12.3《角的平分線的性質(zhì)》同步練習(xí)題含答案(4份).rar,角的平分線的性質(zhì),12.3,平分線,性質(zhì),同步,練習(xí)題,答案 12.3 角的平分線的性質(zhì) 知識點(diǎn)1：角平分線的性質(zhì) 1．如圖11.3-1所示,在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=20cm，DB=17cm，則D點(diǎn)到AB的距離是_________． 2．如圖11.3-2所示，點(diǎn)D在AC上，∠BAD=∠DBC，△BDC的內(nèi)部到 ∠BAD兩邊距離相等的點(diǎn)有_______個，△BDC內(nèi)部到∠BAD的兩邊、∠DBC兩邊等距離的點(diǎn)有_____個． B C D A E A D C B A C B D 圖11.3-1 圖11.3-2 圖11.3-3 3.如圖11.3-3，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，CD=2，則點(diǎn)D到AB的距離是 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如圖11.3-4，已知AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠BAC，下面結(jié)論錯誤的是（ ） A．BD+ED=BC B．DE平分∠ADB C．AD平分∠EDC D．ED+AC＞AD A O B P C D F E Q A B C D E 圖11.3-4 圖11.3-5 5．如圖11.3-5，Q是△OAB的角平分線OP上的一點(diǎn)，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，QE⊥OB于E，F(xiàn)Q⊥OQ交OA于F，則下列結(jié)論正確的是 （ ） A．PA=PB B．PC=PD C．PC=QE D．QE=QF 6．如圖11.3-6，AP平分∠BAC，PE⊥AC，PF⊥AB，垂足分別為E、F，點(diǎn)O是AP上任一點(diǎn)（除A、P外）．求證：OF=OE． 證明：∵AP平分∠BAC，∴OF=OE． B A E C P O F 圖13.3-6 以上證明過程是否正確？若不正確，請改正． A B C D 圖13.3-7 7.如圖11.3-7，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，D到AB的距離為12，BD∶DC=5∶3．試求BC的長． 知識點(diǎn)2：角平分線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用 8．如圖11.3-8，DB⊥AB，DC⊥AC，BD=DC，∠BAC=80°，則∠BAD =_______，∠CAD=____． 9．如圖11.3-9，已知點(diǎn)C是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，點(diǎn)P、P′分別在邊OA、OB上，若要得到OP=OP′，需要添加以下條件中某一個即可，請你寫出所有可能結(jié)果的序號：______________． ①∠OCP=∠OCP′；②∠OPC=∠OP′ C；③PC=P′ C；④PP′⊥OC． A B C D A B O P C P′ 圖11.3-8 圖11.3-9 10．如圖11.3-10，已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分別E、F、G，且PF=PG=PE，則∠BPD=________． 11.如圖11.3-11，已知DB⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，∠BAC= 40°，∠ADG=130°，則∠DGF=________． A B C D P F E G F B D A C G E 圖11.3-10 圖11.3-11 12．與相交的兩直線距離相等的點(diǎn)是在（ ） A．一條射線上 B．一條直線上 C．兩條互相垂直的直線上 D．以上都不對 13．下列結(jié)論中，錯誤的是 （ ） A．到已知角兩邊距離相等的點(diǎn)都在同一條直線上 B．一條直線上有一點(diǎn)到已知角的兩邊距離相等，這條直線平分已知角 C．