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2019-2020年高一數學 2.3函數的單調性（第二課時） 大綱人教版必修 課題 §2.32 函數的單調性（二） 教學目標 （一）教學知識點 復合函數單調性的判斷方法。 （二）能力訓練要求 1．使學生進一步熟練掌握函數單調性的判斷或證明。 2．使學生初步了解復合函數單調性的判斷或證明。 （三）德育滲透目標 培養(yǎng)學生用聯系的觀點去觀察問題、分析問題。 教學重點 證明函數單調性的方法和步驟。 教學難點 復合函數單調性的判斷方法。 教學方法 討論式教學法。 教具準備 幻燈片兩張 第一張：本課時教案例題（記作§2.3.2 A） 第二張：本課時教案練習（記作§2.3.2 B） 教學過程 I．復習回顧 [師]請同學們回憶：增函數、減函數的意義，并復述證明函數單調性的步驟。 [生]設函數的定義域為I，對于屬于I內某個區(qū)間的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1＜x2時， ①都有f(x1)＞f(x2)，那么f(x)在這個區(qū)間上是增函數，這個區(qū)間是函數的單調遞增區(qū)間。 ②都有f(x1)＞f(x2)，那么f(x)在這個區(qū)間上是減函數，這個區(qū)間是函數的單調遞減區(qū)間。 判斷函數單調性的步驟是： ① 設任意x1，x2∈給定區(qū)間，且x1＜x2. ② 計算f(x1)-f(x2)至最簡。 ③ 判斷上述差的符號。 ④ 下結論。（若差＜0，則為增函數；若差＞0，則為減函數） [師]函數的單調性是對定義域內的某個區(qū)間而言的，它是一個局部的概念，因此，某個 函數在其整個定義域內，單調性可能不存在。 [師]這節(jié)課，我們繼續(xù)學習函數單調性的判斷或證明。（板書課題） II．講授新課 （打出幻燈片§2.3.2 A，讀題） [例題]試證明：對于函數y=f(u)和u=g(x),若u=g(x)在區(qū)間(a，b)上具有單調性，當x∈(a，b)時，u∈(m，n)，且y=f(u)在區(qū)間（m，n）上也具有單調性，則復合函數y=f[g(x)]在區(qū)間（a，b）上具有單調性的規(guī)律如下： y=f(u) 增 減 u=g(x) 增 減 增 減 y=f[g(x)] 增 減 減 增 [師]從函數單調性的定義出發(fā)，利用判斷或證明函數單調性的一般步驟進行證明。 （學生證明，教師查看、點拔） [生]證明：①設x1，x2∈(a，b)，且x1＜x2. ∵u=g(x)在(a，b)上是增函數， ∴g(x1)＜g(x2)，且g(x1)，g(x2)∈（m，n）. ∵y=f(u)在(m，n)上是增函數， ∴f[g(x1)]＜f[g(x2)]. ∴函數y=f[g(x)在（a，b）上是增函數。 ②設x1，x2∈(a，b)，且x1＜x2， ∵u=g(x)在（a，b）上是增函數， ∴g(x1)＜g(x2)， 且g(x1)，g(x2)∈（m，n）. ∴y=f(u)在（m，n）上是減函數， ∴f[g(x1)]＞f[g(x2)]. ∴函數y=f[g(x)]在(a，b)上是減函數。 ③設x1，x2∈（a，b），且x1＜x2. ∵u=g(x)在(a，b)上是減函數， ∴g(x1)＞g(x2)， 且g(x1)，g(x2)∈（m，n）. ∵y=f(u)在（m，n）上是增函數， ∴f[g(x1)]＞f[g(x2)]. ∴函數y=f[g(x)]在(a，b)上是減函數。 ④設x1，x2∈(a，b)，且x1＜x2. ∵u=g(x)在（a，b）上是減函數， ∴g(x1)＞g(x2)，且g(x1),g(x2)∈(m，n). ∵y=f(u)在（m,n）上是減函數， ∴f[g(x1)]＜f[g(x2)]. ∴函數y=f[g(x)]在（a，b）上是增函數。 [師]①對于復合函數?y=f[g(x)]的單調區(qū)間必須是其定義域的子集；②對于復合函數y=f[g(x)]的單調性是由函數u=g(x)及y=f(u)的單調性確定的，且有規(guī)律“同為增，異為減”；③通過以上證明過程進一步理解了函數的單調性的抽象定義，并從中體會到函數單調性概念的充要性。 III．練習（打出幻燈片§2.3.2 B） 求函數y=18+2(2-x2)-(2-x2)2的單調區(qū)間。 解：∵原函數是由y=f(u)=18+2u-u2及u=g(x)=2-x2復合而成的復合函數， ∵y=18+2u-u2在（-∞，1）上是增函數，在[1，+∞)上是減函數， 又∵u=2-x2在（—∞，0）上是增函數，在[0，+∞）上是減函數， 當u∈(-∞,1)時，2-x2∈(-∞,1),即2-x2＜1,x＞1或x＜-1; 當u∈[1,+∞)時，2-x2∈[1，+∞），即2-x2＞1，-1≤x≤1. x (-∞,-1) [-1,0] (0,1) [1,+∞) u=g(x) 增 增 減 減 y=f(u) 增 減 減 增 y=f[g(x)] 增 減 增 減 綜合所述，函數y=18+2(2-x2)-(2-x2)2在區(qū)間（-∞，-1]，[0，1]上是增函數，在區(qū)間[-1，0]，[1，+∞]上是減函數。 IV．課時小結 （1）進一步深刻理解了函數單調性的概念。 （2）復合函數單調性的判斷方法。 板書設計 §2.3.2 函數的單調性（二） 復合函數單調性的判斷 練習 例 小結