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2019年高考數(shù)學(xué) 五年高考真題分類匯編 第五章 數(shù)列專題匯編 理 一.選擇題 1.（xx·福建高考理）已知等比數(shù)列{an}的公比為q，記bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N*)，則以下結(jié)論一定正確的是 (　　) A．?dāng)?shù)列{bn}為等差數(shù)列，公差為qm B．?dāng)?shù)列{bn}為等比數(shù)列，公比為q2m C．?dāng)?shù)列{cn}為等比數(shù)列，公比為qm2 D．?dāng)?shù)列{cn}為等比數(shù)列，公比為qmm 【解析】選C　本題考查等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查考生轉(zhuǎn)化和化歸能力、公式應(yīng)用能力和運(yùn)算求解能力．等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝a1qn－1，所以cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m＝a1qm(n－1)·a1qm(n－1)＋1·…·a1qm(n－1)＋m－1＝aqm(n－1)＋m(n－1)＋1＋…＋m(n－1)＋m－1＝aqm2(n－1)＋＝aqm2(n－1)＋，因?yàn)椋剑絨m2，所以數(shù)列{cn}為等比數(shù)列，公比為qm2. 2．（xx·遼寧高考理）下面是關(guān)于公差d>0的等差數(shù)列{an}的四個(gè)命題： p1：數(shù)列{an}是遞增數(shù)列； p2：數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列； p3：數(shù)列是遞增數(shù)列； p4：數(shù)列{an＋3nd}是遞增數(shù)列． 其中的真命題為 (　　) A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4 【解析】選D　本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列單調(diào)性的判斷，意在以數(shù)列為載體，考查考生對(duì)一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的掌握情況．設(shè)an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，它是遞增數(shù)列，所以p1為真命題；若an＝3n－12，則滿足已知，但nan＝3n2－12n并非遞增數(shù)列，所以p2為假命題；若an＝n＋1，則滿足已知，但＝1＋是遞減數(shù)列，所以p3為假命題；設(shè)an＋3nd＝4dn＋a1－d，它是遞增數(shù)列，所以p4為真命題． 3．（xx·新課標(biāo)Ⅰ高考理）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m＝ (　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【解析】選C　本題考查等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，意在考查考生通過(guò)等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式求解基本量的能力．根據(jù)已知條件，得到am和am＋1，再根據(jù)等差數(shù)列的定義得到公差d，最后建立關(guān)于a1和m的方程組求解．由Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，得am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，所以等差數(shù)列的公差為d＝am＋1－am＝3－2＝1， 由 得解得選C. 4．（xx·新課標(biāo)Ⅰ高考理）設(shè)△AnBnCn的三邊長(zhǎng)分別為an，bn，cn，△AnBnCn的面積為Sn，n＝1,2,3，….若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，則 (　　) A．{Sn}為遞減數(shù)列 B.{Sn}為遞增數(shù)列 C．{S2n－1}為遞增數(shù)列，{S2n}為遞減數(shù)列 D．{S2n－1}為遞減數(shù)列，{S2n}為遞增數(shù)列 【解析】選B　本題考查三角形面積公式和歸納推理等知識(shí)，意在考查考生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，對(duì)考生的歸納推理能力、邏輯思維能力要求較高．已知b1＞c1，b1＋c1＝2a1，a2＝a1，故b2＝＝c1＋b1＜b1，c2＝＝b1＋c1＞c1，b2＋c2＝a1＋＝2a1，b2－c2＝＜0，即b2＜c2，b2c2＝·＝(b1＋c1)2＋b1c1＞b1c1.又a3＝a2＝a1，所以b3＝＝c2＋b2＜b2，c3＝＝b2＋c2＞c2，b3＋c3＝＋＝2a2＝2a1，b3－c3＝c2＋b2－＝＞0，即b3＞c3，b3c3＝＝(b2＋c2)2＋b2c2＞b2c2＞b1c1.又△AnBnCn的面積為Sn＝ ＝ ，其中p＝(an＋bn＋cn)，p(p－an)和p2－(bn＋cn)p都為定值，bncn逐漸遞增，所以數(shù)列{Sn}為遞增數(shù)列，選擇B. 5．（xx·新課標(biāo)Ⅱ高考理）等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知S3 ＝ a2 ＋10a1 ，a5＝9，則a1＝ (　　) A. B．－ C. D．－ 【解析】選C　本題考查等比數(shù)列的基本知識(shí)，包括等比數(shù)列的前n項(xiàng)和及通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題，考查考生的基本運(yùn)算能力．由題知q≠1，則S3＝＝a1q＋10a1，得q2＝9，又a5＝a1q4＝9，則a1＝，故選C. 6．（xx·江西高考理）等比數(shù)列x,3x＋3,6x＋6，…的第四項(xiàng)等于 (　　) A．－24 B．0 C．12 D．24 【解析】選A　本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)以及等比數(shù)列的性質(zhì)，意在考查考生的運(yùn)算能力及對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況．