到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，與角頂點(diǎn)的連線平分這個角 D．角內(nèi)有兩點(diǎn)各自到角的兩邊的距離相等,經(jīng)過這兩點(diǎn)的直線平分這個角 14．如圖11.3-12，已知BD平分∠ABC，AB=BC，點(diǎn)P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M、N為垂足．求證：PM=PN． A B D P M N C 圖13.3-12 15．如圖11.3-13，AD⊥DC，BC⊥DC，E是DC上一點(diǎn)，AE平分∠DAB． A D B C E 圖13.3-13 （1）如果BE平分∠ABC，求證：點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)； （2）如果E是DC的中點(diǎn)，求證：BE平分∠ABC． 參考答案 1．3cm[點(diǎn)撥：由角平分線性質(zhì)，得DE=DC=BC-DB=20-17=3（cm）] 2．無數(shù)；1 3．B（點(diǎn)撥：點(diǎn)D到AB的距離等于DC） 4．B 5．B（點(diǎn)撥：只有PC、PD都是角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離） 6．不正確.AP平分∠BAC，PF⊥AB，PE⊥AC，∴PF=PE，接著證△APE≌△APF，得AE=AF，再證△AOF≌△AOE即可． 7．由題意，得DC=12，BC=DC=×12=32． 8．40°；40°（點(diǎn)撥：由BD=DC，DB⊥AB，DC⊥AC，得DA平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD=∠BAC=40°） 9．①②④（點(diǎn)撥：SSA不能判定兩個三角形全等） 10．90°（點(diǎn)撥：由PE=PF得∠PBD=∠ABD，由PF=PG得∠PDB=∠BDC.由AB//CD，得∠ABD+∠BDC=180°，∴∠PBD+∠PDB=×180°=90°，∠BPD=90°） 11．150°（點(diǎn)撥：由DB=DC得∠GAD=∠BAD=∠BAC=20°，∠DGF=∠GAD+∠ADG=130+20°=150°） 12．C（點(diǎn)撥：相交的兩直線有兩對對頂角） A D B C F E 13．B 14．先證△ABD≌△CBD，得∠ADB=∠CDB，由PM⊥AD，PN⊥CD，得PM=PN． 15．（1）如右圖，過點(diǎn)E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足．由角平分線性質(zhì)得ED=EF，EF=EC，∴ED=EC，即點(diǎn)E是DC的中點(diǎn) ；（2）過點(diǎn)E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足．由角平分線性質(zhì)得ED=EF，又ED=EC，∴EF=EC，由角平分線的性質(zhì)得BE平分∠ABC． 12.3 角的平分線的性質(zhì) 基礎(chǔ)鞏固 一、填空題 1．如圖1，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝40，AD是∠BAC的平分線交BC于D，且DC∶DB＝3∶5，則點(diǎn)D到AB的距離是 。 圖1 圖2 2．如圖2所示，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝2 cm，則點(diǎn)D到BC的距離為________cm． 3．如圖3，已知BD是∠ABC的內(nèi)角平分線，CD是∠ACB的外角平分線，由D出發(fā)，作點(diǎn)D到BC、AC和AB的垂線DE、DF和DG，垂足分別為E、F、G，則DE、DF、DG的關(guān)系是 。 圖3 圖4 4．如圖4，已知AB∥CD，O為∠A、∠C的角平分線的交點(diǎn)，OE⊥AC于E，且OE=2，則兩平行線間AB、CD的距離等于 。 5．已知△ABC中，∠A=80°，∠B和∠C的角平分線交于O點(diǎn)，則∠BOC= 。 二、選擇題 6．如圖5，在△ABC中，AD是∠A的外角平分線，P是AD上異于A的任意一點(diǎn)，設(shè)PB＝，PC＝，AB＝，AC＝，則與的大小關(guān)系是（ ） A、＞ B、＜ C、＝ D、無法確定 圖5 圖6 7．