù)測 維納一步線性預(yù)測 卡爾曼濾波,x(n)=s(n)+v(n),最佳濾波器：,正交性原理：,,要使均方誤差為最小，須滿足,E［x (n-j)e* (n)］=0 j=0, 1, 2, …,分析：上式說明，均方誤差達(dá)到最小值的充要條件是誤差信號(hào)與任一進(jìn)入估計(jì)的輸入信號(hào)正交，這就是通常所說的正交性原理。,維納—霍夫方程：,維納-霍夫（Wiener－Hopf）方程：,FIR維納濾波求解：,k=0, 1, 2, …,設(shè)定d(n)=s(n)，對(duì)上式兩邊做Z變換，得到,Sxs(z)=Hopt(z)Sxx(z),非因果IIR維納濾波求解：,信號(hào)和噪聲不相關(guān)時(shí),因果IIR維納濾波求解：,對(duì)于因果IIR維納濾波器，其維納－霍夫方程為,k=0, 1, 2, …,,圖2.3.5 利用白化x(n)的方法求解維納-霍夫方程,利用白化x(n)的方法求解維納-霍夫方程:,因果維納濾波器的復(fù)頻域最佳解為,因果維納濾波的最小均方誤差為,通過前面的分析, 因果維納濾波器設(shè)計(jì)的一般方法可以按下面的步驟進(jìn)行：  (1) 根據(jù)觀測信號(hào)x(n)的功率譜求出它所對(duì)應(yīng)的信號(hào)模型的傳輸函數(shù)，即采用譜分解的方法得到B(z)。 (2) 求 的Z反變換，取其因果部分再做Z變換，即舍掉單位圓外的極點(diǎn)，得 (3) 積分曲線取單位圓，應(yīng)用（2.3.38）式和（2.3.39）式，計(jì)算Hopt(z), E［|e(n)|2］min。,維納預(yù)測：,,圖2.4.1(b) 維納預(yù)測器,圖2.4.1(a) 維納濾波器,純預(yù)測： 假設(shè)x(n)=s(n)+v(n)，純預(yù)測問題是在v(n)=0情況下對(duì)s(n+N), N＞0的預(yù)測，此時(shí)x(n)=s(n)。  因果情況下，假設(shè)s(n)與v(n)不相關(guān)，純預(yù)測情況下,一步線性預(yù)測：,采用p個(gè)最近的采樣值來預(yù)測時(shí)間序列下一時(shí)刻的值，包括前向預(yù)測和后向預(yù)測兩種。,前向預(yù)測：,得到下面的方程組：,將方程組寫成矩陣形式 （Yule-Walker方程）,后向預(yù)測：,維納－霍夫方程,Yule-Walker方程,Levinson-Durbin算法：, Levinson-Durbin的一般遞推公式如下：,卡爾曼濾波：,利用狀態(tài)方程和遞推方法尋找最小均方誤差下狀態(tài)變量 的估計(jì)值 ，即,假設(shè)某系統(tǒng)k時(shí)刻的狀態(tài)變量為xk，狀態(tài)方程和量測方程（也稱為輸出方程）表示為,Ak為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，描述系統(tǒng)狀態(tài)由時(shí)間k-1的狀態(tài)到時(shí)間k的狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移； Ck為量測矩陣，描述狀態(tài)經(jīng)其作用，變成可量測或可觀測的； xk為狀態(tài)向量，是不可觀測的；yk為觀測向量； wk為過程噪聲；vk為量測噪聲。,第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器,主要內(nèi)容： LMS自適應(yīng)橫向?yàn)V波器 LMS自適應(yīng)格型濾波器 最小二乘（LS）濾波 自適應(yīng)濾波器的應(yīng)用,LMS自適應(yīng)橫向?yàn)V波器：,e(n)=d(n)-y(n),最佳權(quán)矢量W*和最小均方誤差：,其中,μ是一個(gè)控制穩(wěn)定性和收斂速度的參量，稱之為收斂因子。 方向是性能函數(shù)下降最快的方向，因此稱為最陡梯度下降法。,Widrow-Hoff LMS算法：,最陡下降法：,Widrow-Hoff LMS算法：,采用梯度的估計(jì)值代替梯度的精確值。