由等比數(shù)列的前三項(xiàng)為x,3x＋3,6x＋6，可得(3x＋3)2＝x(6x＋6)，解得x＝－3或x＝－1(此時(shí)3x＋3＝0，不合題意，舍去)，故該等比數(shù)列的首項(xiàng)x＝－3，公比q＝＝2，所以第四項(xiàng)為(6x＋6)×q＝－24. 7．（xx·大綱卷高考理）已知數(shù)列{an}滿足3an＋1＋an＝0，a2＝－，則{an}的前10項(xiàng)和等于 (　　) A．－6(1－3－10) B.(1－310) C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10) 【解析】選C　本題考查等比數(shù)列的定義和前n項(xiàng)和公式．由3an＋1＋an＝0得an＋1＝－an，所以{an}為等比數(shù)列，公比為－，由a2＝－得a1＝4，所以由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式得S10＝3(1－3－10)，故選C. 8．（xx·安徽高考理）設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S8＝4a3，a7＝－2，則a9＝ (　　) A．－6 B．－4 C．－2 D．2 【解析】選A　本題主要考查等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算，意在考查考生的運(yùn)算求解能力． 根據(jù)等差數(shù)列的定義和性質(zhì)可得，S8＝4(a3＋a6)，又S8＝4a3，所以a6＝0，又a7＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6. 9．（xx·大綱卷高考理）已知數(shù)列{an}滿足 3an＋1＋an＝0，a2＝－，則{an}的前10項(xiàng)和等于 (　　) A．－6(1－3－10) B.(1－310) C．3(1－3－10) D. 3(1＋3－10) 【解析】選C　本題主要考查等比數(shù)列的判定、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．因?yàn)?an＋1＋an＝0，即＝－，又a2＝－，所以數(shù)列{an}是以a1＝4為首項(xiàng)，q＝－為公比的等比數(shù)列，所以S10＝＝31－10＝3(1－3－10)． 10．（xx·新課標(biāo)Ⅰ高考理）設(shè)首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn， 則 (　　) A．Sn＝2an－1 B．Sn＝3an－2 C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－2an 【解析】選D　本題主要考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，對(duì)基本計(jì)算能力有一定要求．由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn＝，代入數(shù)據(jù)可得Sn＝3－2an. 11．（xx·遼寧高考文）下面是關(guān)于公差d＞0的等差數(shù)列{an}的四個(gè)命題： p1：數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；p2：數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列；p3：數(shù)列是遞增數(shù)列；p4：數(shù)列{an＋3nd}是遞增數(shù)列． 其中的真命題為 (　　) A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4 【解析】選D　本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列單調(diào)性的判斷，意在以數(shù)列為載體，考查考生對(duì)一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的掌握情況．設(shè)an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，它是遞增數(shù)列，所以p1為真命題；若an＝3n－12，則滿足已知，但nan＝3n2－12n并非遞增數(shù)列，所以p2為假命題；若an＝n＋1，則滿足已知，但＝1＋是遞減數(shù)列，所以p3為假命題；設(shè)an＋3nd＝4dn＋a1－d，它是遞增數(shù)列，所以p4為真命題．　 12．（xx·重慶高考理）在等差數(shù)列{an}中，a2＝1，a4＝5，則{an}的前5項(xiàng)和S5＝ (　　) A．7　　　　　　　　　 B．15 C．20 D．25 【解析】選B 數(shù)列{an}的公差d＝＝2，則a1＝－1，a5＝7，可得S5＝15. 13．（xx·遼寧高考理）在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a8＝16，則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11 ＝ ( 　　) A．58 B．88 C．143 D．176 【解析】選B 因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，所以a4＋a8＝2a6＝16?a6＝8，則該數(shù)列的前11項(xiàng)和為S11＝＝11a6＝88. 14．（xx·四川高考理）設(shè)函數(shù)f(x)＝2x－cos x，{an}是公差為的等差數(shù)列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a5)＝5π，則[f(a3)]2－a1a5＝ (　　) A．0 B.π2 C.π2 D.π2 【解析】選D 設(shè)g(x)＝2x＋sin x，由已知等式得g(a1－)＋g(a2－)＋…＋g(a5－)＝0，則必有a3－＝0，即a3＝(否則若a3－>0，則有(a1－)＋(a5－)＝(a2－)＋(a4－)＝2(a3－)>0，注意到g(x)是遞增的奇函數(shù)，g(a3－)>0，g(a1－)>g[－(a5－)]＝－g(a5－)，g(a1－)＋g(a5－)>0，同理g(a2－)＋g(a4－)>0，g(a1－)＋g(a2－)＋…＋g(a5－)>0，這與“g(a1－)＋g(a2－)＋…＋g(a5－)＝0”相矛盾，因此a3－>0不可能；同理a3－<0也不可能)；又{an}是公差為的等差數(shù)列，a1＋2×＝，a1＝，a5＝，f(a3)＝f()＝π－cos ＝π，[f(a3)]2－a1a5＝π2. 15．（xx·上海高考理）設(shè)an＝sin，Sn＝a1＋a2＋…＋an.