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD：CD=9：7，則D到AB邊的距離為( ) A．18 B．16 C．14 D．12 8．如圖6，AE⊥BC于E，CA為∠BAE的角平分線，AD=AE，連結(jié)CD，則下列結(jié)論不正確的是( ) A．CD=CE B．∠ACD=∠ACE C．∠CDA =90° D．∠BCD=∠ACD 9．在△ABC中，∠B=∠ACB，CD是∠ACB的角平分線，已知∠ADC=105°，則∠A的度數(shù)為( ) A．40° B．36° C．70° D．60° 10．在以下結(jié)論中，不正確的是( ) A．平面內(nèi)到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)一定在角平分線上 B．角平分線上任一點(diǎn)到角的兩邊的距離一定相等 C．一個角只有一條角平分線 D．角的平分線有時是直線，有時是線段 三、解答題 11．如圖7所示，AE是∠BAC的角平分線，EB⊥AB于B，EC⊥AC于C，D是AE上一點(diǎn)，求證：BD=CD。 圖7 圖8 圖9 12．如圖8，BD=CD，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E。求證：點(diǎn)D在∠BAC的角平分線上。 13．如圖9，∠AOP=∠BOP，AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD與BC交于點(diǎn)P。求證：AP=BP。 綜合提高 一、填空題 圖11 14．如圖10，已知相交直線AB和CD，及另一直線EF。如果要在EF上找出與AB、CD距離相等的點(diǎn)，方法是 ，這樣的點(diǎn)至少有 個，最多有 個。 圖10 15．已知△DEF≌△ABC，AB=AC，且△ABC的周長為23cm，BC=4 cm，則△DEF的邊中必有一條邊等于______。 16．在△ABC中，∠C=90°，BC=4CM，∠BAC的平分線交BC于D，且BD：DC=5：3，則D到AB的距離為_____________。 17．∠B=∠C=90，E是BC的中點(diǎn)，DE平分∠ADC，∠CED=35，如圖11，則∠EAB的度數(shù)是 。 18．△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的角平分線的交點(diǎn)為O，連結(jié)AO，若S△AOB=6cm2，則S△AOB= 。 二、選擇題 19．如圖12所示，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，且AB=6 cm,則△DEB的周長為( )。 A.9 cm B.5 cm C.6 cm D.不能確定 圖12 20．下列命題中正確的是（ ） A．全等三角形的高相等 B．全等三角形的中線相等 C．全等三角形的角平分線相等 D．全等三角形對應(yīng)角的平分線相等 圖13 21．如圖13， ∠AOB和一條定長線段A，在∠AOB內(nèi)找一點(diǎn)P，使P 到OA、OB的距離都等于A，做法如下：（1）作OB的垂線NH，使NH=A，H為垂足．（2）過N作NM∥OB．（3）作∠AOB的平分線OP，與NM交于P．（4）點(diǎn)P即為所求．其中（3）的依據(jù)是（ ） A.平行線之間的距離處處相等 B.到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上 A D C B 圖14 E F C.角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等 D.到線段的兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段垂直平分線上 22．如圖14，P是∠BAC的平分線AD上一點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，下列結(jié)論中不正確的是（　?。? A．DE=DF　 　 B．AE=AF C．△ADE≌△ADF　　D．AD=DE+DF 23．直角三角形兩銳角的角平分線所交成的角的度數(shù)是（ ） A．45° B．135° C．45°或135° D．都不對 三、解答題 A B F C D 圖15 24．