2019-2020年高一數(shù)學(xué) 等差數(shù)列的前n項和 第五課時 第三章.doc
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2019-2020年高一數(shù)學(xué) 等差數(shù)列的前n項和 第五課時 第三章 ●課 題 §3.3.1 等差數(shù)列的前n項和(一) ●教學(xué)目標 (一)教學(xué)知識點 等差數(shù)列前n項和公式:Sn=. (二)能力訓(xùn)練要求 1.掌握等差數(shù)列前n項和公式及其獲取思路. 2.會用等差數(shù)列的前n項和公式解決一些簡單的與前n項和有關(guān)的問題. (三)德育滲透目標 1.提高學(xué)生的推理能力. 2.增強學(xué)生的應(yīng)用意識. ●教學(xué)重點 等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)、理解及應(yīng)用. ●教學(xué)難點 靈活應(yīng)用等差數(shù)列前n項公式解決一些簡單的有關(guān)問題. ●教學(xué)方法 啟發(fā)引導(dǎo)法 結(jié)合所學(xué)知識,引導(dǎo)學(xué)生在解決實際問題的過程中發(fā)現(xiàn)新知識,從而理解并掌握. ●教具準備 幻燈片一張:記作§3.3.1 A 例:如圖,一個堆放鉛筆的V形架的最下面一層放一支鉛筆,往上每一層都比它下面一層多放一支,最上面一層放120支,這個V形架上共放著多少支鉛筆? ●教學(xué)過程 Ⅰ.復(fù)習回顧 [師]經(jīng)過前面的學(xué)習,我們知道,在等差數(shù)列中: (1)an-an-1=d(n≥1),d為常數(shù). (2)若a,A,b為等差數(shù)列,則A=. (3)若m+n=p+q,則am+an=ap+aq.(其中m,n,p,q均為正整數(shù)) Ⅱ.講授新課 [師]隨著學(xué)習數(shù)列的深入,我們經(jīng)常會遇到這樣的問題. (打出幻燈片§3.3.1 A) 這是一堆放鉛筆的V形架,這形同前面所接觸過的堆放鋼管的示意圖,看到此圖,大家都會很快捷地找到每一層的鉛筆數(shù)與層數(shù)的關(guān)系,而且可以用一個式子來表示這種關(guān)系,利用它便可以求出每一層的鉛筆數(shù).那么,這個V形架上共放著多少支鉛筆呢?這個問題又該如何解決呢?經(jīng)過分析,我們不難看出,這是一個等差數(shù)求和問題? 首先,我們來看這樣一個問題:1+2+3+…+100=? 對于這個問題,著名數(shù)學(xué)家高斯10歲時曾很快求出它的結(jié)果,你知道他是怎么算的嗎? 高斯的算法是:首項與末項的和:1+100=101, 第2項與倒數(shù)第2項的和:2+99=101, 第3項與倒數(shù)第3項的和:3+98=101, …… 第50項與倒數(shù)第50項的和:50+51=101,于是所求的和是101×=5050. 這個問題,它也類似于剛才我們所遇到的問題,它可以看成是求等差數(shù)列1,2,3,…,n,…的前100項的和.在上面的求解中,我們發(fā)現(xiàn)所求的和可用首項、末項及項數(shù)n來表示,且任意的第k項與倒數(shù)第k項的和都等于首項與末項的和,這就啟發(fā)我們?nèi)绾稳デ笠话愕炔顢?shù)列的前n項的和.如果我們可歸納出一計算式,那么上述問題便可迎刃而解. 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,即Sn=a1+a2+…+an, ① 把項的次序反過來,Sn又可寫成Sn=an+an-1+…+a1 ② ①+②2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1) 又∵a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3=…=an+a1, ∴2Sn=n(a1+an), 即:Sn= 若根據(jù)等差數(shù)列{an}的通項公式,Sn可寫為:Sn=a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d]①,把項的次序反過來,Sn又可寫為:Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d ②],把①、②兩邊分別相加,得2Sn= =n(a1+an), 即:Sn=. 由此可得等差數(shù)列{an}的前n項和的公式Sn=. 也就是說,等差數(shù)列的前n項和等于首末兩項的和與項數(shù)乘積的一半. 用這個公式來計算1+2+3+…+100=?我們有S100==5050. 又∵an=a1+(n-1)d, ∴Sn= = =na1+d ∴Sn=或Sn=na1+d 有了此公式,我們就不難解決最開始我們遇到的問題,下面我們看具體該如何解決? (打出幻燈片§3.3.1A) [師]分析題意可知,這個V形架上共放著120層鉛筆,且自上而下各層的鉛筆成等差數(shù)列,可記為{an},其中a1=1,a120=120,n=120. [生]解:設(shè)自上而下各層的鉛筆成等差數(shù)列{an},其中n=120,a1=1,a120=120. 則:S120==7260 答案:這個V形架上共放著7260支鉛筆. 下面我們再來看一例題: 等差數(shù)列-10,-6,-2,2,…前多少項的和是54? 分析:先根據(jù)等差數(shù)列所給出項求出此數(shù)列的首項,公差,然后根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求解. 解:設(shè)題中的等差數(shù)列為{an},前n項為的Sn,由題意可知:a1=-10,d=(-6)-(-10)=4,Sn=54 由等差數(shù)列前n項求和公式可得: -10n+×4=54 解之得:n1=9,n2=-3(舍去) 答案:等差數(shù)列-10,-6,-2,2,…前9項的和是54. Ⅲ.課堂練習 [生]練習課本P120練習1,2,3. 1.根據(jù)下列各題中的條件,求相應(yīng)的等差數(shù)列{an}的Sn; (1)a1=5,an=95,n=10; 解:由Sn=,得Sn==500. (2)a1=100,d=-2,n=50; 解:由Sn=na1+d, 得S50=50×100×+×(-2)=2550. (3)a1=14.5,d=0.7,an=32 解:由an=a1+(n-1)d, 得32=14.5+(n-1)×0.7, 解之得n=26 由Sn=na1+d, 得S26=26×14.5+×0.7=604.5 評述:要熟練掌握等差數(shù)列求和公式的兩種形式,以便根據(jù)題目所給條件靈活選用而求解. 2.(1)求正數(shù)數(shù)列中前n個數(shù)的和. 解:由題意可知正整數(shù)列為:1,2,3,…,n,…, ∴Sn= (2)求正整數(shù)列中前n個偶數(shù)的和. 解:由題意可知正整數(shù)數(shù)列為:1,2,3,…,n,…,其中偶數(shù)可組成一新數(shù)列為:2,4,6,…2n,…,設(shè)正整數(shù)列中前n個偶數(shù)的和為Sn,則Sn==n(n+1). 評述:首先要理解題意,然后綜合使用公式而求解. 3.等差數(shù)列5,4,3,2,…前多少項的和是-30? 解:由題意可知,a1=5,d=4-5=-1. 由Sn=na1+d, 得-30=5n+×(-1), 解之得:n1=15,n2=-4(舍去) 評述:利用方程思想,解決一些簡單的相關(guān)問題. Ⅳ.課時小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習,要熟練掌握等差數(shù)列前n項和公式: Sn=及其獲取思路. Ⅴ.課后作業(yè) (一)課本P120習題3.3 1,2 (二)1.預(yù)習內(nèi)容:課本P117~P119 2.預(yù)習提綱:如何靈活應(yīng)用等差數(shù)列求和公式解決相關(guān)問題? ●板書設(shè)計 §3.3.1 等差數(shù)列的前n項和(一) 等差數(shù)列求和公式: Sn= =na1+d 推導(dǎo)過程 例題- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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