在S1，S2，…，S100中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是 (　　) A．25 B．50 C．75 D．100 【解析】選D 由數(shù)列通項(xiàng)可知，當(dāng)1≤n≤25，n∈N*時(shí)，an≥0，當(dāng)26≤n≤50，n∈N*時(shí)，an≤0，因?yàn)閍1＋a26>0，a2＋a27>0，…，所以S1，S2，…，S50都是正數(shù)；當(dāng)51≤n≤100， n∈N*時(shí)，同理S51，S52，…，S100也都是正數(shù)，所以正數(shù)的個(gè)數(shù)是100. 16．（xx·大綱卷高考理）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a5＝5，S5＝15，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為 (　　) A. B. C. D. 【解析】選A 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a1＋4d＝5，S5＝5a1＋d＝15，得d＝1，a1＝1，故an＝1＋(n－1)×1＝n，所以＝＝－，所以S100＝1－＋－＋…＋－＝1－＝. 17．（xx·湖北高考理）定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)，如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列{an}，{f(an)}仍是等比數(shù)列，則稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”，現(xiàn)有定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函數(shù)： ①f(x)＝x2; ②f(x)＝2x； ③f(x)＝； ④f(x)＝ln|x|. 則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f(x)的序號(hào)為 (　　) A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【解析】選C 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則{a}的公比為q2，{ }的公比為，其余的數(shù)列不是等比數(shù)列． 18．（xx·浙江高考理）設(shè)Sn是公差為d(d≠0)的無(wú)窮等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則下列命題錯(cuò)誤的是 (　　) A．若d＜0，則數(shù)列{Sn}有最大項(xiàng) B．若數(shù)列{Sn}有最大項(xiàng)，則d＜0 C．若數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，則對(duì)任意n∈N*，均有Sn＞0 D．若對(duì)任意n∈N*，均有Sn＞0，則數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列 【解析】選C A、B、D均正確，對(duì)于C，若首項(xiàng)為－1，d＝2時(shí)就不成立． 19．（xx·福建高考理）等差數(shù)列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，則數(shù)列{an}的公差 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】選B 在等差數(shù)列{an}中，∵a1＋a5＝10，∴2a3＝10，∴a3＝5，又a4＝7，∴所求的公差為2. 20．（xx·安徽高考理）公比為2的等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且a3a11＝16，則log2a10＝ (　　) A．4 B．5 C．6 D．7 【解析】選B 由題意可知a3a11＝a＝16，因?yàn)閧an}為正項(xiàng)等比數(shù)列，所以a7＝4，所以log2a10＝log2(a7·23)＝log225＝5. 21．（xx·新課標(biāo)高考理）已知{an}為等比數(shù)列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，則a1＋a10 ＝ (　　) A．7 B．5 C．－5 D．－7 【解析】選D 設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由 得或所以或 所以或所以a1＋a10＝－7. 22．（xx·湖北高考文）定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)，如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列{an}，{f(an)}仍是等比數(shù)列，則稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”．現(xiàn)有定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函數(shù)： ①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝；④f(x)＝ln|x|. 則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f(x)的序號(hào)為 (　　) A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【解析】選C 根據(jù)“保等比數(shù)列函數(shù)”的概念逐個(gè)判斷．若{an}是等比數(shù)列，則{a}，{}也是等比數(shù)列，{2an}不一定是等比數(shù)列，{ln|an|}不一定是等比數(shù)列． 23．（xx·四川高考文）設(shè)函數(shù)f(x)＝(x－3)3＋x－1，{an}是公差不為0的等差數(shù)列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a7)＝14，則a1＋a2＋…＋a7＝ (　　) A．0 B．7 C．14 D．21 【解析】選D ∵f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a7)＝(a1－3)3＋(a2－3)3＋…＋(a7－3)3＋(a1－3)＋(a2－3)＋…＋(a7－3)＋14＝14， ∴(a1－3)3＋(a2－3)3＋…＋(a7－3)3＋(a1－3)＋…＋(a7－3)＝0. ∴(a1－3)3＋(a2－3)3＋…＋(a7－3)3＋7(a4－3)＝0. ∵(a1－3)3＋(a7－3)3＝(a1＋a7－6)[(a1－3)2＋(a7－3)2－(a1－3)(a7－3)]＝2(a4－3)[(a4－3)2＋27d2]，其中該數(shù)列公差為d. 