如圖15，△ABC的邊BC的中垂線DF交△BAC的外角平分線AD于D, F為垂足, DE⊥AB于E，且AB>AC，求證：BE－AC=AE． 25．如圖16所示，已知AD為等腰三角形ABC的底角的平分線，∠C＝90°，求證：AB＝AC＋CD． 圖16 拓展探究 一、解答題 26．如圖17， △ABC的邊BC的中垂線DF交△BAC的外角平分線AD于D， F為垂足， DE⊥AB于E， 且AB>AC 求證：BE－AC=AE． 圖17 圖18 27．如圖18，已知AD∥BC， ∠DAB和∠ABC的平分線交于E， 過E的直線交AD于D， 交BC于C， 求證: DE=EC． 28．如圖19，已知AC∥BD、EA、EB分別平分∠CAB和△DBA，CD過點(diǎn)E，則AB與AC+BD相等嗎？請說明理由． 圖19 參考答案 基礎(chǔ)鞏固 一、填空題 1. 15； 2. 2； 3. DE=DF=DG； 4. 4； 5. 130° 二、選擇題 6.A 7.C 8.D 9.A 10.D 三、解答題 11．證：先證Rt△ACE≌Rt△ABE，推出AB=AC。再證△ABD≌△ACD(或△DCE≌△DBE)，得出DC=DB。 12．證：在△DBE和△DCF中， 所以△DBE≌△DCF(AAS)。∴DE=DF。 又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴點(diǎn)D在∠BAC的角平分線上。 13．證：∵∠AOP=∠BOP，AD⊥OB，BC⊥OA，∴PC=PD 在△ACP和△BDP中，，∴△APC≌△BPD ∴AP=BP。 綜合提高 一、填空題 14. 作∠AOD、∠AOC(或∠BOD)的平分線與EF的交點(diǎn)；1；2 15. 4cm或9.5cm 16. 1.5cm 17. 35° 18. 6cm2 二、選擇題 19.C 20.D 21.B 22.D 23.C 三、解答題 24．證：過D作DN⊥AC, 垂足為N, 連結(jié)DB、DC則DN=DE，DB=DC，又∵DE⊥AB, DN⊥AC, ∴Rt△DBE≌Rt△DCN， ∴BE=CN．又∵AD=AD，DE=DN，∴Rt△DEA≌Rt△DNA，∴AN=AE，∴BE=AC+AN=AC+AE，∴BE－AC=AE． B A C E D 圖1 25．證一（截長法）：如圖1所示，過點(diǎn)D作BD⊥AB于E， ∵AD是∠BAC的平分線 ∴∠CAD＝∠EAD，又∠DEA＝∠DCA且AD公共，∴△ADE≌△ACD（AAS），∴　AE＝AC，CD＝DE 在△DEB中，∵∠B＝45°，∠DEB＝90°， ∴△EBD是等腰直角三角形．∴DE＝EB，∴CD＝EB． ∴AC＋CD＝AE＋EB，即AC＋CD＝AB． 證法二（補(bǔ)短法）： 如圖2所示，在AC的延長線上截取CM＝CD，連結(jié)DM． A B C M D 圖2 在△MCD中，∠MCD＝90°，CD＝CM ∴△MCD是等腰直角三角形．∴∠M＝45° 又∵在等腰直角三角形中，∠B＝45° ∴∠M＝∠B＝45°　又∵AD平分∠CAD ∴在△MAD與△BAD中 ∴△MAD≌△BAD（AAS）∴MA＝AB，即AC＋CD＝AB． 拓展探究 一、解答題 26．證：過D作DN⊥AC， 垂足為N， 連結(jié)DB、DC，則DN=DE， DB=DC 又∵DE⊥AB， DN⊥AC， ∴Rt△DBE≌Rt△DCN， ∴BE=CN 又∵AD=AD， DE=DN，∴Rt△DEA≌Rt△DNA ∴AN=AE ∴BE=AC+AN=AC+AE ∴BE－AC=AE 圖3 27．證：在AB上截取AF=AD。∵AE是∠DAF的平分線(已知) ∴∠DAE=∠FAE(角平分線定義) 在△DAE和△FAE中，∴△DAE≌△FAE(SAS) ∴DE=FE(全等三角形對應(yīng)邊相等)∴∠D=∠AFE(全等三角形對應(yīng)角相等) ∵∠AFE+∠BFE=1800(鄰補(bǔ)角定義) 又AD∥BC(已知) ∴∠D+∠C=1800(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)) ∴∠BFE=∠C(等角的補(bǔ)角相等) ∵BE是∠ABC的平分線(已知)∴∠FBE=∠CBE(角平分線定義) 在△FBE和△CBE中∴△FBE≌△CBE(AAS) ∴FE=CE(全等三角形對應(yīng)邊相等) ∴DE=EC． 圖4 28．結(jié)果：相等． 證法一：如圖（1）在AB上截取AF=AC，連結(jié)EF． 