,LMS算法加權(quán)矢量是在最陡下降法加權(quán)矢量附近隨機(jī)變化的， 其統(tǒng)計(jì)平均值等于最陡下降法的加權(quán)矢量。,圖 3.2.10 LMS算法穩(wěn)態(tài)誤差,μ值的影響?yīng)?對(duì)穩(wěn)定性的影響：,對(duì)收斂速度的影響：,預(yù)測誤差格型濾波器：,LMS自適應(yīng)格型濾波器：,在滿足預(yù)測誤差的均方值最小的準(zhǔn)則下，最佳自適應(yīng)格型濾波器求解關(guān)鍵在于計(jì)算出反射系數(shù)。其方法有：,最小二乘（LS）濾波：,最小二乘準(zhǔn)則—以誤差的平方和最小作為最佳準(zhǔn)則的誤差準(zhǔn)則。,自適應(yīng)濾波器的應(yīng)用：,自適應(yīng)抵消器： （只有與參考輸入相關(guān)的信號(hào)才能被抵消）,參考輸入端存在一定的有用信號(hào)： 當(dāng)有信號(hào)分量泄漏到參考輸入中時(shí)，噪聲的抵消能力可以通過比較輸入端的信噪比、參考輸入端的信噪比及輸出端的信噪比數(shù)值大小來評(píng)價(jià)。,泄露到參考輸入端的有用信號(hào)越少，抵消效果越好。,2) 胎兒心電監(jiān)護(hù),其中原始輸入a(t)=f(t)+m(t)+n(t) f(t):胎兒心臟產(chǎn)生信號(hào) m(t):母親心臟產(chǎn)生信號(hào) n(t):噪聲干擾信號(hào)（主要由肌肉起的，有時(shí)稱“肌肉噪聲”）。,采用自適應(yīng)噪聲抵消器消除胎兒心電圖中母體心臟信號(hào)（干擾）。一般采用：四個(gè)普通胸導(dǎo)（每路信號(hào)相同）記錄母親心跳，作為參考輸入信號(hào)。經(jīng)過自適應(yīng)噪聲抵消器處理后，母親心臟干擾信號(hào)被顯著消弱，胎兒心聲可辨。,自適應(yīng)逆濾波：,自適應(yīng)均衡器與自適應(yīng)解卷積問題都可歸結(jié)為用自適應(yīng)的方法求逆濾波系統(tǒng)的問題。 自適應(yīng)均衡器用以補(bǔ)償信道干擾的影響，使接收信號(hào)與發(fā)送信號(hào)完全一致。,第四章 功率譜估計(jì),主要內(nèi)容： 經(jīng)典譜估計(jì)：BT法、周期圖法、修正周期圖法； 現(xiàn)代譜估計(jì)：AR模型法、最大熵譜估計(jì)、特征分解法,BT法：,BT法的加權(quán)協(xié)方差譜估計(jì),周期圖法：,周期圖屬于漸近無偏估計(jì)，方差很大，不是一致估計(jì)。,修正周期圖法：,Bartlett平均周期圖法 窗口處理法平均周期圖 Welch法（修正的周期圖求平均法）,結(jié)論：傳統(tǒng)的功率譜估計(jì)方法，采用觀測到的N個(gè)樣本值估計(jì)功率譜，認(rèn)為在此觀察到的N個(gè)數(shù)據(jù)以外的x(n)=0。因此，無論采取哪一種改進(jìn)方法，總是以減少分辨率為代價(jià)，換取估計(jì)方差的減少，提高分辨率的問題無法根本解決。,估計(jì)功率譜的方法： 首先根據(jù)信號(hào)觀測數(shù)據(jù)估計(jì)信號(hào)自相關(guān)函數(shù)； 求出模型參數(shù)； 最后按照下式求出信號(hào)的功率譜:,AR模型法：,AR模型隱含著自相關(guān)函數(shù)外推的特性，使它具有高分辨率的優(yōu)點(diǎn)。,信號(hào)預(yù)測誤差最小原則（或預(yù)測誤差功率最?。?自相關(guān)法（Levinson遞推法） Burg法 協(xié)方差法 修正協(xié)方差法,關(guān)于AR模型階次的選擇 如果是純P階AR信號(hào)，應(yīng)選擇模型階次k ≥ P。 如果選擇模型階次k＜P時(shí)，將產(chǎn)生對(duì)譜的平滑作用，降低譜的分辨率。 對(duì)于白噪聲中的AR信號(hào)，其階次的選擇應(yīng)折衷考慮。 如選擇AR模型，其階次應(yīng)加大，較低的階次會(huì)使譜估計(jì)產(chǎn)生偏移， 降低分辨率。 信噪比愈低，平滑作用愈嚴(yán)重，愈需要高的階次， 因此信噪比低應(yīng)選高的階次。 階次愈高，分辨率愈高；但階次太高，會(huì)使估計(jì)誤差加大，譜峰分裂。