同理(a2－3)3＋(a6－3)3＝2(a4－3)[(a4－3)2＋12d2]， (a3－3)3＋(a5－3)3＝2(a4－3)[(a4－3)2＋3d2]． ∴(a1－3)3＋(a2－3)3＋…＋(a7－3)3＋7(a4－3) ＝2(a4－3)[(a4－3)2＋27d2]＋2(a4－3)[(a4－3)2＋12d2]＋2(a4－3)[(a4－3)3＋3d2]＋(a4－3)3＋7(a4－3) ＝(a4－3)[7(a4－3)2＋84d2＋7]＝0. ∵d≠0，∴7(a4－3)2＋84d2＋7≠0. ∴a4－3＝0，a4＝3. ∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝7×3＝21. 24．（xx·遼寧高考文）在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a8＝16，則a2＋a10＝ (　　) A．12 B．16 C．20 D．24 【解析】選B 因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列，所以a2＋a10＝a4＋a8＝16. 25．（xx·福建高考文）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝ncos ，其前n項(xiàng)和為Sn，則S2 012等 于 (　　) A．1 006 B．2 012 C．503 D．0 【解析】選A 由題意知，a1＋a2＋a3＋a4＝2，a5＋a6＋a7＋a8＝2，…，a4k＋1＋a4k＋2＋a4k＋3＋a4k＋4＝2，k∈N，故S2 012＝503×2＝1 006. 26．（xx·安徽高考文）公比為2的等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且a3a11＝16，則a5 ＝ (　　) A．1 B．2 C．4 D．8 【解析】選A 因?yàn)閍3a11＝a，又?jǐn)?shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，所以解得a7＝4，由a7＝a5·22＝4a5，求得a5＝1. 27．（xx·北京高考文）已知{an}為等比數(shù)列．下面結(jié)論中正確的是 (　　) A．a(chǎn)1＋a3≥2a2 B．a(chǎn)＋a≥2a C．若a1＝a3，則a1＝a2 D．若a3>a1，則a4>a2 【解析】選B 設(shè)公比為q，對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)a1<0，q≠1時(shí)不正確；選項(xiàng)C，當(dāng)q＝－1時(shí)不正確；選項(xiàng)D，當(dāng)a1＝1，q＝－2時(shí)不正確；選項(xiàng)B正確，因?yàn)閍＋a≥2a1a3＝2a. 28．（xx·大綱卷高考文）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，則Sn＝(　　) A．2n－1 B.n－1 C.n－1 D. 【解析】選B 令n＝1，則得a2＝，故S2＝1＋＝，然而22－1＝2≠，故選項(xiàng)A錯(cuò)．()2－1＝.()2－1＝≠，故選項(xiàng)C錯(cuò).＝≠，故選項(xiàng)D錯(cuò)． 29．（xx·新課標(biāo)高考文）數(shù)列{an}滿足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，則{an}的前60項(xiàng)和 為 (　　) A．3 690 B．3 660 C．1 845 D．1 830 【解析】選D 不妨令a1＝1，根據(jù)題意，得a2＝2，a3＝a5＝a7＝…＝1，a4＝6，a6＝10，…，所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an＝1，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)構(gòu)成以a2＝2為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列．所以前60項(xiàng)和為S60＝30＋2×30＋×4＝1 830. 30．（2011·大綱卷高考）設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，則k＝ (　　) A．8 B．7 C．6 D．5 【解析】選D 依題意得Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝2a1＋(2k＋1)d＝2(2k＋1)＋2＝24，解得k＝5，選D. 31．（2011·江西高考）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1.那么a10 ＝ (　　) A．1 B．9 C．10 D．55 【解析】選A 由Sn＋Sm＝Sn＋m，得S1＋S9＝S10?a10＝S10－S9＝S1＝a1＝1. 32．（2011·四川高考）數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3，{bn}為等差數(shù)列且bn＝an＋1－an(n∈N*)．若b3＝－2，b10＝12，則a8＝ (　　) A．0 B．3 C．8 D．11 【解析】選B 因?yàn)閧bn}是等差數(shù)列，且b3＝－2，b10＝12， 故公差d＝＝2.于是b1＝－6， 且bn＝2n－8(n∈N*)，即an＋1－an＝2n－8， 所以a8＝a7＋6＝a6＋4＋6＝a5＋2＋4＋6＝…＝a1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3. 33．（2011·天津高考）已知{an}為等差數(shù)列，其公差為－2，且a7是a3與a9的等比中項(xiàng)，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，n∈N*，則S10的值為 (　　) A．－110 B．－90 C．90 D．110 【解析】選D 因?yàn)閍7是a3與a9的等比中項(xiàng)，所以a＝a3a9，又因?yàn)楣顬椋?，所以(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，解得a1＝20， 通項(xiàng)公式為an＝20＋(n－1)(－2)＝22－2n， 所以S10＝＝5(20＋2)＝110，故選擇D. 34. （xx·浙江高考理）設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，則 （ ） A.11 B.5 C. D. 