在△ACE和△AFE中， ∴△ACE≌△AFE（SAS） ∠6=∠D 在△EFB和△BDE中， ∴△EFB≌△EDB（AAS） ∴FB=DB ∴AC+BD=AF+FB=AB 證法二：如圖（2），延長BE，與AC的延長線相交于點(diǎn)F ∠F=∠3 在△AEF和△AEB中， ∴△AEF≌△AEB（AAS）∴AB=AF，BE=FE 在△BED和△FEC中， ∴△BED≌△FEC（ASA） ∴BD=FC ∴AB=AF=AC+CF=AC+BD． 12.3 角的平分線的性質(zhì) ◆隨堂檢測 1．如圖所示，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝2 cm，則點(diǎn)D到BC的距離為________cm． 2．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝40，AD是∠BAC的平分線交BC于D，且DC∶DB＝3∶5，則點(diǎn)D到AB的距離是 ． 3．如圖，已知BD是∠ABC的內(nèi)角平分線，CD是∠ACB的外角平分線，由D出發(fā)，作點(diǎn)D到BC、AC和AB的垂線DE、DF和DG，垂足分別為E、F、G，則DE、DF、DG的關(guān)系是 ． 4. AD是△BAC的角平分線，自D向AB、AC兩邊作垂線，垂足為E、F，那么下列結(jié)論中錯誤的是 ( ) A、DE=DF B、AE=AF C、BD=CD D、∠ADE=∠ADF 5．如圖，已知AB∥CD，O為∠A、∠C的角平分線的交點(diǎn)，OE⊥AC于E，且OE=2，則兩平行線間AB、CD的距離等于 ． 6．到三角形三條邊的距離都相等的點(diǎn)是這個三角形的（　　）A．三條中線的交點(diǎn) B．三條高的交點(diǎn) C．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) D．三條角平分線的交點(diǎn) ◆課下作業(yè) ●拓展提高 1.已知△ABC中，∠A=80°，∠B和∠C的角平分線交于O點(diǎn)，則∠BOC= ． 2.如圖，已知相交直線AB和CD，及另一直線EF．如果要在EF上找出與AB、CD距離相等的點(diǎn)，方法是 ，這樣的點(diǎn)至少有 個，最多有 個． 3.如圖所示，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，且AB=6 cm,則△DEB的周長為( ) ． A.9 cm B.5 cm C.6 cm D.不能確定 4．如圖，已知AC∥BD、EA、EB分別平分∠CAB和△DBA，CD過點(diǎn)E，則AB與AC+BD相等嗎？請說明理由． ●體驗(yàn)中考 1.（河南）如圖，AB//CD,CE平分∠ACD，若∠1=25°，那么∠2的度數(shù)是 ． O B A P 2．（臨沂市）如圖，OP平分，，，垂足分別為A，B．下列結(jié)論中不一定成立的是（ ） A． B．平分 C． D．垂直平分 參考答案 隨堂檢測： 1、2.解析：根據(jù)角平分線性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等．2、15.解析：先根據(jù)比例求出CD=15，再根據(jù)角平分線性質(zhì)得出答案． 3、DE=DF=DG.解析：根據(jù)角平分線性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等． 4、C.解析：根據(jù)角平分線性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可得到A、B、D正確，因?yàn)辄c(diǎn)B、C位置不確定，故C不正確 5、4.解析：過點(diǎn)O作AB的垂線MN分別與AB、CD交于點(diǎn)M、N，由角平分線性質(zhì)可得出OM=OE=ON，所以本題答案為4． 6、D.解析：根據(jù)到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的角平分線上． 拓展提高： 1、130°.解析：利用角平分線分角成一半和三角形內(nèi)角和定理或連接AO并延長，利用三角形的外角性質(zhì) 2、作∠AOD（或∠COB）、∠AOC(或∠BOD)的平分線與EF的交點(diǎn)；1；2 3、C. 解析：由角平分線性質(zhì)可得DE=DC，所以△DEB的周長=BD+DC+BE，又BD+DC=BC，BC=AC=AE，故△DEB的周長=AB=6cm,選C 4、相等． 