,最大熵譜估計(jì)方法：,AR模型功率譜估計(jì)和最大熵譜估計(jì)的等價(jià)性。,第五章 時(shí)頻分析,主要內(nèi)容： 線性時(shí)頻分析：短時(shí)傅里葉變換、Gabor變換、小波分析； 雙線性時(shí)頻分析：維格納變換（WD）、Cohen類時(shí)頻分布。,傅立葉變換的不足：,缺乏時(shí)間和頻率的定位功能； 分析時(shí)變信號(hào)和非平穩(wěn)信號(hào)的局限性； 分辨率上的局限性，受不確定原理的約束。,短時(shí)傅里葉變換：,STFT特點(diǎn)： STFT要求窗口內(nèi)信號(hào)平穩(wěn)，即窗口不能太長； 時(shí)間分辨率和頻率分辨率受不確定定理限制，不能同時(shí)任意小； 窗口固定不變，分辨率單一； 窗函數(shù)選擇難； STFT建立在信號(hào)穩(wěn)態(tài)基礎(chǔ)之上，不能及時(shí)反映信號(hào)頻譜隨時(shí)間變化的情況。,小波分析：,小波基函數(shù),作為小波函數(shù)所應(yīng)具有的大致特征：即 是一帶通函數(shù)，它的時(shí)域波形應(yīng)是振蕩的。此外，從時(shí)－頻定位的角度，希望 是有限支撐的，因此它應(yīng)是快速衰減的。這樣，時(shí)域有限長且是振蕩的這一類函數(shù)即是被稱作小波（wavelet）的原因。,當(dāng)用較小的a對(duì)信號(hào)作高頻分析時(shí)，實(shí)際上是用高頻小波對(duì)信號(hào)作細(xì)致觀察;當(dāng)用較大的a對(duì)信號(hào)作低頻分析時(shí)，實(shí)際上是用低頻小波對(duì)信號(hào)作概貌觀察。,a取不同值時(shí)小波變換對(duì)信號(hào)分析的時(shí)－頻區(qū)間,小波變換的特點(diǎn) 多分辨率分析方法； 小波變換的時(shí)頻關(guān)系受不確定原理的制約，在時(shí)頻平面上的分析窗是可調(diào)的，但分析窗的面積保持不變； 采用不同的尺度a作處理時(shí)，各個(gè)Ψ(aΩ)的中心頻率和帶寬都不一樣，但是它們的品質(zhì)因數(shù)Q卻是相同的，即“中心頻率／帶寬”為常數(shù)。,,維格納變換：（最簡單的時(shí)頻分布形式）,WD服從二次疊加原理。,時(shí)頻域(t,f)——時(shí)間-頻率平面。,維格納變換的特點(diǎn)： 因?yàn)樾盘?hào)的二次型是信號(hào)的能量表示，所以這種分布表示了信號(hào)的能量分布； 在某一時(shí)刻或某一個(gè)頻率處的WD不能解釋為信號(hào)的瞬時(shí)能量； 兩個(gè)信號(hào)和的WD有交叉項(xiàng)存在，使得兩個(gè)信號(hào)和的分布已不再是兩個(gè)信號(hào)各自分布的和； 滿足二次疊加原理。,模糊函數(shù)：,模糊域（θ,τ）——時(shí)移-頻移平面,同一信號(hào)AF及WD互項(xiàng)與自項(xiàng)的位置示意圖,WD中交叉項(xiàng)的抑制： 對(duì)信號(hào)求模糊函數(shù)，由于模糊函數(shù)的自項(xiàng)始終在 平面的原點(diǎn)處，而交叉項(xiàng)遠(yuǎn)離原點(diǎn)，故可以設(shè)計(jì)一個(gè)二維低通濾波器，來抑制模糊函數(shù)中的交叉項(xiàng)； 對(duì)濾波后的模糊函數(shù)作二維傅立葉變換，得到信號(hào)的維格納變換，此時(shí)的WD即是抑制了交叉項(xiàng)的新WD。,Cohen類時(shí)頻分布：,采用不同的核函數(shù)可以得到不同的時(shí)頻分布，時(shí)頻分布的各種性質(zhì)要求,則反映在對(duì)核函數(shù)的約束條件上。 φ(θ,τ)=1 時(shí)， Cohen 類時(shí)頻分布將轉(zhuǎn)換成WD，即核函數(shù)是全通函數(shù)，它對(duì)AF的互項(xiàng)無抑制作用，因此，其WD也就存在著較大的交叉項(xiàng)。 消除干擾項(xiàng)的方法：應(yīng)該選擇 平面上的二維低通函數(shù)來作為核函數(shù)。,