【解析】選D 通過(guò)，設(shè)公比為，將該式轉(zhuǎn)化為，解得=-2，帶入所求式可知答案選D. 35.（xx·遼寧高考理）設(shè){an}是有正數(shù)組成的等比數(shù)列，為其前n項(xiàng)和.已知a2a4=1, ,則 （ ） A. B. C. D. 【解析】選B 由a2a4=1可得，因此，又因?yàn)椋?lián)力兩式有，所以q=,所以，故選B. 36.（xx·浙江高考文）設(shè)為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則 （ ） A.-11 B.-8 C.5 D.11 【解析】選A 通過(guò)，設(shè)公比為，將該式轉(zhuǎn)化為，解得=-2，帶入所求式可知答案選A. 37.（xx·四川高考理）已知數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)的和為，且，則 （ ） A.0 B. C.1 D.2 【解析】選B 由,且，作差得an＋2＝2an＋1， 又S2＝2S1＋a1，即a2＋a1＝2a1＋a1 T a2＝2a1w_w w. k#s5_u.c o*m 故{an}是公比為2的等比數(shù)列. Sn＝a1＋2a1＋22a1＋……＋2n－1a1＝(2n－1)a1 則 38.（xx·天津高考理）已知是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，是的前n項(xiàng)和，且，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為 （ ） A.或5 B.或5 C. D. 【解析】選C 顯然q1，所以，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列， 前5項(xiàng)和. 39.（xx·廣東高考理）已知為等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和.若， 且與2的等差中項(xiàng)為，則= （ ）w_w w.k*s_5 u.c o_m A．35 B.33 C.31 D.29 【解析】選C 設(shè){}的公比為，則由等比數(shù)列的性質(zhì)知，，即.由與2的等差中項(xiàng)為知，，即． ∴，即．，即． 40.（xx·福建高考理）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,,則當(dāng)取最小值時(shí),n等于 （ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【解析】選A 設(shè)該數(shù)列的公差為，則，解得，所以，所以當(dāng)時(shí)，取最小值. 41．（xx·廣東高考）已知等比數(shù)列滿足，且，則當(dāng)時(shí)， （ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【解析】選C 由得，，則， ，選C. 42．（xx·遼寧高考）設(shè)等比數(shù)列{ }的前n 項(xiàng)和為 ，若 =3 ，則 = （ ）Ａ． 2 B. C. D.3 【答案】 選B ，，. 二.填空題 43．（xx·湖南高考理）設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn＝(－1)nan－，n∈N*，則 (1)a3＝________； (2)S1＋S2＋…＋S100＝________. 【解析】本小題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系、等比數(shù)列的求和等知識(shí)，考查推理論證能力及分類討論思想． (1)當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝(－1)a1－，得a1＝－. 當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＝(－1)n(Sn－Sn－1)－.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn－1＝－，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn＝Sn－1－，從而S1＝－，S3＝－，又由S3＝S2－＝－，得S2＝0，則S3＝S2＋a3＝a3＝－. (2)由(1)得S1＋S3＋S5＋…＋S99＝－－－－…－，S101＝－， 又S2＋S4＋S6＋…＋S100＝2S3＋＋2S5＋＋2S7＋＋…＋2S101＋＝0，故S1＋S2＋…＋S100＝. 【答案】－　 44．（xx·遼寧高考理）已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的兩個(gè)根，則S6＝________. 【解析】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式、求和公式，意在考查考生對(duì)等比數(shù)列公式的運(yùn)用，以及等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用情況．由題意得，a1＋a3＝5，a1a3＝4，由數(shù)列是遞增數(shù)列得，a1＝1，a3＝4，所以q＝2，代入等比數(shù)列的求和公式得S6＝63. 【答案】63 45.（xx·安徽高考理）如圖，互不相同的點(diǎn)A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…，分別在角O的兩條邊上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面積均相等．設(shè)OAn＝an.若a1＝1，a2＝2，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是________． 【解析】本題考查由數(shù)列遞推求通項(xiàng)、三角形相似以及平行線分線段成比例等知識(shí)．令S△OA1B1＝m(m>0)，因?yàn)樗蠥nBn平行且a1＝1，a2＝2，所以S梯形AnBnBn＋1An＋1＝S梯形A1B1B2A2＝3m，當(dāng)n≥2時(shí)，＝＝＝， 故a＝a， a＝a， a＝a， … a＝a， 以上各式累乘可得：a＝(3n－2)a，因?yàn)閍1＝1， 所以an＝. 【答案】an＝ 46．（xx·重慶高考理）已知{an}是等差數(shù)列，a1＝1，公差d≠0，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1，a2，a5成等比數(shù)列，則S8＝________. 【解析】本題考查等差、等比數(shù)列的基本量運(yùn)算，意在考查考生的基本運(yùn)算能力．