證法一：如圖（1）在AB上截取AF=AC，連結(jié)EF． 在△ACE和△AFE中， ∴△ACE≌△AFE（SAS） ∠6=∠D 在△EFB和△BDE中， ∴△EFB≌△EDB（AAS） ∴FB=DB ∴AC+BD=AF+FB=AB 證法二：如圖（2），延長BE，與AC的延長線相交于點(diǎn)F ∠F=∠3 在△AEF和△AEB中， ∴△AEF≌△AEB（AAS）∴AB=AF，BE=FE 在△BED和△FEC中， ∴△BED≌△FEC（ASA） ∴BD=FC ∴AB=AF=AC+CF=AC+BD． 體驗(yàn)中考 1、50° 2、D.解析：根據(jù)角平分線性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可得到A、B、C正確，還可證出OP垂直平分AB，而證不出AB垂直平分OP．故選D． 12.3 角的平分線的性質(zhì) 1．如圖11-100所示，在Rt △ABC中，∠C＝90°，AD是角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，下列結(jié)論錯誤的是（ ） A．BD＋DE＝BC B．DE平分∠ADB C． DA平分∠EDC D．DE＋AC>AD 2．如圖11－101所示，在 △ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，則下列結(jié)論中錯誤的是（ ） A．DE＝DF B．AD上任意一點(diǎn)到E，F(xiàn)兩點(diǎn)的距離相等 C．AE＝AF D．BD＝DC 3．如圖11-102所示，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，AE＝AF，BE與CF交于點(diǎn)D， 則：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③點(diǎn)D在∠BAC的平分線上．以上結(jié)論正確的是（ ） A.① B．② C．①② D．①②③ 4．如圖11-103所示， △ABC中，P，Q分別是BC，AC上的點(diǎn)，作PR⊥ AB，PS⊥AC，垂足分別是R，S，若AQ＝PQ，PR＝PS，下面三個結(jié)淪：①AS＝AR：②QP∥ AR；③ △BRP≌ △CSP．其中正確的是（ ） A.①③ B．②③ C．①② D．①②③ 5．在△ABC中，∠ C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝10 cm，BD＝7 cm，則點(diǎn)D到AB的距離是 ． 6．如圖11-104所示，在直線l上找一點(diǎn)，使這點(diǎn)到∠AOB的兩邊OA，OB的距離相等，則這個點(diǎn)是 ． 7．如圖11-105所示，已知O為∠BAC的平分線與∠ACD的平分線的交點(diǎn)，OE⊥AC于E，若OE＝2，則點(diǎn)O到AB的距離與點(diǎn)O到CD的距離的和是 　　 ． 8．如圖11-106所示，已知 △ABC的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)P，求證點(diǎn)P到AB，BC，CA的距離相等． 9．如圖1l-107所示，BD是∠ABC的平分線，BA＝BC，點(diǎn)P在BD上，且PM⊥AD，PN⊥CD．求證PM＝PN． 10．如圖11-108所示，BF⊥AC于點(diǎn)F，CE⊥AB于點(diǎn)E，BF與CE交于D，且BD＝CD． （1）求證D在∠BAC的平分線上； （2）若將條件：BD＝CD和結(jié)論：D在∠BAC的平分線上互換，結(jié)論成立嗎?試說明理由． 11．如圖11-109所示，點(diǎn)B，C在∠A的兩邊上，且AC＝AB，P為∠A內(nèi)一點(diǎn)，PC＝PB，PE⊥AB、PF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．求證PE＝PF． 12．如圖11-110所示，已知點(diǎn)B，C分別在∠MAN的兩邊上，BD⊥AM，CE⊥AN，垂足分別為D，E，BD，CE相交于點(diǎn)F，且BF＝CF．求證點(diǎn)F在∠A的平分線上．（提示：在同一個三角形中，等邊對等角，等角對等邊） 13．如圖11-111所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于D，能否在AB上確定一點(diǎn)E，使△BDE的周長等于AB的長?