因?yàn)閧an}為等差數(shù)列，且a1，a2，a5成等比數(shù)列，所以a1(a1＋4d)＝(a1＋d)2，解得d＝2a1＝2，所以S8＝64. 【答案】64 47．（xx·新課標(biāo)Ⅰ高考理）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝an＋，則{an}的通項(xiàng)公式是an＝________. 【解析】本題考查等比數(shù)列的定義、Sn與an之間的關(guān)系，意在考查考生利用分類討論思想和等比數(shù)列的定義求解an的能力．求解本題時(shí)，按照n＝1和n≥2兩種情況分類解答，當(dāng)n≥2時(shí)，由已知得到Sn－1＝an－1＋，然后作差得an的表達(dá)形式，再利用等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式求解．當(dāng)n＝1時(shí)，由已知Sn＝an＋，得a1＝a1＋，即a1＝1；當(dāng)n≥2時(shí)，由已知得到Sn－1＝an－1＋，所以an＝Sn－Sn－1＝－＝an－an－1, 所以an＝－2an－1，所以數(shù)列{an}為以1為首項(xiàng)，以－2為公比的等比數(shù)列，所以an＝(－2)n－1. 【答案】(－2)n－1 48. （xx·新課標(biāo)Ⅱ高考理）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ，已知S10＝0，S15＝25，則nSn 的最小值為________． 【解析】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式以及通過(guò)轉(zhuǎn)化利用函數(shù)的單調(diào)性判斷數(shù)列的單調(diào)性等知識(shí)，對(duì)學(xué)生分析、轉(zhuǎn)化、計(jì)算等能力要求較高． 由已知解得a1＝－3， d＝，那么nSn＝n2a1＋d＝－.由于函數(shù)f(x)＝－在x＝處取得極小值，因而檢驗(yàn)n＝6時(shí)，6S6＝－48，而n＝7時(shí)，7S7＝－49. ∴nSn 的最小值為－49. 【答案】－49 49．（xx·北京高考理）若等比數(shù)列{an}滿足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，則公比q＝________；前n項(xiàng)和Sn＝________. 【解析】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，考查方程思想以及考生的運(yùn)算求解能力． 由題意知q＝＝2，又a2＋a4＝20，故a1q＋a1q3＝20，解得a1＝2，所以Sn＝2n＋1－2. 【答案】2　2n＋1－2 50．（xx·廣東高考理）在等差數(shù)列{an}中，已知a3＋a8＝10，則3a5＋a7＝________. 【解析】本題主要考查等差數(shù)列，考查考生的運(yùn)算能力．利用等差數(shù)列的性質(zhì)可快速求解．因?yàn)閍3＋a8＝10，所以3a5＋a7＝2(a3＋a8)＝20. 【答案】20 51．（xx·湖北高考理）古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過(guò)各種多邊形數(shù)．如三角形數(shù)1,3,6,10，…，第n個(gè)三角形數(shù)為＝n2＋n.記第n個(gè)k邊形數(shù)為N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式： 三角形數(shù)　　　N(n,3)＝n2＋n， 正方形數(shù) N(n,4)＝n2， 五邊形數(shù) N(n,5)＝n2－n， 六邊形數(shù) N(n,6)＝2n2－n， …… 可以推測(cè)N(n，k)的表達(dá)式，由此計(jì)算N(10,24)＝________. 【解析】本題主要考查數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，意在考查考生對(duì)等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式的掌握程度． N(n，k)＝akn2＋bkn(k≥3)，其中數(shù)列{ak}是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；數(shù)列{bk}是以為首項(xiàng)，－為公差的等差數(shù)列；所以N(n,24)＝11n2－10n，當(dāng)n＝10時(shí)，N(10,24)＝11×102－10×10＝1 000. 【答案】1 000 52．（xx·北京高考文）若等比數(shù)列{an}滿足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，則公比q＝________；前n項(xiàng)和Sn＝________. 【解析】本題主要考查等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查考生的計(jì)算能力． 由題知解得 故Sn＝＝2n＋1－2. 【答案】2　2n＋1－2 53．（xx·重慶高考文）若2，a，b，c,9成等差數(shù)列，則c－a＝________. 【解析】本題主要考查等差數(shù)列的基本運(yùn)算． 設(shè)公差為d，則d＝＝，所以c－a＝2d＝. 54．（xx·江蘇高考文）在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a5＝，a6＋a7＝3.則滿足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an的最大正整數(shù)n的值為________． 【解析】本題主要考查等比數(shù)列的基本性質(zhì)，意在考查學(xué)生的運(yùn)算能力． 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)．由a5＝，a6＋a7＝3，可得(q＋q2)＝3，即q2＋q－6＝0，所以q＝2，所以an＝2n－6，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n－5－2－5，所以a1a2…an＝(a1an)＝2，由a1＋a2＋…＋an>a1a2…an可得2n－5－2－5>2，由2n－5>2，可求得n的最大值為12，而當(dāng)n＝13時(shí)，28－2－5>213不成立，所以n的最大值為12. 【答案】12 55．（xx·江西高考文）某住宅小區(qū)計(jì)劃植樹不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n(n∈N*)等于________． 【解析】本題主要考查等比數(shù)列的概念與前n項(xiàng)和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查實(shí)際建模的能力以及分析、解決問(wèn)題的能力．設(shè)每天植樹的棵數(shù)組成的數(shù)列為{an}，由題意可知它是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為2，公比為2，所以由題意可得≥100，即2n≥51，而25＝32,26＝64，n∈N*，所以n≥6. 【答案】6 56．（xx·廣東高考文）設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為－2的等比數(shù)列，則a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝________. 【解析】本題主要考查等比數(shù)列通項(xiàng)等知識(shí)，意在考查考生的運(yùn)算求解能力．依題意得a1＝1，a2＝－2，a3＝4，a4＝－8，所以a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝15. 【答案】15 57．（xx·遼寧高考文）已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的兩個(gè)根，則S6＝________. 【解析】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式、求和公式，意在考查考生對(duì)等比數(shù)列公式的運(yùn)用，以及等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用情況．由題意得，a1＋a3＝5，a1a3＝4，由數(shù)列是遞增數(shù)列得，a1＝1，a3＝4，所以q＝2，代入等比數(shù)列的求和公式得S6＝63. 【答案】63 58．（xx·廣東高考理）已知遞增的等差數(shù)列|an|滿足a1＝1，a3＝a22－4，則an＝________. 【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 由已知得即 解得 由于等差數(shù)列{an}是遞增的等差數(shù)列，因此 所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1. 【答案】2n－1 59．（xx·江西高考理）設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，則a5＋b5＝________. 【解析】法一：設(shè)數(shù)列{an}，{bn}的公差分別為d1，d2，因?yàn)閍3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35. 法二：∵2a3＝a1＋a5,2b3＝b1＋b5， ∴a5＋b5＝2(a3＋b3)－(a1＋b1) ＝2×21－7＝35. 【答案】35 60．（xx·上海高考理）有一列正方體，棱長(zhǎng)組成以1為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列，體積分別記為V1，V2，…，Vn，…，則lim,n―→∞ (V1＋V2＋…＋Vn)＝________. 【解析】由條件可得正方體的體積組成以1為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列，所以原式＝＝. 【答案】 61．（xx·四川高考理）記[x]為不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)．例如，[2]＝2，[1.5]＝1， [－0.3]＝－1，設(shè)a為正整數(shù)，數(shù)列{xn}滿足x1＝a，xn＋1＝[](n∈N*)．現(xiàn)有下列命題： ①當(dāng)a＝5時(shí)，數(shù)列{xn}的前3項(xiàng)依次為5,3,2； ②對(duì)數(shù)列{xn}都存在正整數(shù)k，當(dāng)n≥k時(shí)總有xn＝xk； ③當(dāng)n≥1時(shí)，xn> －1； ④對(duì)某個(gè)正整數(shù)k，若xk＋1≥xk，則xk＝[ ]． 其中的真命題有__________．(寫出所有真命題的編號(hào)) 【解析】對(duì)于①，當(dāng)a＝5時(shí)，x1＝5，x2＝[]＝3，x3＝[]＝2，因此①正確． 對(duì)于②，當(dāng)a＝3時(shí)，x1＝3，x2＝2，x3＝1，x4＝2，x5＝1，x6＝2，x7＝1，…，此時(shí)數(shù)列{xn}除第一項(xiàng)外，從第二項(xiàng)起以后的項(xiàng)是以2為周期重復(fù)性出現(xiàn)的，此時(shí)不存在正整數(shù)k，使得當(dāng)n≥k時(shí)，總有xn＝xk，②不正確． 對(duì)于③，注意到xn∈N*，且x1＝a，x1－(－1)＝a－＋1＝(－)2＋>0，即x1>－1，若xn＋[]是正奇數(shù)，則xn＋1＝>≥＝－1；若xn＋[]是正偶數(shù)，則xn＋1＝>≥＝－1，綜上所述，當(dāng)n≥1時(shí)， xn>－1成立，因此③正確． 對(duì)于④，依題意得知xk＋1－xk≥0，－xk≥0， 即[]－xk≥0，－xk≥[]－xk≥0，－xk≥0， xk≤；又由③得知xk>－1，于是有－10?a1>0，又?jǐn)?shù)列{an}遞增，所以q＝2.a＝a10>0?(a1q4)2＝a1q9?a1＝q＝2，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n. 【答案】2n 63．（xx·北京高考理）已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和．若a1＝，S2＝a3，則a2＝________；Sn＝________. 【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則2a1＋d＝a1＋2d，把a(bǔ)1＝代入得d＝，所以a2＝a1＋d＝1，Sn＝na1＋d＝n(n＋1)． 【答案】1　n(n＋1) 64．（xx·浙江高考理）設(shè)公比為q(q＞0)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，則q＝____________. 【解析】∵S4－S2＝a3＋a4＝3(a4－a2)，∴a2(q＋q2)＝3a2(q2－1)， 解得q＝－1(舍去)或q＝. 【答案】 65．（xx·福建高考理）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝ncos＋1，前n項(xiàng)和為Sn，則S2 012＝________. 