請說明理由． 參考答案 1．B[提示：由AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，∠C＝90°，可知DC＝DE，所以BD＋DE＝BD＋CD＝BC，選項(xiàng)A成立；DE＋AC＝DC＋AC>AD，選項(xiàng)D成立；由AD平分∠BAC，∠DEA＝90°，∠C＝90°，可知∠EDA＝∠CDA，所以選項(xiàng)C成立．] 2．D[提示：利用角平分線的性質(zhì)及全等三角形的有關(guān)知識可解本題．] 3．D[提示：由ASA可知Rt△ABE≌Rt△ACF，從而AC＝AB，又AE＝AF，故CE＝BF，從而可由AAS得Rt△DFB≌Rt△DEC，有DE＝DF，又DE，DF分別垂直于AC，AB，故點(diǎn)D在∠BAC的平分線上．故①②③均正確．] 4．C[提示：連接AP，由PR＝PS及已知條件易證Rt△ARP≌Rt△ASP（HL），故AR＝AS，∠RAP＝∠SAP，又QA＝QP，故∠QAP＝∠QPA＝∠RAP.從而PQ∥AR，但無法證明△BRP≌△CSP．] 5．3 cm[提示：由AD平分∠BAC知D到AB，AC的距離相等，又BC＝10 cm，BD＝7 cm，故CD＝3 ，又∠ACD＝90°，則點(diǎn)D到AC的距離即是CD的長，為3 cm，故D到AB的距離也是3 cm．] 6．∠AOB的平分線與直線l的交點(diǎn) 7．4[提示：過O分別作AB，CD的垂線．則點(diǎn)O到AB，CD的距離均等于OE，故它們的和為4．] 8．證明：過P點(diǎn)分別作PE ⊥AB于E，PF⊥ BC于 F，PG⊥CA于G．∵BM平分∠ABC，∴PE＝PF．同理PF＝PC．∴PE＝PF＝PG，即點(diǎn)P到AB，BC，CA的距離相等． （公共邊） 9．證明：∵BD 是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠CBD．在△ABD和△CBD 中，（已證） ∴△ABD≌△CBD（SAS）．∴∠ADB＝∠CDB（全等三角形的對應(yīng)角相等），即DB是∠ADC的平分線．又∵PM⊥AD，PN⊥ DC，∴PM＝PN． （對頂角相等）， 10．（1）證明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠BED＝∠CFD＝90°．在Rt△BED和Rt△CFD 中（對頂角相等）∴Rt△BED≌Rt△CFD（AAS）．∴DE＝DF（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．∴D在∠ BAC的平分線上（到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上）． （2）解：成立．理由如下：∵點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，且BF⊥AC，CE⊥AB，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°．在Rt△BED和Rt△CFD中， ， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（ASA）． （已證） ∴BD＝DC（全等三角形的對應(yīng)邊相等）． 11．證明：連接AP，在Rt△ABP和△ACP中，（公共邊），∴△ABP≌△ACP（SSS）∴∠BAP＝∠CAP．又∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴PE＝PF． 12．證明：如圖11-112所示，連接BC，作射線AF．∵BD⊥AM，CE⊥AN，∴∠ADB＝∠AEC＝∠BDC＝∠CEB＝90°．∵BF＝CF，∵∠DBC＝∠ECB．又∵BC＝CB，∴△BCD≌△CBE．∴BD＝CE，∴EF＝DF，∴點(diǎn)F在∠CAB的平分線上． 13．解：能．過D作DE⊥AB，交AB于E點(diǎn)，則E點(diǎn)即可滿足要求．理由：∵AD平分∠CAB，CD⊥AC，DE⊥AB， ∴CD＝DE．在Rt△ACD和Rt△AED中， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）∴AC＝AE．∵AC＝BC，．BC＝AE． ∴△BDE的周長＝BD＋DE＋EB＝BD＋DC＋EB＝BC＋EB＝AE＋EB＝AB．