【解析】∵an＝ncos＋1，∴a1＋a2＋a3＋a4＝6，a5＋a6＋a7＋a8＝6，…，a4k＋1＋a4k＋2＋ a4k＋3＋a4k＋4＝6，k∈N，故S2 012＝503×6＝3 018. 【答案】3 018 66．（xx·新課標(biāo)高考理）數(shù)列{an}滿足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，則{an}的前60項(xiàng)和為________． 【解析】由an＋1＋(－1)nan＝2n－1得 an＋2＝(－1)nan＋1＋2n＋1＝(－1)n[(－1)n－1an＋2n－1]＋2n＋1＝－an＋(－1)n(2n－1)＋2n＋1， 即an＋2＋an＝(－1)n(2n－1)＋2n＋1，?、? 也有an＋3＋an＋1＝－(－1)n(2n＋1)＋2n＋3，　② ①②兩式相加得an＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝－2(－1)n＋4n＋4. 設(shè)k為整數(shù)，則a4k＋1＋a4k＋2＋a4k＋3＋a4k＋4＝－2(－1)4k＋1＋4(4k＋1)＋4＝16k＋10， 于是S60＝(a4k＋1＋a4k＋2＋a4k＋3＋a4k＋4)＝(16k＋10)＝1 830. 【答案】1 830 67．（xx·湖北高考文）傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫點(diǎn)或用小石子表示數(shù)．他們研究過(guò)如圖所示的三角形數(shù)： 將三角形數(shù)1,3,6,10，…記為數(shù)列{an}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列{bn}．可以推測(cè)： (1)bxx是數(shù)列{an}中的第________項(xiàng)； (2)b2k－1＝________.(用k表示) 【解析】求出數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式．由題意可得an＝1＋2＋3＋…＋n＝，n∈N*，故b1＝a4，b2＝a5，b3＝a9，b4＝a10，b5＝a14，b6＝a15，由上述規(guī)律可知：b2k＝a5k＝(k為正整數(shù))，b2k－1＝a5k－1＝＝， 故b2 012＝b2×1 006＝a5×1 006＝a5 030，即b2 012是數(shù)列{an}中的第5 030項(xiàng). 【答案】(1)5 030；(2) 68．（xx·遼寧高考文）已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列．若a1>0，且2(an＋an＋2)＝ 5an＋1，則數(shù)列{an}的公比q＝________. 【解析】因?yàn)閿?shù)列{an}是等比數(shù)列，所以2(an＋an＋2)＝5an＋1可變?yōu)?(1＋q2)＝5q，也就是2q2－5q＋2＝0，因?yàn)閿?shù)列{an}是遞增數(shù)列且a1>0，所以q>1，解方程得q＝2或q＝(舍去)． 【答案】2 69．（xx·江蘇高考文）現(xiàn)有10個(gè)數(shù)，它們能構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，－3為公比的等比數(shù)列，若從這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則它小于8的概率是________． 【解析】由題意得an＝(－3)n－1，易知前10項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，所以小于8的項(xiàng)為第一項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)，共6項(xiàng)，即6個(gè)數(shù)，所以p＝＝. 【答案】 70．（xx·上海高考文）已知f(x)＝.各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋2＝f(an)．若a2 010＝a2 012，則a20＋a11的值是________． 【解析】由題知an＋2＝，又a2 010＝a2 012＝，∴a＋a2 010＝1， 又an>0，∴a2 010＝，又a2 010＝＝，∴a2 008＝，同理可得 a2 006＝…＝a20＝， 又a1＝1，∴a3＝，a5＝＝，a7＝＝，a9＝＝， a11＝＝， ∴a20＋a11＝＋＝. 【答案】 71．（xx·北京高考文）已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1＝，S2＝a3，則a2＝________；Sn＝________. 【解析】設(shè)公差為d，則由S2＝a3得2a1＋d＝a1＋2d，所以d＝a1＝，故a2＝a1＋d＝1，Sn＝ na1＋d＝. 【答案】1　 72．（xx·廣東高考文）若等比數(shù)列{an}滿足a2a4＝，則a1aa5＝________. 【解析】等比數(shù)列{an}中，因?yàn)閍2a4＝，所以a＝a1a5＝a2a4＝，所以a1aa5＝. 【答案】 73．（xx·湖南高考文）對(duì)于n∈N*，將n表示為n＝ak×2k＋ak－1×2k－1＋…＋a1×21＋a0×20，當(dāng)i＝k時(shí)，ai＝1，當(dāng)0≤i≤k－1時(shí)，ai為0或1.定義bn如下：在n的上述表示中，當(dāng)a0，a1，a2，…，ak中等于1的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，bn＝1；否則bn＝0. (1)b2＋b4＋b6＋b8＝________； (2)設(shè)cm為數(shù)列{bn}中第m個(gè)為0的項(xiàng)與第m＋1個(gè)為0的項(xiàng)之間的項(xiàng)數(shù)，則cm的最大值是________． 【解析】(1)2＝1×21＋0×20，b2＝1；4＝1×22＋0×21＋0×20，b4＝1；6＝1×22＋1×21＋0×20，b6＝0；8＝1×23＋0×22＋0×21＋0×20，b8＝1； 故b2＋b4＋b6＋b8＝3. (2)設(shè)bn中第m個(gè)為0的項(xiàng)為bi，即bi＝0，構(gòu)造二進(jìn)制數(shù)，(i)10＝(akak－1…a1a0)，則akak－1…a1a0中1的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，當(dāng)a2a1a0＝000時(shí)，bi＋1＝1，bi＋2＝1，bi＋3＝0，cm＝2；當(dāng)a2a1a0＝001時(shí)，bi＋1＝1，bi＋2＝0，cm＝1；當(dāng)a2a1a0＝010時(shí)，bi＋1＝1